波退化为拉普拉斯方程，所以对于背景场来说，它的数学形式也退化为可以在欧式空间内求解，即时间可以从方程组中分离出来，这就是牛顿理论

波是由两个模式模式所组成，基本的方程都可化为标量波动方程，但标量波动方程不能直接求场，而只能求态函数，再通过对态函数进行不同的矢量偏微分运算后才能得到场。背景场退化为拉普拉斯方程，所以对于背景场来说，它的数学形式也退化为可以在欧式空间内求解，即时间可以从方程组中分离出来，这就是牛顿理论框架中时间和空间的分离形式。而对于波来说，它的运动形式中时间和空间是不可分离的，单独说某一时刻的空间分布或单独说某一空间位置的时间分布，虽然也可表示出来，但是那种形式不反应物理性质。但是如果把波用复数形式表述，它的解在复域上时间和空间是可以分离的。这就是爱因斯坦批评牛顿时空观的主要内容，这一点爱因斯坦是对的，光有这一点爱因斯坦对科学发展就作出了不可估量的贡献，但是他把时间和空间的联系固定为光在真空中的传播速度，虽然也能解决一些牛顿框架下难以解决的问题，但是这种解决方法的逻辑不严密，不是一种真实的物理关系。

在表达实物的运动形式时，必须采用拉格朗日方法，在欧式空间中对确定的局域分布的粒子来求解，它所用的都是一些经典的参数像速度、加速度、轨迹等，这时，所有的场都要表示成欧式空间中的力。而表达波的运动形式时，实物运动的量必须首先变换为矢量表函数空间中的射影，才能在矢量波函数空间内进行自洽的求解。如果直接在欧式空间中求解场，虽然经典场论中确是这样做的，常常需要作些近似变换，会产生一些误差，虽然经典场论的大量经验积累，已相当好的解决了一些实际问题的求解，但是要进一步严格化求不可能了，为了更严格的描述波与实物的相互作用，为了更精确地描述复杂的与波相作用的实物粒子的运动过程，如漩涡运动下的实物运动、等离子体中的离子运动等，也为了从相互作用过程中获得更多的信息，严格的现代电磁场理论是必须的。




拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。

目录 [隐藏]
1 定義
2 二维拉普拉斯方程
2.1 解析函数
2.2 在流场中的应用
2.3 在电磁学中的应用
3 三维拉普拉斯方程
3.1 基本解
3.2 格林函数
4 参见
5 外部链接
6 参考文献

[编辑] 定義
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：


上面的方程常常简写作：


或


其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：


其中Δ称为拉普拉斯算子.

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：


则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian。

拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。

拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。

拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。