http://tieba.baidu.com/f?z=601131345&ct=335544320&lm=0&sc=0&rn=30&tn=baiduPostBrowser&word=%CE%EF%C0%ED&pn=30
共轭是什么意思？
--------------------
量子力学里面把波函数表示的态视作态矢量，注意是个矢量，它是希尔伯特空间里面的一个元素，既然是个矢量，按照微分几何里面的概念，这个矢量就自然地唯一的存在一个共轭矢量与它对应，反之，共轭态矢量也唯一对应一个矢量，由于啊希尔伯特空间（矢量空间）是平坦的，它上面仅仅是附加了dim=∞,以及平方可积的这么两个结构,因此不影响它上面的度规,它上面的度规依然是欧式空间的,只不过是无限维的(分量无限多),只要是欧式空间,那么矢量的对偶矢量(既是共轭矢量)和矢量就是在这个度规下自然认同的,也就是说,共轭态矢量和态矢量只不过是一个态的两种描述方法,是完全等效的两种描述。举个例子，好比一个人画一幅画一样，原则上讲他可以用左手画，也可以用右手画，无非就是大多数人习惯用右手画而已；同样地，量子理论里面态矢量和它的共轭态矢量就是描述一个态的两种途径而已，只不过大多数情况下我们习惯用态矢量而不是用它的共轭矢量而已。
另外，态矢量一般称作右矢量；它对于的共轭太矢量成为左矢量；也可以把态矢量成为矢量，而它的共轭矢量成为对偶矢量；这都是一个意思。只不过数学上习惯用矢量和对偶矢量的叫法，量子理论里面习惯叫左矢量和右矢量。
谁能给说说有哪些可测的物理量是共轭的？
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凡是能够有经典对应的力学量，量子理论里面它们都是可观测的自然也就存在共轭的本征态矢量。
2009-6-30 00:15 回复
先知撒木尔
21位粉丝
35楼
只学过共轭复数和共轭矩阵。看不懂……走了。
2009-6-30 00:24 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
36楼
咱们继续。
前面我们说过，德布罗意同学大胆的设想了物质的波粒二象性，并且得到了实验证实，于是，物理学家现在可以用波动形式的函数来描述物质的波动性质。
但是，这种波函数的形式是怎样的呢？
很多量子力学相关的物理书直接给出了波函数的形式，我们这里先不去关心它的形式，而是先从物理意义角度来说明它的性质，然后弄清为什么它会有那些物理书上给出的那样的形式。
首先我们从电子双窄缝干涉实验来谈起。我画了一个很粗糙的图。
2009-6-30 17:16 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
37楼
当通过双窄缝的电子数量很少的时候，衍射图样就像上图左侧那样，电子星星点点地看似无规则地打在荧光屏上。这时候是根本看不出电子的波动性的。
但当电子的数量非常巨大，那么，电子们的命中点就显示出了比较明显的分布规律，形成右侧那样的由电子命中点组成的有明显明暗条纹分布区域的衍射图样。
也就是说，物质粒子波动性的强弱，和粒子的数量多少成正比。
也就是说，单独的几个粒子，并不能表现出明显的波动性，而波动性必须由大量粒子共同来显示，也可以说波衍射条纹的分布，应该是在粒子数量非常大的条件下的对于所有粒子的命中点分布的一个统计结果。
玻恩 据此提出了利用概率统计的方法来描述物质波的波动性的设想。
我们通常描述波在某一时刻的强弱，会使用振幅这个概念，振幅就是波动变化的某一物理量的值偏离某一平衡值的那个差值。
对于水波，水波的平衡值就是平静水面的高度，那么水面因波动而起伏时，水面的高度比这个平衡高度高或者低的高度差，就是水波的振幅。
对于声波，声波是物质粒子的振动，物质粒子在无声的条件下有自己的存在位置，物质粒子由于受到声能传播影响而周期性地偏离自己在无声条件下的平衡位置往复运动，运动偏离平衡位置的距离就是声波的振幅。
对于电磁波，由于电场和磁场交替增强和减弱，电场强度和磁场感应强度都有一个中间值，它们偏离中间值的场强差就是电磁波的振幅。
类似的情况还有很多，比如你还可以观察跳大绳的游戏，摇大绳时，你可以选定绳子的处于竖直平面内的位置作为平衡位置，绳子偏离这个竖直平面的角度可以看作振幅。
通常我们可以用三角函数来表示最简单的波。
例如高中数学中三角函数图像就是波动曲线。
2009-6-30 18:09 回复
午夜惊魂II
39位粉丝
38楼
左矢和右矢是一个意思
2009-6-30 18:28 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
39楼
振幅的绝对值越大，对应的波动越强。
因此，从二维（波的传播路径为一维，波强的变化为另一维）变化角度来说，波动强弱的统计学标志，就是振幅的每一个取值出现的概率。
对于我们的物质波来说，传播路径仍然是一维的，但由于我们的空间是三维的，振幅可以沿着垂直于传播路径的两个维方向变化。
那么，在三维空间内，物质波强度较高的情况，必须对应于在两个维上的概率统计结果。
振幅绝对值的每个取值，在每一维有一个概率，在两维上的总概率，根据概率论的乘法原理，就等于一维的概率的平方。
基于这一点，波恩提出，直接将波函数描述成为一维振幅函数，其振幅绝对值的平方作为直接考证波强度的标志参量。
因此，许多物理书上说：波函数振幅绝对值的平方与波的强度成正比，其实就是因为实物粒子对应的物质波的强度概率统计要考虑到2维波动。
这个波函数振幅绝对值的平方概念被叫做几率密度。
有些书上没有明确说明，其实这时的波函数已经作了振幅几率化处理：
波函数被写成自由粒子的原始波函数（振幅可能是任何量纲的物理量，且取值可能大于1）除以其振幅最大值的函数形式。
此时的波函数叫做标准量子力学波函数，其最大振幅取值也不超过1，而且函数值是无量纲数。
也就是说，通过这种处理，把自由粒子的波函数变成了一个纯数量函数，而且函数取值范围在-1到1之间，以便为了直接作为概率统计使用（因为概率都是0~100%=1之间的取值，所以需要把描述振幅的波函数的取值设定在-1~1之间，以便让振幅的绝对值的平方不超出0~100%=1的概率取值范围）。
那么，这个几率密度，准确来说，就是波强度某一取值在空间单位体积中的出现概率。
本楼内容你在一般物理书里找不到，仅供参考。
2009-6-30 18:39 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
40楼
由上面的论述，我们终于知道，量子力学书上所说的几率密度，其实就是波强度在单位空间体积内出现的概率：
定义：
几率密度K=强度的概率/空间体积
那么，对于任何一个空间点，我们可以近似把它看成一个很小的体积dV(没有微分知识的朋友只需要知道: 体积V的微分就是一个很小的体积，趋近于一点)。
宇宙空间由无数空间点组成，假如我们把宇宙空间均分为无数小点体积dV，则每一点上的波强度的概率：
波强度在一点处概率=几率密度*空间点体积
=K*dV
那么，某一波强度对应的概率K在全宇宙空间出现的概率
总概率=∫Kdv
没有积分知识的朋友只需要知道∫Kdv就表示对所有Kdv求和，Kdv就是前面说的波强度在一点处的概率，所有点的概率加在一起，就是这个波强度在全宇宙空间内的出现总概率。
由于我们的物质粒子是存在的，也就是说在这个宇宙李宗怡一部分空间位置中它的波强度会有最大值，也总有一些位置它的波强度会有最小值0，也总有其他位置会对应出现波强度的其它中间值。
也就是说，一个物质粒子对应的物质波的强度的每一取值，在全宇宙空间内必至少存在于一个位置，即说明：物质波的每一个强度取值，在全宇宙范围内来说，出现概率为100%=1，虽然它可能在宇宙的某一局部空间体积内出现概率小于1。
那么，我们就有：
物质波某一波强度取值在全宇宙空间范围内出现的总概率=∫Kdv=100%=1
这便是物理书上提到的：几率密度的全空间范围归一化。
而我们是因为对普通的波函数进行了“几率化处理”，让波函数除以波函数的最大振幅值得到了可以归一化的波函数，所以我们把可以满足“几率密度的全空间范围归一化”的这种经过“几率化处理”的波函数叫做归一化波函数。
2009-6-30 18:57 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
41楼
下次继续。
2009-6-30 18:58 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
42楼
由于我们的物质粒子是存在的，也就是说在这个宇宙李宗怡一部分空间位置中它的波强度会有最大
-------------------------
由于我们的物质粒子是存在的，也就是说在这个宇宙李总有一部分空间位置中它的波强度会有最大
2009-6-30 18:59 回复
恋念
血染图腾
77位粉丝
43楼
期待更新
2009-7-2 15:41 回复
恋念
血染图腾
77位粉丝
44楼
厉风很忙，还在做那部神作呢。
这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-7-3 00:09 回复
cloudk
135位粉丝
45楼
我觉得是不应该说一下归一化的概念，在归一化之前，波函数的振幅可以随意，因此此时只有波函数的相对几率振幅才是有意义的，归一化之后才有几率振幅的模长小于一~
2009-7-3 10:40 回复
粪花图强
7位粉丝
46楼
既然
既然是图说图好像少了点
2009-7-3 10:47 回复
恋念
血染图腾
77位粉丝
47楼
继续啊~~~
2009-7-20 19:47 回复
xianwh
0位粉丝
48楼
很棒的帖子 赞一个
2009-8-11 21:26 回复
wyf920621
0位粉丝
49楼
好复杂~~~
2009-8-18 23:45 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
50楼
额，这帖子我都忘了
2009-8-18 23:56 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
51楼
明天更新
2009-8-18 23:57 回复
tchfk
27位粉丝
52楼
LZ发快点，等着你。
2009-8-19 09:20 回复
tchfk
27位粉丝
53楼
另外问一下39L意思是否是和合作度有关，确实不懂。
2009-8-19 09:23 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
54楼
由于前面我们已经介绍了，描述微观粒子的物理量的各种取值状态分别对应了各自的出现几率，这个几率可以写成波函数的“模方（可以简单理解为复数模的平方，这是个数学概念，在实数中就是绝对值的平方）”乘以空间体积（波函数的模方前面我们说过也叫做几率密度）的形式。
现在假设有两个粒子，各自处于一个状态，他们各自对应自己的波函数Ψ₁和Ψ₂，那么这两个粒子组成的系统如果也用波函数描述，则可以描述为波函数Ψ=a₁Ψ₁+a₂Ψ₂，这个等式给出了一个量子力学基本原理，两个粒子的波函数通过一定方式的迭加，就能得到粒子系统的波函数。
迭加的方法是线性的，所谓线性，就是说迭加的过程中只包括加法和因数乘法（实际上也包括了减法和因数除法），但不包括乘方，开方，对数等运算（三角函数或者双曲函数等实际上也是含有乘方运算的，详细内容与数学上的欧拉公式和双曲函数定义有关，这里不详细介绍），也不包括物理量间直接相乘（注意，a₁和a₂都是纯数量）。
根据这一点，我们可以得到粒子系统的波函数对应的几率密度：
|Ψ|²=|a₁Ψ₁+a₂Ψ₂|²
=|a₁Ψ₁|²+|a₂Ψ₂|²+a*₁a₂Ψ*₁Ψ₂+a₁a*₂Ψ₁Ψ*₂
这个等式，读者不需要知道怎么来的，因为涉及到的是复数运算知识，是数学知识，我们这个帖子只突出介绍物理内容，读者也只需要知道物理上的意义即可。
我们这个帖子尽可能不去考虑量子力学的那些计算内容，所以，给出这个式子也仅仅是为了说明其物理含义对应的重要结论。
2009-8-21 11:00 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
55楼
|a₁Ψ₁|²和|a₂Ψ₂|²可以看作：
a₁a*₁|Ψ₁|²和a₂a*₂|Ψ₂|²，其中|Ψ₁|²和|Ψ₂|²正好是两个粒子各自的波函数的模方，也就是几率密度。
|Ψ|²=|a₁Ψ₁+a₂Ψ₂|²
=|a₁Ψ₁|²+|a₂Ψ₂|²+a*₁a₂Ψ*₁Ψ₂+a₁a*₂Ψ₁Ψ*₂这表明，两个粒子组成的系统的几率密度不仅是两个粒子各自的几率密度的简单求和，而且还包含a*₁a₂Ψ*₁Ψ₂+a₁a*₂Ψ₁Ψ*₂部分。
这两部分表明，粒子系统的整体的几率密度，包含一部分与两个粒子都相关的部分，所以a*₁a₂Ψ*₁Ψ₂+a₁a*₂Ψ₁Ψ*₂表明了粒子间一定具有相互影响。
通常把粒子系统的几率密度中的粒子相互的影响产生的几率密度部分叫做“干涉项”，就是说这部分两个粒子是互相影响产生的意外增量。
这个原理就叫做几率密度的迭加原理，它表明，粒子系统的整体物理性质，不仅仅是每个粒子自身性质的简单相加，而且还包括粒子间的相互影响产生的效果。
2009-8-21 11:16 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
56楼
迭加原理不仅仅适用于两个粒子，也可以扩展到n个粒子的迭加。
而当每一个粒子都与其他粒子相互作用时，系统整体的“迭加项”可能产生非常特殊的效果。
因此，微观粒子的性质不能代替宏观物体的性质，宏观物体的性质还包括极其重要的方面：粒子间的相互作用。
因此，微观粒子的性质完全可以和宏观物体性质迥异。
2009-8-21 11:19 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
57楼
这就从数学上解释了为什么少数几个电子，只能得到左侧无规则的干涉图样，而大量电子的干涉图样是右侧那样有明显规律的。
这个规律性来自于很大量的电子组成的系统整体的几率密度中含有“干涉项”，也就是说，大量电子间存在明显的互相影响。
2009-8-21 11:27 回复
千丈傲雪万丈冰
9位粉丝
58楼
好贴！
2009-8-21 12:03 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
59楼
虽然我们极力回避量子力学的数学，但是有些东西还是要交待。
读者可以完全无视这些公式，只需要记住这些公式的含义，以及推出的性质结论即可。
实际上，对于非专业人员来说，计算是用不到的。所以，大家不用记公式，只需要大致看看是什么样子即可。
这里也不进行所谓的“推导”（相关数学内容这里不详细介绍）。
薛定谔方程：
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+U(r)Ψ
说明一下：
i为虚数单位，ħ为前面介绍的普朗克常数h的一个倍数ħ=0.5h/π，Ψ是一个粒子的波函数，t为时间，∂是偏微分运算符号，∇为劈形算符（求梯度算符，相关内容读者不需要知道，你可以把梯度看作一个指示方向的量，标量的梯度是个矢量，它指示了物理量变化最快的方向，梯度矢量的长度是这个最大的变化率。），m为粒子的质量，U(r)是粒子在一个能量场（比如引力场或者电磁场）内的势能（比如重力势能或者电势能）算符（注意是算符，后面我们会介绍算符和物理量的差别）。
这个公式最早由薛定谔构建出来，它表达的主要是粒子的能量状态的性质。
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+U(r)Ψ 中：
U(r)Ψ部分代表的是粒子所处的力场的势能（电磁势能或者引力势能，注意：U(r)自己不代表势能，当他和波函数Ψ写在一起，U(r)Ψ整个就表示势能了，这个在后面我们介绍算符的时候还会进一步说明）。
-0.5ħ²∇²Ψ/m代表了粒子的动能
iħ∂Ψ/∂t代表了粒子的总能量
所以，薛定谔方程表明：粒子总能量等于其动能与其在周围立场内的势能的和。
2009-8-21 12:13 回复
恋念
血染图腾
77位粉丝
60楼
算符要出现了！算符要出现了！
2009-8-21 12:17 回复
短命郭嘉
9位粉丝
61楼
- -d
算符已经出现了……
2009-8-21 12:34 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
62楼
根据这个方程，我们可以求解一切有关运动粒子在力场内的能量状态所对应的波函数Ψ。
例如：在一个假想的实验环境里，我们有一个粒子，周围都是真空，真空中有一个区域存在明显强大的立场，而在这个区域外力场小到可以忽略。
那么，我们的运动粒子的能量状态可以表示为薛定谔方程：
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+U(r)Ψ
总能量=动能+势能
我们已知粒子动能Ek=-0.5ħ²∇²Ψ在力场区域（橙色）外是一个恒定值，且在橙色（百度）区域外U(r)=0（因为只有橙色（百度）区域内有力场），
于是得到一个方程
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+0
这个微分方程的求解过程，读者不需要知道，也不需要去记住结果，只需要知道物理含义即可。
方程的解：
ψ=Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}+Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
它是两个波函数Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}和Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}的求和。
也就是说，这个波函数包含了两个部分，我们主要是要看看这两部分都是怎样的。
我们仔细看过可以发现：
Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
除了A，B系数之外，只差一个负号。
如果你有复数知识的话，就会知道这两个函数的实数函数部分符号相反，对应了粒子的两个相反的运动方向。
这说明什么？说明具有同样的能量的粒子，可以向不同方向运动，正好是符合我们物理常识所知道的同样能量的粒子可能具有不同速度（方向）。
2009-8-21 12:34 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
63楼
根据这个方程，我们可以求解一切有关运动粒子在力场内的能量状态所对应的波函数Ψ。
例如：在一个假想的实验环境里，我们有一个粒子，周围都是真空，真空中有一个区域存在明显强大的立场，而在这个区域外力场小到可以忽略。
那么，我们的运动粒子的能量状态可以表示为薛定谔方程：
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+U(r)Ψ
总能量=动能+势能
我们已知粒子动能Ek=-0.5ħ²∇²Ψ在力场区域（橙色）外是一个恒定值，且在橙色区域外U(r)=0（因为只有橙色区域内有力场），
于是得到一个方程
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+0
这个微分方程的求解过程，读者不需要知道，也不需要去记住结果，只需要知道物理含义即可。
方程的解：
ψ=Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}+Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
它是两个波函数Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}和Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}的求和。
也就是说，这个波函数包含了两个部分，我们主要是要看看这两部分都是怎样的。
我们仔细看过可以发现：
Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
除了A，B系数之外，只差一个负号。
如果你有复数知识的话，就会知道这两个函数的实数函数部分符号相反，对应了粒子的两个相反的运动方向。
这说明什么？说明具有同样的能量的粒子，可以向不同方向运动，正好是符合我们物理常识所知道的同样能量的粒子可能具有不同速度（方向）。
共轭是什么意思？
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量子力学里面把波函数表示的态视作态矢量，注意是个矢量，它是希尔伯特空间里面的一个元素，既然是个矢量，按照微分几何里面的概念，这个矢量就自然地唯一的存在一个共轭矢量与它对应，反之，共轭态矢量也唯一对应一个矢量，由于啊希尔伯特空间（矢量空间）是平坦的，它上面仅仅是附加了dim=∞,以及平方可积的这么两个结构,因此不影响它上面的度规,它上面的度规依然是欧式空间的,只不过是无限维的(分量无限多),只要是欧式空间,那么矢量的对偶矢量(既是共轭矢量)和矢量就是在这个度规下自然认同的,也就是说,共轭态矢量和态矢量只不过是一个态的两种描述方法,是完全等效的两种描述。举个例子，好比一个人画一幅画一样，原则上讲他可以用左手画，也可以用右手画，无非就是大多数人习惯用右手画而已；同样地，量子理论里面态矢量和它的共轭态矢量就是描述一个态的两种途径而已，只不过大多数情况下我们习惯用态矢量而不是用它的共轭矢量而已。
另外，态矢量一般称作右矢量；它对于的共轭太矢量成为左矢量；也可以把态矢量成为矢量，而它的共轭矢量成为对偶矢量；这都是一个意思。只不过数学上习惯用矢量和对偶矢量的叫法，量子理论里面习惯叫左矢量和右矢量。
谁能给说说有哪些可测的物理量是共轭的？
----------------------------------------
凡是能够有经典对应的力学量，量子理论里面它们都是可观测的自然也就存在共轭的本征态矢量。
2009-6-30 00:15 回复
先知撒木尔
21位粉丝
35楼
只学过共轭复数和共轭矩阵。看不懂……走了。
2009-6-30 00:24 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
36楼
咱们继续。
前面我们说过，德布罗意同学大胆的设想了物质的波粒二象性，并且得到了实验证实，于是，物理学家现在可以用波动形式的函数来描述物质的波动性质。
但是，这种波函数的形式是怎样的呢？
很多量子力学相关的物理书直接给出了波函数的形式，我们这里先不去关心它的形式，而是先从物理意义角度来说明它的性质，然后弄清为什么它会有那些物理书上给出的那样的形式。
首先我们从电子双窄缝干涉实验来谈起。我画了一个很粗糙的图。
2009-6-30 17:16 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
37楼
当通过双窄缝的电子数量很少的时候，衍射图样就像上图左侧那样，电子星星点点地看似无规则地打在荧光屏上。这时候是根本看不出电子的波动性的。
但当电子的数量非常巨大，那么，电子们的命中点就显示出了比较明显的分布规律，形成右侧那样的由电子命中点组成的有明显明暗条纹分布区域的衍射图样。
也就是说，物质粒子波动性的强弱，和粒子的数量多少成正比。
也就是说，单独的几个粒子，并不能表现出明显的波动性，而波动性必须由大量粒子共同来显示，也可以说波衍射条纹的分布，应该是在粒子数量非常大的条件下的对于所有粒子的命中点分布的一个统计结果。
玻恩 据此提出了利用概率统计的方法来描述物质波的波动性的设想。
我们通常描述波在某一时刻的强弱，会使用振幅这个概念，振幅就是波动变化的某一物理量的值偏离某一平衡值的那个差值。
对于水波，水波的平衡值就是平静水面的高度，那么水面因波动而起伏时，水面的高度比这个平衡高度高或者低的高度差，就是水波的振幅。
对于声波，声波是物质粒子的振动，物质粒子在无声的条件下有自己的存在位置，物质粒子由于受到声能传播影响而周期性地偏离自己在无声条件下的平衡位置往复运动，运动偏离平衡位置的距离就是声波的振幅。
对于电磁波，由于电场和磁场交替增强和减弱，电场强度和磁场感应强度都有一个中间值，它们偏离中间值的场强差就是电磁波的振幅。
类似的情况还有很多，比如你还可以观察跳大绳的游戏，摇大绳时，你可以选定绳子的处于竖直平面内的位置作为平衡位置，绳子偏离这个竖直平面的角度可以看作振幅。
通常我们可以用三角函数来表示最简单的波。
例如高中数学中三角函数图像就是波动曲线。
2009-6-30 18:09 回复
午夜惊魂II
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38楼
左矢和右矢是一个意思
2009-6-30 18:28 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
39楼
振幅的绝对值越大，对应的波动越强。
因此，从二维（波的传播路径为一维，波强的变化为另一维）变化角度来说，波动强弱的统计学标志，就是振幅的每一个取值出现的概率。
对于我们的物质波来说，传播路径仍然是一维的，但由于我们的空间是三维的，振幅可以沿着垂直于传播路径的两个维方向变化。
那么，在三维空间内，物质波强度较高的情况，必须对应于在两个维上的概率统计结果。
振幅绝对值的每个取值，在每一维有一个概率，在两维上的总概率，根据概率论的乘法原理，就等于一维的概率的平方。
基于这一点，波恩提出，直接将波函数描述成为一维振幅函数，其振幅绝对值的平方作为直接考证波强度的标志参量。
因此，许多物理书上说：波函数振幅绝对值的平方与波的强度成正比，其实就是因为实物粒子对应的物质波的强度概率统计要考虑到2维波动。
这个波函数振幅绝对值的平方概念被叫做几率密度。
有些书上没有明确说明，其实这时的波函数已经作了振幅几率化处理：
波函数被写成自由粒子的原始波函数（振幅可能是任何量纲的物理量，且取值可能大于1）除以其振幅最大值的函数形式。
此时的波函数叫做标准量子力学波函数，其最大振幅取值也不超过1，而且函数值是无量纲数。
也就是说，通过这种处理，把自由粒子的波函数变成了一个纯数量函数，而且函数取值范围在-1到1之间，以便为了直接作为概率统计使用（因为概率都是0~100%=1之间的取值，所以需要把描述振幅的波函数的取值设定在-1~1之间，以便让振幅的绝对值的平方不超出0~100%=1的概率取值范围）。
那么，这个几率密度，准确来说，就是波强度某一取值在空间单位体积中的出现概率。
本楼内容你在一般物理书里找不到，仅供参考。
2009-6-30 18:39 回复
吃碰杠听胡
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40楼
由上面的论述，我们终于知道，量子力学书上所说的几率密度，其实就是波强度在单位空间体积内出现的概率：
定义：
几率密度K=强度的概率/空间体积
那么，对于任何一个空间点，我们可以近似把它看成一个很小的体积dV(没有微分知识的朋友只需要知道: 体积V的微分就是一个很小的体积，趋近于一点)。
宇宙空间由无数空间点组成，假如我们把宇宙空间均分为无数小点体积dV，则每一点上的波强度的概率：
波强度在一点处概率=几率密度*空间点体积
=K*dV
那么，某一波强度对应的概率K在全宇宙空间出现的概率
总概率=∫Kdv
没有积分知识的朋友只需要知道∫Kdv就表示对所有Kdv求和，Kdv就是前面说的波强度在一点处的概率，所有点的概率加在一起，就是这个波强度在全宇宙空间内的出现总概率。
由于我们的物质粒子是存在的，也就是说在这个宇宙李宗怡一部分空间位置中它的波强度会有最大值，也总有一些位置它的波强度会有最小值0，也总有其他位置会对应出现波强度的其它中间值。
也就是说，一个物质粒子对应的物质波的强度的每一取值，在全宇宙空间内必至少存在于一个位置，即说明：物质波的每一个强度取值，在全宇宙范围内来说，出现概率为100%=1，虽然它可能在宇宙的某一局部空间体积内出现概率小于1。
那么，我们就有：
物质波某一波强度取值在全宇宙空间范围内出现的总概率=∫Kdv=100%=1
这便是物理书上提到的：几率密度的全空间范围归一化。
而我们是因为对普通的波函数进行了“几率化处理”，让波函数除以波函数的最大振幅值得到了可以归一化的波函数，所以我们把可以满足“几率密度的全空间范围归一化”的这种经过“几率化处理”的波函数叫做归一化波函数。
2009-6-30 18:57 回复
吃碰杠听胡
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41楼
下次继续。
2009-6-30 18:58 回复
吃碰杠听胡
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42楼
由于我们的物质粒子是存在的，也就是说在这个宇宙李宗怡一部分空间位置中它的波强度会有最大
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由于我们的物质粒子是存在的，也就是说在这个宇宙李总有一部分空间位置中它的波强度会有最大
2009-6-30 18:59 回复
恋念
血染图腾
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43楼
期待更新
2009-7-2 15:41 回复
恋念
血染图腾
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44楼
厉风很忙，还在做那部神作呢。
这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-7-3 00:09 回复
cloudk
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45楼
我觉得是不应该说一下归一化的概念，在归一化之前，波函数的振幅可以随意，因此此时只有波函数的相对几率振幅才是有意义的，归一化之后才有几率振幅的模长小于一~
2009-7-3 10:40 回复
粪花图强
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46楼
既然
既然是图说图好像少了点
2009-7-3 10:47 回复
恋念
血染图腾
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47楼
继续啊~~~
2009-7-20 19:47 回复
xianwh
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48楼
很棒的帖子 赞一个
2009-8-11 21:26 回复
wyf920621
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49楼
好复杂~~~
2009-8-18 23:45 回复
吃碰杠听胡
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50楼
额，这帖子我都忘了
2009-8-18 23:56 回复
吃碰杠听胡
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51楼
明天更新
2009-8-18 23:57 回复
tchfk
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52楼
LZ发快点，等着你。
2009-8-19 09:20 回复
tchfk
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53楼
另外问一下39L意思是否是和合作度有关，确实不懂。
2009-8-19 09:23 回复
吃碰杠听胡
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54楼
由于前面我们已经介绍了，描述微观粒子的物理量的各种取值状态分别对应了各自的出现几率，这个几率可以写成波函数的“模方（可以简单理解为复数模的平方，这是个数学概念，在实数中就是绝对值的平方）”乘以空间体积（波函数的模方前面我们说过也叫做几率密度）的形式。
现在假设有两个粒子，各自处于一个状态，他们各自对应自己的波函数Ψ₁和Ψ₂，那么这两个粒子组成的系统如果也用波函数描述，则可以描述为波函数Ψ=a₁Ψ₁+a₂Ψ₂，这个等式给出了一个量子力学基本原理，两个粒子的波函数通过一定方式的迭加，就能得到粒子系统的波函数。
迭加的方法是线性的，所谓线性，就是说迭加的过程中只包括加法和因数乘法（实际上也包括了减法和因数除法），但不包括乘方，开方，对数等运算（三角函数或者双曲函数等实际上也是含有乘方运算的，详细内容与数学上的欧拉公式和双曲函数定义有关，这里不详细介绍），也不包括物理量间直接相乘（注意，a₁和a₂都是纯数量）。
根据这一点，我们可以得到粒子系统的波函数对应的几率密度：
|Ψ|²=|a₁Ψ₁+a₂Ψ₂|²
=|a₁Ψ₁|²+|a₂Ψ₂|²+a*₁a₂Ψ*₁Ψ₂+a₁a*₂Ψ₁Ψ*₂
这个等式，读者不需要知道怎么来的，因为涉及到的是复数运算知识，是数学知识，我们这个帖子只突出介绍物理内容，读者也只需要知道物理上的意义即可。
我们这个帖子尽可能不去考虑量子力学的那些计算内容，所以，给出这个式子也仅仅是为了说明其物理含义对应的重要结论。
2009-8-21 11:00 回复
吃碰杠听胡
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55楼
|a₁Ψ₁|²和|a₂Ψ₂|²可以看作：
a₁a*₁|Ψ₁|²和a₂a*₂|Ψ₂|²，其中|Ψ₁|²和|Ψ₂|²正好是两个粒子各自的波函数的模方，也就是几率密度。
|Ψ|²=|a₁Ψ₁+a₂Ψ₂|²
=|a₁Ψ₁|²+|a₂Ψ₂|²+a*₁a₂Ψ*₁Ψ₂+a₁a*₂Ψ₁Ψ*₂这表明，两个粒子组成的系统的几率密度不仅是两个粒子各自的几率密度的简单求和，而且还包含a*₁a₂Ψ*₁Ψ₂+a₁a*₂Ψ₁Ψ*₂部分。
这两部分表明，粒子系统的整体的几率密度，包含一部分与两个粒子都相关的部分，所以a*₁a₂Ψ*₁Ψ₂+a₁a*₂Ψ₁Ψ*₂表明了粒子间一定具有相互影响。
通常把粒子系统的几率密度中的粒子相互的影响产生的几率密度部分叫做“干涉项”，就是说这部分两个粒子是互相影响产生的意外增量。
这个原理就叫做几率密度的迭加原理，它表明，粒子系统的整体物理性质，不仅仅是每个粒子自身性质的简单相加，而且还包括粒子间的相互影响产生的效果。
2009-8-21 11:16 回复
吃碰杠听胡
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56楼
迭加原理不仅仅适用于两个粒子，也可以扩展到n个粒子的迭加。
而当每一个粒子都与其他粒子相互作用时，系统整体的“迭加项”可能产生非常特殊的效果。
因此，微观粒子的性质不能代替宏观物体的性质，宏观物体的性质还包括极其重要的方面：粒子间的相互作用。
因此，微观粒子的性质完全可以和宏观物体性质迥异。
2009-8-21 11:19 回复
吃碰杠听胡
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57楼
这就从数学上解释了为什么少数几个电子，只能得到左侧无规则的干涉图样，而大量电子的干涉图样是右侧那样有明显规律的。
这个规律性来自于很大量的电子组成的系统整体的几率密度中含有“干涉项”，也就是说，大量电子间存在明显的互相影响。
2009-8-21 11:27 回复
千丈傲雪万丈冰
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58楼
好贴！
2009-8-21 12:03 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
59楼
虽然我们极力回避量子力学的数学，但是有些东西还是要交待。
读者可以完全无视这些公式，只需要记住这些公式的含义，以及推出的性质结论即可。
实际上，对于非专业人员来说，计算是用不到的。所以，大家不用记公式，只需要大致看看是什么样子即可。
这里也不进行所谓的“推导”（相关数学内容这里不详细介绍）。
薛定谔方程：
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+U(r)Ψ
说明一下：
i为虚数单位，ħ为前面介绍的普朗克常数h的一个倍数ħ=0.5h/π，Ψ是一个粒子的波函数，t为时间，∂是偏微分运算符号，∇为劈形算符（求梯度算符，相关内容读者不需要知道，你可以把梯度看作一个指示方向的量，标量的梯度是个矢量，它指示了物理量变化最快的方向，梯度矢量的长度是这个最大的变化率。），m为粒子的质量，U(r)是粒子在一个能量场（比如引力场或者电磁场）内的势能（比如重力势能或者电势能）算符（注意是算符，后面我们会介绍算符和物理量的差别）。
这个公式最早由薛定谔构建出来，它表达的主要是粒子的能量状态的性质。
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+U(r)Ψ 中：
U(r)Ψ部分代表的是粒子所处的力场的势能（电磁势能或者引力势能，注意：U(r)自己不代表势能，当他和波函数Ψ写在一起，U(r)Ψ整个就表示势能了，这个在后面我们介绍算符的时候还会进一步说明）。
-0.5ħ²∇²Ψ/m代表了粒子的动能
iħ∂Ψ/∂t代表了粒子的总能量
所以，薛定谔方程表明：粒子总能量等于其动能与其在周围立场内的势能的和。
2009-8-21 12:13 回复
恋念
血染图腾
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60楼
算符要出现了！算符要出现了！
2009-8-21 12:17 回复
短命郭嘉
9位粉丝
61楼
- -d
算符已经出现了……
2009-8-21 12:34 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
62楼
根据这个方程，我们可以求解一切有关运动粒子在力场内的能量状态所对应的波函数Ψ。
例如：在一个假想的实验环境里，我们有一个粒子，周围都是真空，真空中有一个区域存在明显强大的立场，而在这个区域外力场小到可以忽略。
那么，我们的运动粒子的能量状态可以表示为薛定谔方程：
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+U(r)Ψ
总能量=动能+势能
我们已知粒子动能Ek=-0.5ħ²∇²Ψ在力场区域（橙色）外是一个恒定值，且在橙色（百度）区域外U(r)=0（因为只有橙色（百度）区域内有力场），
于是得到一个方程
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+0
这个微分方程的求解过程，读者不需要知道，也不需要去记住结果，只需要知道物理含义即可。
方程的解：
ψ=Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}+Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
它是两个波函数Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}和Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}的求和。
也就是说，这个波函数包含了两个部分，我们主要是要看看这两部分都是怎样的。
我们仔细看过可以发现：
Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
除了A，B系数之外，只差一个负号。
如果你有复数知识的话，就会知道这两个函数的实数函数部分符号相反，对应了粒子的两个相反的运动方向。
这说明什么？说明具有同样的能量的粒子，可以向不同方向运动，正好是符合我们物理常识所知道的同样能量的粒子可能具有不同速度（方向）。
2009-8-21 12:34 回复
吃碰杠听胡
96位粉丝
63楼
根据这个方程，我们可以求解一切有关运动粒子在力场内的能量状态所对应的波函数Ψ。
例如：在一个假想的实验环境里，我们有一个粒子，周围都是真空，真空中有一个区域存在明显强大的立场，而在这个区域外力场小到可以忽略。
那么，我们的运动粒子的能量状态可以表示为薛定谔方程：
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+U(r)Ψ
总能量=动能+势能
我们已知粒子动能Ek=-0.5ħ²∇²Ψ在力场区域（橙色）外是一个恒定值，且在橙色区域外U(r)=0（因为只有橙色区域内有力场），
于是得到一个方程
iħ∂Ψ/∂t=-0.5ħ²∇²Ψ/m+0
这个微分方程的求解过程，读者不需要知道，也不需要去记住结果，只需要知道物理含义即可。
方程的解：
ψ=Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}+Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
它是两个波函数Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}和Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}的求和。
也就是说，这个波函数包含了两个部分，我们主要是要看看这两部分都是怎样的。
我们仔细看过可以发现：
Ae^{2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
Be^{-2ixπ[(2mE)^(1/2)][h^(-1)]}
除了A，B系数之外，只差一个负号。
如果你有复数知识的话，就会知道这两个函数的实数函数部分符号相反，对应了粒子的两个相反的运动方向。
这说明什么？说明具有同样的能量的粒子，可以向不同方向运动，正好是符合我们物理常识所知道的同样能量的粒子可能具有不同速度（方向）。
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