《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
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§4. 重力波
定义：重力波是流体介质在重力作用下产生的一种波动，它的产生与垂直运动有关(w' ≠ 0)。
1. 重力外波（表面重力波，surface gravity wave；浅水波，shallow water wave）
处于大气上、下边界附近的空气质点由于某种原因受到扰动后偏离平衡位置，在重力作用下产
生的波动。
链接3D 函数绘图软件3D Grapher 动态演示:表面重力波
图3.6 动态演示波动形成过程的截图
1.1 波速公式的导出
采用浅水模式方程组，即已经滤除（水平、垂直）声波，并且不考虑科氏力，假定垂直扰动只在x
方向传播（一维重力外波），则有线性化的重力外波方程组：
u' '
t x
∂ ∂φ
= −
∂ ∂
（3.40）
' '
2
0 C u 0
t x
∂φ ∂
+ =
∂ ∂
（3.41）
其中2
0 C =gH， 0 C 称为Newton 声波（等温大气中的声速，不同于绝热大气或等位温大气），
u = 0 ,h=H+h',φ' =gh'。
(40) (41)
t x
∂ ∂
−
∂ ∂
采用消元法， ：
2 '
2 '
2 0 2 C u 0
t x
⎛∂ ∂ ⎞
⎜⎝∂ − ∂ ⎟⎠ =
（3.42）
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设u' 具有单波解：
u' Ueik(x ct) = − （3.43）
（3.43）式代入（3.42）式得：
( )2 2 ( )2
0 −ikc −C ik ＝0
所以
0 c= ±C = ± gH （3.44）
——重力外波的波速公式 (u = 0 即不考虑西风基流时)
若u=const≠0 ，则有：
'
u u'
t x x
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ =−∂∂φ
'
' 2
0 u C u 0
t x x
φ
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ + ∂∂ =
（3.45）
令 (u',φ')=(U,Φ)eik(x−ct) ，可得： （3.46）
0 c=u±C =u± gH （3.47）
小结：求波速解的两种方法
1） 代入法：令线性化方程组中各变量有单波解代入方程组→ 系数行列式=0 → c 的代数方程→ 波
速公式。
2） 消元法：将线性化方程组变量消元→ 单一变量的微分方程→ 令该变量具有单波解→ 变量为c
的代数方程→ 波速公式
1.2 重力外波的性质
垂直横波，双向波， 0 c=C = gH H RT
g
= RT= 280(m.s−1 ) ，快波，天气学意义不重要。
又∵重力外波假设静力平衡，即要求Z/L<<1，对波动而言，流体深度<<波长，重力外波也称为
浅水波（水渠波）、（海洋）表面波等。
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图3.7 重力外波产生的物理机制
1.3 重力外波产生的物理机制
由于某种原因，自由面有起伏（垂直扰动）在A 点，
'
h' 0,w' dh 0
dt
> = > ，则A 点自由面较邻近点
自由面高→A 点附近形成的沿x 方向的位势梯度力，
' ' '
gh 0 (3.40)u 0
x x t
⎛ ∂φ ∂ ⎞ ∂
⎜⎝−∂ = − ∂ > ⎟⎠∂ > （A 点附近形
成沿x 方向的加速度） → （设' '
0 0 | 0) | 0, t t u u = > = > 产生水平扰动。
另一方面，∵
'
h 0
t
∂
>
∂
（A 点自由面高）
' '
0(3.41) u 0
t x
∂φ ∂
→ > <
∂ ∂ ，A 点附近有水平质量辐合→A
点右方的B 点自由面升高(h' > 0) .....（循环过程同上）∴初始时刻首先在A 点形成的垂直扰动将向右（同
时也向左）传播开来，从而形成重力外波。
外部条件：边界面上要有垂直扰动。内部条件：垂直扰动在重力作用下，使水平气压（位势）梯度
改变及伴有的水平辐合、辐散的交替变化。
1.4 滤除重力外波的条件
1） 假定大气上、下边界是刚体（固壁）边界，即上、下边界条件是齐次的( ' ' )
0 | | 0 z zh w w = = = = ；
2） 假定大气是水平无辐散的；
3） 假定大气是地转运动的；
4） 假定大气作纯水平运动(w' = 0)。
2. 重力内波
又分为两类：1）切变重力内波：发生在不同密度的两层流体交界面上，也称分界面波（interfacial
wave），或K−H波（Kelvin-Helmhotlz wave）；2）层结重力内波：在稳定层结下 ，空气质点受到扰动
后偏离平衡位置，在重力作用产生的波动。本章讨论的重力内波为层结重力内波。
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2.1 重力内波的波速公式
预备知识：
1） 滞弹性近似：在运动方程组中部分考虑密度扰动的影响，即只保留与重力相联系的密度扰动项；
连续方程中忽略密度扰动影响；而热力学方程中保留密度扰动的影响。又称非弹性近似（anelastic
approximation）或准包辛内斯克近似。
2） 包辛内斯克（Boussinesq）近似：在滞弹性近似的基础上，若考虑的是浅层运动 (Z<
扰动状态方程：ρ'/ρ=χ−1p'/p−θ'/θ 『参见<<大气动力学>>上册（4.100）』⇒ρ'=−ρθ '/θ ；
垂直运动方程中仍保留与重力相联系的密度扰动项。
3） 包辛内斯克方程组（z 系线性化方程组的包辛内斯克近似）
' '
du 1 p fv'
dt ρ x
∂
= − +
∂
' '
dv 1 p fu'
dt ρ y
∂
= − −
∂
dw' 1 p' ' g
dt z
ρ
ρ ρ
∂
= − −
∂
（3.48）
' ' '
0 u v w
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
' ( )
' 0
d wd z
dt dz
θ θ
+ =
'
' θ
ρ ρ
θ
= −
4） 重力内波方程组
考虑纯重力内波，可不计地球旋转(Ω = 0, f = 0)，扰动限定在一个垂直平面（OXZ），是二维运动。
改写0 ρ =ρ =const. 由(3.48)→ 重力内波的控制方程组：
' '
0
du 1 p 0
dt ρ x
∂
+ =
∂
' ' '
0
dw 1 p g 0
dt z
θ
ρ θ
∂
+ − =
∂
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' '
u w 0
x z
λ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
（3.49）
'
d w'd 0
dt dz
θ θ
+ =
其中λ 是示踪系数（也称滤波系数）, 若λ = 0 ，即取水平无辐散近似。上述方程组可改写为：
'
'
0 0
p
u
t x
ρ
⎛ ⎞
∂⎜ ⎟
∂ + ⎝ ⎠=
∂ ∂
' ' '
0
w p g 0
t z
θ
ρ θ
∂ ∂ ⎛ ⎞
∂ +∂ ⎜⎝ ⎟⎠− =
(3.49）’
' '
u w 0
x z
λ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
'
d w'd 0
dt dz
θ θ
+ =
（3.49）4 式同乘
1
θ
' 2
N w' 0
t g
θ
θ
∂ ⎛ ⎞
→∂ ⎜⎝ ⎟⎠+ =
解一：先消变量
θ '
θ
，再对
'
' '
0
u,w, p
ρ
设单波解。
解二：消去其余三个变量，得到关于w' 的单变量高阶微分方程
2 2 2 2
2 '
2 2 2 2 N w 0
t x z x
λ λ
⎡∂ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎤
⎢⎣∂ ⎜⎝ ∂ +∂ ⎟⎠+ ∂ ⎥⎦ =
（3.50）
设w' 有二维单波解
w' Wei(kx mz t ) = + −ω
得重力内波的频率方程：
ω2(λk2+m2)−λN2k2=0 （3.51）
即 ( 2 2)
kN
k m
λ
ω
λ
±
=
+
（3.51）’
若λ = 0 ，即取水平无辐散近似，ω = 0 ，无重力内波；
若N = 0， d 0
dz
θ
= ，即中性层结，ω = 0 ，也无重力内波。
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波速矢2 ( 2 2)3/ 2( )
C K 1 Nk ki mk
K k m
ω
λ
±
= = +
+
（3.52）
∵ K=ki+mk
( ) ( ) 2 21/ 2 2 21/ 2
, x z
c N c k N
k k m m m k m
ω ω
= =± = =±
+ +
∴不满足合成法则，即C
的i
分量x ≠ c 。
2.2 重力内波的性质
主要是垂直横波，双向传播波，但在垂直方向也呈现波动状， 0 z c ≠ ,二维波，波速( ) x c 为几十m⋅s−1 ，
中速波，“中等频率”，但波速与波数m 有关，∴当m 很大，即物理量垂直变化很大（垂直结构很复杂）
时，波速会变得较小(≈u)→低频变化。
∴重力内波与中，小尺度天气系统关系密切。
实例：对流云、波状云、飞机颠簸（间接感觉）。
图3.8 重力内波的传播
重力内波产生的物理机制
1) 层结条件
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2 ( )
d
N g g
z T
θ
γ γ
θ
∂
= = −
∂
稳定层结： 2
, 0, 0 d s γ <γ σ > N > ，垂直扰动在净浮力作用下的（浮力）振动在空间的传
播→ 重力内波
中性层结： , 0, 2 0 d s γ =γ σ = N = ，无净浮力作用，无垂直振动，无重力内波。
不稳定层结： 2
, 0, 0 d s γ >γ σ < N < ，气块在垂直方向上作加速运动（方向恒定），永远远
离初始平衡位置，无垂直振动，也形成不了重力内波。但层结不稳定的结果将导致层结稳定。
因此，重力内波的形成可只要求层结是非中性的。
图3.9 重力内波的形成和传播
2) 机制分析
设大气层结是稳定的，上、下边界固定。当图3.8 中A 处出现向上的扰动(ω ' < 0)，A 点以下的
'
0
p
∂ω
>
∂ 连续方程
'
u 0
x
∂
<
∂
（水平辐合）；A 点以上有
'
0
p
∂ω
<
∂
'
u 0
x
∂
>
连续方程 ∂ （水平辐散），这种水平
辐合、辐散的垂直分布，使空气质点在水平气压梯度力的作用下在A 点以上从A 点流出，A 点以下向A
点汇合。由于质量补偿作用，使得A 点以外未受扰动的空气产生与A 点相反的辐合、辐散运动（水平扰
动），如B、C 两点，下层辐散，上层辐合，下沉运动。因此，初始在A 点出现的垂直扰动逐渐通过水平
辐合、辐散的交替变化向左、右，同时通过垂直散度的交替变化向上、下传播开来，从而形成（二维）重
力内波。
重力内波产生的物理条件：稳定层结，有垂直扰动，扰动状态为非静力平衡（
'
dw 0
dt
≠ ）。重力内波
的流场型式与对流云的运动型式相似。∴重力内波对小尺度天气变化过程有重要作用。
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图3.10 云波
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图3.11 观测到的重力内波
2.4 滤除重力内波的条件
对大尺度运动，可采用下列条件滤除重力内波：
1） 假定大气是中性层结( , 0, 2 0, 0) d S N Cα γ =γ σ = = = ；
2） 假定大气是水平无辐散的；
3） 假定大气是准地转运动；
4） 假定大气只作水平运动，或（垂直）运动状态与z 或p 无关。
§5. 惯性波与惯性振荡
复习：惯性风（圆），科氏力与惯性离心力相平衡时的空气流动。
定义：处于平衡位置的空气质点，由于某种原因受扰动后偏离平衡，在科氏力作用下形成的波动。
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由于其发生在大气内部，又称惯性内波。
1. 波速公式
设大气是均质不可压的，并设基本气流为零(u = 0)，以及扰动与y 无关或扰动在y 向分布均匀，
即
( )
0,
y
∂
=
∂
则z 系线性化方程组为：
' '
u fv' F
t x
∂ ∂
= −
∂ ∂
'
v fu'
t
∂
= −
∂
w' F'
t z
δ
∂ ∂
= −
∂ ∂
（3.53）
' '
u w 0
x z
∂ ∂
+ =
∂ ∂
'
F' p gz
ρ
= −
其中δ :示踪系数（滤波参数）
=0 静力平衡
δ ≈ 0 准静力平衡
=1 非静力平衡
设波动在x 方向传播，则波动解设为：
u' U
v' = V eihzeik(x ct)
π
− （3.54）
w' W
F' F
（3.54）式代入（3.53）式得：
−ikUc= fV−ikF
ikVc = fU （3.55）
i kWc i F
h
δ
π
=
i W ikU 0
h
π
+ =
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消去V、W、F，可得关于U 的单一变量方程:
2 2
k2c2 k2 f 2 U 0
h h
π π
δ
⎧⎪⎨ ⎡⎢⎛⎜ ⎞⎟ + ⎤⎥− ⎛⎜ ⎞⎟⎪⎫⎬ =
⎩⎪ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠⎪⎭
（3.56）
∵U ≠ 0（非零解）
2 2
k2c2 k2 f 2 h
h
π
δ
π
∴ ⎡⎢⎛⎜ ⎞⎟ + ⎤⎥= ⎛⎜ ⎞⎟
⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠
（3.57）
( )
2
2 1
/
x
f
c c k
k
h
δ
π
→ = = ±
+ ⋅
（3.58）
若δ = 0 ， c= ±f/k （3.59）
因此惯性振荡是平面情形下惯性波的退化形式。
若δ = 1 ，
2 ( )2
/ ( /)( / )
1 / /
c f k hfk
k h k
π
π
= ± ≈ ± ⋅
+
（3.60）
当不考虑气压梯度力而仅有科氏力时，空气质点的水平扰动方程组为：
u fv 0
t
∂
− =
∂
v fu 0
t
∂
+ =
∂
（3.61）
设运动呈振荡型，采用试解法（也可采用“复速度”法求解），可设
0
u=ue−iωt
0
v=ve−iωt （3.62）
其中ω 为振荡的圆频率。
1
2
2
2
2
(3.61) , (3.61)
0
t
u f u
t
∂
∂
∂
=
∂
再代入可得：
＋
(3.62)’
（3.62）1 式代入（3.62）’式得
ω = ± f 或ω = f ω≥0ω = f （3.63）
称为惯性频率，而惯性周期为
2 2
f sin
π π π
τ
ω ϕ
= = =
Ω
（3.64）
在中纬度，τ ≈17 （小时），也称为半摆日，即Foucault 摆转过1800 所需的时间。
( ) ( ) 1 2 u⋅ 3.61 +v⋅ 3.61 →水平动能方程：
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2 2
0
2
u v
t
∂⎛ + ⎞
∂ ⎜⎝ ⎟⎠=
即co s hK= nt（动能守恒） （3.65）
再求质点运动的轨迹。（3.61）式对t 积分得：
u= fy+a
v= −fx+b （3.66）
2 2 2 2 2 2 2
2 2
x b y a v u u v d
f f f f f f
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +
⎜ − ⎟ +⎜ + ⎟ =⎜− ⎟ +⎜ ⎟ = =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
（3.67）
因此，质点轨迹：（惯性）圆，圆心 b, a
f f
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
，半径
2 2
h d u v V
f f f
+
= =
质点运动：惯性振荡（风）， 运动方向（北半球）顺时针旋转。此类运动在海洋中更重
要，更易观测到。∵V 〈V洋气， R 洋气〈R 。
2．惯性波的性质
是二维波，可同时在水平、垂直方向传播，主要是水平横波（南北振荡，东西向传播），双向
传播。对大尺度运动： 16 1 xc = m⋅s− ；中尺度运动： / 2 1 xc =f k= m⋅s− ，属于慢波。
因为科氏参数f = const ，对应中尺度运动。∴惯性波对中尺度运动有重要影响，但实际
上，纯惯性波并不存在。科氏力、重力是同时起作用的，所以是以惯性—重力内波(背风波、锋面波)
这种混合波的形式出现。
3．物理机制
要求：
'
0 w 0
t
δ
∂
≠ ≠
∂
， （非静力平衡）。所以，形成机制与重力内波类似。
若某区域有上升运动w' > 0→下层辐合、上层辐散， → 水平扰动， u' ≠ 0 ，对西风扰动
( ) '
' '
2 u0 (3.53) v 0 v0
t
∂
> < → <
∂ （产生北风扰动）
'
1 (3.53) u 0
t
∂
<
∂ ，削弱原有西风，从而就会改
变原来的水平散度分布。因此，在科氏力作用下形成的向右（北半球）旋转的惯性振荡，通过水
平辐合、辐散及垂直运动的交替变化，在水平方向和垂直方向传播，形成惯性波。
外部条件：地球旋转。内部条件：垂直运动及其加速度（非静力平衡），水平散度的交替变化。
4. 滤波条件
1） 不计地球旋转（不计科氏力）。
2） 设为静力平衡。
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3） 设为水平无辐散。
4） 设为准地转运动。
作业：Cha.3－15, 29，33
§6. 大气长波（Ros*****y 波）
本节讨论经典的大气长波：水平无辐散的Ros*****y 波或正压Ros*****y 波。
高空天气图上的特征：自西向东移动（单向性），移速接近u （慢波），波长为几千km，绕地球一圈
有3－6 个（“冬三夏四”），把这种流型所蕴含的波动称为Ros*****y 波(大气长波，行星波)。注意：通过天气
图看到的是气流的流型，并非是波动（质点运动与波动的关系）。
图3.12 获奖后的罗斯贝
1． Ros*****y 波的波速公式
设为大尺度运动：准静力，准水平，准水平无辐散。则p 系的扰动方程组（设f = f0 +β y ≠ const. ）：
'
u u' fv'
t x x
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ − =−∂∂φ
'
u v' fu'
t x y
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ + =−∂∂φ
（3.68）
' '
u v 0
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
与上节惯性波比较可知：
惯性波： f = cos nt : f 平面近似；长波： f ≠ const: β 平面近似， f const
y
β
∂
= =
∂
，即在f 平
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面上考虑科氏力→ 惯性波; 在β 平面上考虑科氏力→ 大气长波。
为考虑f 的变化（即β 项），将水平运动方程变形（作涡度运算）得：
' '
u v u v' 0
t x x y
β
⎛⎜⎝∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠⎛⎜⎝∂∂ −∂∂ ⎞⎟⎠+ =
（3.69）
d(v' u') f d(' f) 0
dt x y dt
⎛ ∂ ∂ ⎞ ζ +
⎜⎝ ∂ − ∂ + ⎟⎠= =
（3.69）‘
因为运动水平无辐散，可引入流函数，使
' '
u' ,v'
y x
∂ψ ∂ψ
= − =
∂ ∂
，所以
'
u 2 ' 0
t x x
ψ
ψ β
⎛⎜⎝∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠∇ + ∂∂ =
（3.70）
考虑南北范围无限宽或扰动与y 无关（一维波动），则：
2 ' '
2 u 0
t x x x
ψ ψ
β
⎛⎜⎝∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠∂∂ + ∂∂ =
（3.71）
或由
'
(3.69) u v v' 0
t x x
β →⎛⎜⎝∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠∂∂ + =
（3.72）
设单波解为：
ψ ' = Aeik(x−ct) （3.73）
或 v' Beik(x ct) = − （3.74）
将（3.73）式代入(3.71)式或(3.74)式代入(3.72)式得：
c u k2
= −β （3.75）
—— 经典的Ros*****y 长波公式(动力学常用表达式：波数形式)
ku k
ω = −β （3.75）’
或
2
4 2
c u β L
π
= − （3.76）
（天气学常用表达式：波长形式）
若设南北范围有限 ，可令
' D e i(kx ly t ) ψ = + −ω
代入（3.70）式得二维Ros*****y 波在x 方向传播的波速公式：
x 2 2 c u
k k l
ω β
= = −
+
（3.76）’
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—— Haurwitz 波 （k＝0 时，即为经向传播的Ros*****y 波）
也有称球坐标系中的二维Ros*****y 波为Haurwitz 波。
2． 罗斯贝波的性质
水平横波，单向波，慢波，对大尺度天气变化过程有重要意义。由于绝对涡度守恒（（3.69）’式），水
平无辐散（（3.68）3），又称涡旋(慢)波。
令（3.76）式中的c=0（即变为静止波或驻波），则静止长波的临界波长为
2 s
L = π u β （3.77）
代入（3.76）式得
2
1 2
s
c u L L
= ⎛⎜ − ⎞⎟
⎝ ⎠
（3.78）
由（3.78）式得：
(3.79)
图3.13 罗斯贝波的形成
3． Ros*****y 波产生的物理机制
设初始时有三个静止气柱（也有用3 个空气质点），某时刻气柱B 受扰动向北运动，因为绝对涡度守
恒ζ ' + f =常数，所以纬度增加，则f ↑ →ζ ' ↓即ζ ' < 0 得到负涡度，发生顺时针旋转。在它的诱导下
0
0
0
s
s
s
L c
L L c
L c
= = ⎧⎪
= < > ⎨⎪
⎩> <
， ， 静止波（ 驻波）
， ， 波向东移， 前进波
， ， 波向西移， 后退波
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16
气柱C 向南运动，得到正涡度，产生逆时针环流；而气柱A 向北运动，得到负涡度，形成顺时针环流。
另一方面，在气柱A 和C 对应的环流的反诱导作用下，气柱B 向北在达到一定纬度后就会转向南运
动，即返回初始纬度。但回到初始纬度后，由于惯性作用下继续向南运动到一某位置后，……；则气柱B
将围绕初始纬度作南北振荡，在其作用下气柱A，C 也将随之作南北振荡。则这种南北振荡在地转涡度f
随纬度变化作用（即β 效应）下的传播就形成大气长波（Ros*****y 波）。
§7. 水平辐散条件下的Ros*****y 波
在β 平面上，考虑浅水模式方程组（非线性）：
0
u u u v u fv
t x y x
v u v v v fu
t x y y
u v u v
t x y x y
φ
φ
φ φ φφ
⎧∂ ∂ ∂ ∂
⎪ + + − =−
∂ ∂ ∂ ∂ ⎪⎪
∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ + + + =− ⎨∂ ∂ ∂ ∂ ⎪⎪
⎩⎪⎪∂∂ + ∂∂ + ∂∂ + ⎛⎜⎝∂∂ +∂∂ ⎞⎟⎠=
（3.80）
2 1 (3.80) (3.80)
x y
∂ ∂
−
∂ ∂
，得涡度方程：
d( f) ( f) u v
dt x y
ζ
ζ
+ ⎛∂ ∂ ⎞
= − + ⎜⎝∂ + ∂ ⎟⎠
（3.81）
3 (3.80) 改写为：
d u v 0
dt x y
φ
φ
⎛∂ ∂ ⎞
+ ⎜⎝∂ +∂ ⎟⎠=
（3.82）
由（3.81）、（3.82）式消去水平散度项，可得：
d( f ) 0
dt
ζ
φ
+ = （3.83）
即为位涡守恒方程。利用（3.81）、（3.82）式有：
d v ( f)1d f d
dt dt dt
ς φ φ
β ζ
φ φ
+ = + ≈ （3.84）
为线性化(3.84)式，设：
u=u+u' ，v=v+v' ，φ =φ +φ ' （3.85）
则得线性化涡度方程：
u ' v' f u ' v'
t x t x y
φ
ζ β φ
φ
⎜⎝⎛∂∂+ ∂∂ ⎟⎠⎞ + = ⎡⎢⎣⎜⎝⎛∂∂+ ∂∂ ⎟⎠⎞ + ∂∂ ⎤⎥⎦
（3.86）
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17
引入地转近似：
'
u '
y
∂ψ
= −
∂
，
'
v '
x
∂ψ
=
∂
，
'
' f
ψ =φ （相当流函数，称为地转流函数），所以（3.86）式变
为：
( ) ( ) '
2 ' 2 ' 2
1 1 u u 0
t x x
ψ
ψ λ ψ β λ
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ ∇ − + + ∂∂ =
（3.87）
其中
2
2
1
λ f
φ
= ，代表水平散度的作用。如果u = 0 ，（3.87）又可写为：
( 2 ' 2 ')
1 d f 0
dt
∇ψ + −λψ = （3.88）
称为准地转位涡守恒方程。设有单波解
' e i(kx ly t) ψ = Ψ + − ω （3.89）
代入（3.87）式得：
2 2 2
1
k
k l
β
ω
λ
= −
+ +
(u = 0 ) （3.90）
2
1
2 2 2
1
ku k( u)
k l
β λ
ω
λ
+
− =−
+ +
（u ≠ 0 ） （3.90）‘
讨论：
1） u = 0 , 2 2 2
1
k
k l
β
ω
λ
= −
+ +
(3.91)
2 2 2
1
x c
k k l
ω β
λ
= =−
+ +
， 2
1 λ
（水平散度项）使长波的移速减慢。
2 2 2
1
( ) y
c l k l k l
ω β
λ
= =− ⋅
+ +
（3.92）
2） u ≠ 0 ， ( 2 2)
2 2 2
1
k k l u
k l
ω β
λ
= + + ⎡⎣ + − ⎤⎦
（3.93）
2
1
2 2 2
1
x
c u u
k k l
ω β λ
λ
+
= = −
+ +
（3.94）
y x
c kc
l
=
可见，水平散度的作用与长波的产生无关，只是使得长波移速变慢。如果扰动与y 无关，则（3.94）式变
为
( 2 )
1
2 2
1
x
u
c c u
k
β λ
λ
+
= = −
+
（3.95）
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18
进一步，若不考虑基本气流（即令u = 0 ），有
2 2 2
1 2
c
k k f gH
β β
λ
= − = −
+ +
（3.96）
即为海洋Ros*****y 波（本章习题的第7 题）。
3）两类Ros*****y 波的比较
(1) 水平无辐散情况下（经典Ros*****y 波）
形成于具有无限深度或有限深度但有固定顶盖的均质不可压大气中。其相速度为：
2
2 4 2
c u u L
k
β β
π
= − = − （3.97）
群速度（波动能量传播的速度，详见下一节）
2
g 2 4 2
c c kc u u L
k k
β β
π
∂
= + = + = +
∂
（3.98）
① gc >c，并且0 g c > （波动能量向东传播，快于波动本身的传播）
② g L ↑→ c ↑ ，当L → ∞ （ k → 0 ）时c → −∞ ， g c → +∞ （波速、群速度无界）
(2) 有水平辐合、辐散的情况下
形成于均质不可压的具有自由表面的大气。其相速度为：
2
1
2 2
1
c u u
k
β λ
λ
+
= −
+
（3.99）
称为叶笃正波（Yeh wave）。其群速度：
图3.14 叶笃正（1916－ ）
( )
( )
2 2 2 2 2
1 1
2 2 2
1
( 3 )
g
k k u k
c
k
λ β λ
λ
+ + −
=
+
（3.100）
① s L 0 ， 0 g c > 且gc >c（波动能量向东传播）
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19
{ {
L>Ls ： c < 0 ， 0 g c < 且gc >c（波动能量向西传播，并且快于波动本身的传播）
②L→ ∞(k→0)时， 2
1
gc c β
λ
= → − （波速、群速度皆有界）
波动小结：
准地转大气（模式）：Ros*****y 波。
正压大气（模式）：惯性－重力外波，正压Ros*****y 波。
斜压大气（模式）：惯性－声波，惯性－重力内波，斜压Ros*****y 波。
长波小结：
正压大气长波 水平无辐散 一维正压大气长波（Ros*****y 波）
二维正压大气长波 (Haurwitz 波) → 球面Ros*****y 波
大气长波
有水平辐合、辐散 二维有水平辐合、辐散长波
一维有水平辐合、辐散长波（叶笃正波）
海洋Ros*****y 波（基流静止）
斜压大气长波 包含层结效应的Ros*****y 波
§8. 大气混合波—惯性重力外波
自由面上的垂直扰动在重力、科氏力共同作用下形成的波动。设u = 0 ， 0 f = f 且扰动与y 无关，
则线性化浅水方程组为：
' '
'
'
'
' '
2
0
0
0
u fv
t x
v fu
t
C u
t x
φ
φ
⎧∂ ∂
⎪⎪∂ − =− ∂
⎪∂
+ = ⎨ ∂ ⎪⎪
∂ ∂
⎩⎪∂ + ∂ =
（3.101）
1 (3.104)
t
∂
∂
,利用2 (3.104) 和3 (3.104)
x
∂
∂
得：
2 2
2 2 '
2 0 2 f C u 0
t x
⎛∂ ∂ ⎞
⎜⎝∂ + − ∂ ⎟⎠ =
(Klein −Gordon方程)（3.102）
设
u' Ueik(x ct) = − （3.103）
代入得
2 2
2
0
c C f gH f
k k
= ± +⎛⎜ ⎞⎟ = ± +⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
（3.104）
——惯性重力外波的波速公式
{
{
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20
主要性质：海洋动力学中称Sverdrup（斯维尔德鲁普）波。属于快波，对天气变化过程意义不大，在正
压地转适应过程中有重要作用（详见第四章）。
其他形式的混合波：惯性－声波，惯性－重力外波，惯性－重力内波，Ros*****y－重力波（热带大气）。
§9. 群波与群速度
1． 单波（单色波，单纯波）：具有一定振幅、一定频率和一定波长，在时间和空间都是无限的波动。
2． 群波(group wave)：由各种单色波叠加而成的波动。叠加结果：若振幅加强，则相互增长；若振幅减
弱，则相互抵消。所以，群波的振幅随时间和空间改变。群波≠混合波。
3．群波的主要性质
设有两个单波1, 2 q q ，振幅相同，频率和波数略有差异。
考虑它们仅在x 方向传播，设
(1 1)
1
q Qei k x t = −ω （3.105）
(2 2)
2
q Qei k x t = −ω （3.106）
迭加后的群波：
(1 1) (2 2)
1 2
q q q Q ei k x t ei k x t = + = ⎡⎣ −ω + +ω ⎤⎦
1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
ik kx t ik kx t ik kx t
Q e e e
−⎛⎜ − −ω −ω ⎞⎟ ⎛⎜ − −ω −ω ⎞⎟ ⎛⎜ + −ω +ω ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤
= ⎢ + ⎥⋅
⎢⎣ ⎥⎦
1 2 2 1
2 cos 2 1 2 1 2 2
2 2
Q k kx t eik kx t
ω ω ω ω ⎛⎜ + − + ⎞⎟
⎝ ⎠ = ⎛⎜ − − − ⎞⎟
⎝ ⎠
（3.107）
群波特点：园频率2 1
2 2 1
ω ω
ω ω
+
= ≈ ≈ ，波数2 1
2 2 1
k k k k
+
= ≈ ≈
振幅：是时间、空间函数（ ≠ co nst ）。振幅2 cos
2 2
Q kx t = ⎛⎜Δ −Δω ⎞⎟
⎝ ⎠
，振幅max : 2Q，振幅min : 0 。
载波：移速1 2 c c c
k
ω
= ≈ ≈ 2 1
2 1 k k
ω +ω
=
+
，又称被调幅波
波包：移速
/ 2
g / 2 c
k k
Δω Δω
= =
Δ Δ
，取极限得：
g
c d
dk
ω
= （3.108）
波包的定义：载波的包络线，即载波最大的振幅点的连线，又称调幅波。
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21
图3.15 波包
图3.16 波的叠加
链接函数绘图软件Advanced Grapher 演示:波包
4. 群速（度）：调幅波（波包）的移速，群波中具有相同振幅点的移速，代表波动能量的传播速度。
5. 相速（度）：被调幅波（载波）的速度，表示位相相同点移动的速度，代表波形的传播速度。
6. 群速的计算式
1） g
c d
dk
ω
= （3.109）
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2） g
c c kdc
dk
= + （3.110）
3） g
c c Ldc
dL
= − （3.111）
4）
1 2
g
c dk c c dc
d d
ω
ω ω
= =
−
（3.112）
7. 波的频散（弥散）
1）非频散波： gc =c即c 与k，L，ω 均无关，波能与波动一起移动，称波动没有发生频散或为非频散波，
如声波、重力外波；反之，称为频数波（ gc ≠c），如重力波、惯性－重力波、长波。
长波：c=u−β /k2 ， ( 2) 2
3
/ 2 / g
c c kdc u k k u k
dk k
β
= + = −β + ⋅ = +β
g∴c ≠c，长波为频散波，具有频散效应。
2）上游效应： 0 gc >c> ；或c < 0 ， 0 g c > 时，上游扰动的能量先于扰动本身到达下游，在下游产生新
的扰动，或加强下游原有扰动的影响。
3）下游效应： c > 0 ， 0 g c < 或0, 0, g g c< c < 且c >c时，下游扰动的能量向上游传播，使上游产生新
的扰动或加强上游原有扰动的作用。
4）两类长波在上、下游效应中的差异
水平无辐散长波： /2, /2, g g c=u−β k c =u+β k c >c且0 g c > ，所以只能够产生上游效应。
有水平（辐合）辐散长波： 0 , g g gx g c c c c c
k
∂ω
> = >
∂
（ 取） 并有0 g c > 或0 g c < ，可产生上、下游效应。
作业：Cha.3－6、9、28、38
本章小结
请同学们自己完成。
习题课
1
§4. 重力波
定义：重力波是流体介质在重力作用下产生的一种波动，它的产生与垂直运动有关(w' ≠ 0)。
1. 重力外波（表面重力波，surface gravity wave；浅水波，shallow water wave）
处于大气上、下边界附近的空气质点由于某种原因受到扰动后偏离平衡位置，在重力作用下产
生的波动。
链接3D 函数绘图软件3D Grapher 动态演示:表面重力波
图3.6 动态演示波动形成过程的截图
1.1 波速公式的导出
采用浅水模式方程组，即已经滤除（水平、垂直）声波，并且不考虑科氏力，假定垂直扰动只在x
方向传播（一维重力外波），则有线性化的重力外波方程组：
u' '
t x
∂ ∂φ
= −
∂ ∂
（3.40）
' '
2
0 C u 0
t x
∂φ ∂
+ =
∂ ∂
（3.41）
其中2
0 C =gH， 0 C 称为Newton 声波（等温大气中的声速，不同于绝热大气或等位温大气），
u = 0 ,h=H+h',φ' =gh'。
(40) (41)
t x
∂ ∂
−
∂ ∂
采用消元法， ：
2 '
2 '
2 0 2 C u 0
t x
⎛∂ ∂ ⎞
⎜⎝∂ − ∂ ⎟⎠ =
（3.42）
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2
设u' 具有单波解：
u' Ueik(x ct) = − （3.43）
（3.43）式代入（3.42）式得：
( )2 2 ( )2
0 −ikc −C ik ＝0
所以
0 c= ±C = ± gH （3.44）
——重力外波的波速公式 (u = 0 即不考虑西风基流时)
若u=const≠0 ，则有：
'
u u'
t x x
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ =−∂∂φ
'
' 2
0 u C u 0
t x x
φ
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ + ∂∂ =
（3.45）
令 (u',φ')=(U,Φ)eik(x−ct) ，可得： （3.46）
0 c=u±C =u± gH （3.47）
小结：求波速解的两种方法
1） 代入法：令线性化方程组中各变量有单波解代入方程组→ 系数行列式=0 → c 的代数方程→ 波
速公式。
2） 消元法：将线性化方程组变量消元→ 单一变量的微分方程→ 令该变量具有单波解→ 变量为c
的代数方程→ 波速公式
1.2 重力外波的性质
垂直横波，双向波， 0 c=C = gH H RT
g
= RT= 280(m.s−1 ) ，快波，天气学意义不重要。
又∵重力外波假设静力平衡，即要求Z/L<<1，对波动而言，流体深度<<波长，重力外波也称为
浅水波（水渠波）、（海洋）表面波等。
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3
图3.7 重力外波产生的物理机制
1.3 重力外波产生的物理机制
由于某种原因，自由面有起伏（垂直扰动）在A 点，
'
h' 0,w' dh 0
dt
> = > ，则A 点自由面较邻近点
自由面高→A 点附近形成的沿x 方向的位势梯度力，
' ' '
gh 0 (3.40)u 0
x x t
⎛ ∂φ ∂ ⎞ ∂
⎜⎝−∂ = − ∂ > ⎟⎠∂ > （A 点附近形
成沿x 方向的加速度） → （设' '
0 0 | 0) | 0, t t u u = > = > 产生水平扰动。
另一方面，∵
'
h 0
t
∂
>
∂
（A 点自由面高）
' '
0(3.41) u 0
t x
∂φ ∂
→ > <
∂ ∂ ，A 点附近有水平质量辐合→A
点右方的B 点自由面升高(h' > 0) .....（循环过程同上）∴初始时刻首先在A 点形成的垂直扰动将向右（同
时也向左）传播开来，从而形成重力外波。
外部条件：边界面上要有垂直扰动。内部条件：垂直扰动在重力作用下，使水平气压（位势）梯度
改变及伴有的水平辐合、辐散的交替变化。
1.4 滤除重力外波的条件
1） 假定大气上、下边界是刚体（固壁）边界，即上、下边界条件是齐次的( ' ' )
0 | | 0 z zh w w = = = = ；
2） 假定大气是水平无辐散的；
3） 假定大气是地转运动的；
4） 假定大气作纯水平运动(w' = 0)。
2. 重力内波
又分为两类：1）切变重力内波：发生在不同密度的两层流体交界面上，也称分界面波（interfacial
wave），或K−H波（Kelvin-Helmhotlz wave）；2）层结重力内波：在稳定层结下 ，空气质点受到扰动
后偏离平衡位置，在重力作用产生的波动。本章讨论的重力内波为层结重力内波。
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4
2.1 重力内波的波速公式
预备知识：
1） 滞弹性近似：在运动方程组中部分考虑密度扰动的影响，即只保留与重力相联系的密度扰动项；
连续方程中忽略密度扰动影响；而热力学方程中保留密度扰动的影响。又称非弹性近似（anelastic
approximation）或准包辛内斯克近似。
2） 包辛内斯克（Boussinesq）近似：在滞弹性近似的基础上，若考虑的是浅层运动 (Z<
扰动状态方程：ρ'/ρ=χ−1p'/p−θ'/θ 『参见<<大气动力学>>上册（4.100）』⇒ρ'=−ρθ '/θ ；
垂直运动方程中仍保留与重力相联系的密度扰动项。
3） 包辛内斯克方程组（z 系线性化方程组的包辛内斯克近似）
' '
du 1 p fv'
dt ρ x
∂
= − +
∂
' '
dv 1 p fu'
dt ρ y
∂
= − −
∂
dw' 1 p' ' g
dt z
ρ
ρ ρ
∂
= − −
∂
（3.48）
' ' '
0 u v w
x y z
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
' ( )
' 0
d wd z
dt dz
θ θ
+ =
'
' θ
ρ ρ
θ
= −
4） 重力内波方程组
考虑纯重力内波，可不计地球旋转(Ω = 0, f = 0)，扰动限定在一个垂直平面（OXZ），是二维运动。
改写0 ρ =ρ =const. 由(3.48)→ 重力内波的控制方程组：
' '
0
du 1 p 0
dt ρ x
∂
+ =
∂
' ' '
0
dw 1 p g 0
dt z
θ
ρ θ
∂
+ − =
∂
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5
' '
u w 0
x z
λ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
（3.49）
'
d w'd 0
dt dz
θ θ
+ =
其中λ 是示踪系数（也称滤波系数）, 若λ = 0 ，即取水平无辐散近似。上述方程组可改写为：
'
'
0 0
p
u
t x
ρ
⎛ ⎞
∂⎜ ⎟
∂ + ⎝ ⎠=
∂ ∂
' ' '
0
w p g 0
t z
θ
ρ θ
∂ ∂ ⎛ ⎞
∂ +∂ ⎜⎝ ⎟⎠− =
(3.49）’
' '
u w 0
x z
λ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
'
d w'd 0
dt dz
θ θ
+ =
（3.49）4 式同乘
1
θ
' 2
N w' 0
t g
θ
θ
∂ ⎛ ⎞
→∂ ⎜⎝ ⎟⎠+ =
解一：先消变量
θ '
θ
，再对
'
' '
0
u,w, p
ρ
设单波解。
解二：消去其余三个变量，得到关于w' 的单变量高阶微分方程
2 2 2 2
2 '
2 2 2 2 N w 0
t x z x
λ λ
⎡∂ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎤
⎢⎣∂ ⎜⎝ ∂ +∂ ⎟⎠+ ∂ ⎥⎦ =
（3.50）
设w' 有二维单波解
w' Wei(kx mz t ) = + −ω
得重力内波的频率方程：
ω2(λk2+m2)−λN2k2=0 （3.51）
即 ( 2 2)
kN
k m
λ
ω
λ
±
=
+
（3.51）’
若λ = 0 ，即取水平无辐散近似，ω = 0 ，无重力内波；
若N = 0， d 0
dz
θ
= ，即中性层结，ω = 0 ，也无重力内波。
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6
波速矢2 ( 2 2)3/ 2( )
C K 1 Nk ki mk
K k m
ω
λ
±
= = +
+
（3.52）
∵ K=ki+mk
( ) ( ) 2 21/ 2 2 21/ 2
, x z
c N c k N
k k m m m k m
ω ω
= =± = =±
+ +
∴不满足合成法则，即C
的i
分量x ≠ c 。
2.2 重力内波的性质
主要是垂直横波，双向传播波，但在垂直方向也呈现波动状， 0 z c ≠ ,二维波，波速( ) x c 为几十m⋅s−1 ，
中速波，“中等频率”，但波速与波数m 有关，∴当m 很大，即物理量垂直变化很大（垂直结构很复杂）
时，波速会变得较小(≈u)→低频变化。
∴重力内波与中，小尺度天气系统关系密切。
实例：对流云、波状云、飞机颠簸（间接感觉）。
图3.8 重力内波的传播
重力内波产生的物理机制
1) 层结条件
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7
2 ( )
d
N g g
z T
θ
γ γ
θ
∂
= = −
∂
稳定层结： 2
, 0, 0 d s γ <γ σ > N > ，垂直扰动在净浮力作用下的（浮力）振动在空间的传
播→ 重力内波
中性层结： , 0, 2 0 d s γ =γ σ = N = ，无净浮力作用，无垂直振动，无重力内波。
不稳定层结： 2
, 0, 0 d s γ >γ σ < N < ，气块在垂直方向上作加速运动（方向恒定），永远远
离初始平衡位置，无垂直振动，也形成不了重力内波。但层结不稳定的结果将导致层结稳定。
因此，重力内波的形成可只要求层结是非中性的。
图3.9 重力内波的形成和传播
2) 机制分析
设大气层结是稳定的，上、下边界固定。当图3.8 中A 处出现向上的扰动(ω ' < 0)，A 点以下的
'
0
p
∂ω
>
∂ 连续方程
'
u 0
x
∂
<
∂
（水平辐合）；A 点以上有
'
0
p
∂ω
<
∂
'
u 0
x
∂
>
连续方程 ∂ （水平辐散），这种水平
辐合、辐散的垂直分布，使空气质点在水平气压梯度力的作用下在A 点以上从A 点流出，A 点以下向A
点汇合。由于质量补偿作用，使得A 点以外未受扰动的空气产生与A 点相反的辐合、辐散运动（水平扰
动），如B、C 两点，下层辐散，上层辐合，下沉运动。因此，初始在A 点出现的垂直扰动逐渐通过水平
辐合、辐散的交替变化向左、右，同时通过垂直散度的交替变化向上、下传播开来，从而形成（二维）重
力内波。
重力内波产生的物理条件：稳定层结，有垂直扰动，扰动状态为非静力平衡（
'
dw 0
dt
≠ ）。重力内波
的流场型式与对流云的运动型式相似。∴重力内波对小尺度天气变化过程有重要作用。
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8
图3.10 云波
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9
图3.11 观测到的重力内波
2.4 滤除重力内波的条件
对大尺度运动，可采用下列条件滤除重力内波：
1） 假定大气是中性层结( , 0, 2 0, 0) d S N Cα γ =γ σ = = = ；
2） 假定大气是水平无辐散的；
3） 假定大气是准地转运动；
4） 假定大气只作水平运动，或（垂直）运动状态与z 或p 无关。
§5. 惯性波与惯性振荡
复习：惯性风（圆），科氏力与惯性离心力相平衡时的空气流动。
定义：处于平衡位置的空气质点，由于某种原因受扰动后偏离平衡，在科氏力作用下形成的波动。
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由于其发生在大气内部，又称惯性内波。
1. 波速公式
设大气是均质不可压的，并设基本气流为零(u = 0)，以及扰动与y 无关或扰动在y 向分布均匀，
即
( )
0,
y
∂
=
∂
则z 系线性化方程组为：
' '
u fv' F
t x
∂ ∂
= −
∂ ∂
'
v fu'
t
∂
= −
∂
w' F'
t z
δ
∂ ∂
= −
∂ ∂
（3.53）
' '
u w 0
x z
∂ ∂
+ =
∂ ∂
'
F' p gz
ρ
= −
其中δ :示踪系数（滤波参数）
=0 静力平衡
δ ≈ 0 准静力平衡
=1 非静力平衡
设波动在x 方向传播，则波动解设为：
u' U
v' = V eihzeik(x ct)
π
− （3.54）
w' W
F' F
（3.54）式代入（3.53）式得：
−ikUc= fV−ikF
ikVc = fU （3.55）
i kWc i F
h
δ
π
=
i W ikU 0
h
π
+ =
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消去V、W、F，可得关于U 的单一变量方程:
2 2
k2c2 k2 f 2 U 0
h h
π π
δ
⎧⎪⎨ ⎡⎢⎛⎜ ⎞⎟ + ⎤⎥− ⎛⎜ ⎞⎟⎪⎫⎬ =
⎩⎪ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠⎪⎭
（3.56）
∵U ≠ 0（非零解）
2 2
k2c2 k2 f 2 h
h
π
δ
π
∴ ⎡⎢⎛⎜ ⎞⎟ + ⎤⎥= ⎛⎜ ⎞⎟
⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠
（3.57）
( )
2
2 1
/
x
f
c c k
k
h
δ
π
→ = = ±
+ ⋅
（3.58）
若δ = 0 ， c= ±f/k （3.59）
因此惯性振荡是平面情形下惯性波的退化形式。
若δ = 1 ，
2 ( )2
/ ( /)( / )
1 / /
c f k hfk
k h k
π
π
= ± ≈ ± ⋅
+
（3.60）
当不考虑气压梯度力而仅有科氏力时，空气质点的水平扰动方程组为：
u fv 0
t
∂
− =
∂
v fu 0
t
∂
+ =
∂
（3.61）
设运动呈振荡型，采用试解法（也可采用“复速度”法求解），可设
0
u=ue−iωt
0
v=ve−iωt （3.62）
其中ω 为振荡的圆频率。
1
2
2
2
2
(3.61) , (3.61)
0
t
u f u
t
∂
∂
∂
=
∂
再代入可得：
＋
(3.62)’
（3.62）1 式代入（3.62）’式得
ω = ± f 或ω = f ω≥0ω = f （3.63）
称为惯性频率，而惯性周期为
2 2
f sin
π π π
τ
ω ϕ
= = =
Ω
（3.64）
在中纬度，τ ≈17 （小时），也称为半摆日，即Foucault 摆转过1800 所需的时间。
( ) ( ) 1 2 u⋅ 3.61 +v⋅ 3.61 →水平动能方程：
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12
2 2
0
2
u v
t
∂⎛ + ⎞
∂ ⎜⎝ ⎟⎠=
即co s hK= nt（动能守恒） （3.65）
再求质点运动的轨迹。（3.61）式对t 积分得：
u= fy+a
v= −fx+b （3.66）
2 2 2 2 2 2 2
2 2
x b y a v u u v d
f f f f f f
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +
⎜ − ⎟ +⎜ + ⎟ =⎜− ⎟ +⎜ ⎟ = =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
（3.67）
因此，质点轨迹：（惯性）圆，圆心 b, a
f f
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
，半径
2 2
h d u v V
f f f
+
= =
质点运动：惯性振荡（风）， 运动方向（北半球）顺时针旋转。此类运动在海洋中更重
要，更易观测到。∵V 〈V洋气， R 洋气〈R 。
2．惯性波的性质
是二维波，可同时在水平、垂直方向传播，主要是水平横波（南北振荡，东西向传播），双向
传播。对大尺度运动： 16 1 xc = m⋅s− ；中尺度运动： / 2 1 xc =f k= m⋅s− ，属于慢波。
因为科氏参数f = const ，对应中尺度运动。∴惯性波对中尺度运动有重要影响，但实际
上，纯惯性波并不存在。科氏力、重力是同时起作用的，所以是以惯性—重力内波(背风波、锋面波)
这种混合波的形式出现。
3．物理机制
要求：
'
0 w 0
t
δ
∂
≠ ≠
∂
， （非静力平衡）。所以，形成机制与重力内波类似。
若某区域有上升运动w' > 0→下层辐合、上层辐散， → 水平扰动， u' ≠ 0 ，对西风扰动
( ) '
' '
2 u0 (3.53) v 0 v0
t
∂
> < → <
∂ （产生北风扰动）
'
1 (3.53) u 0
t
∂
<
∂ ，削弱原有西风，从而就会改
变原来的水平散度分布。因此，在科氏力作用下形成的向右（北半球）旋转的惯性振荡，通过水
平辐合、辐散及垂直运动的交替变化，在水平方向和垂直方向传播，形成惯性波。
外部条件：地球旋转。内部条件：垂直运动及其加速度（非静力平衡），水平散度的交替变化。
4. 滤波条件
1） 不计地球旋转（不计科氏力）。
2） 设为静力平衡。
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13
3） 设为水平无辐散。
4） 设为准地转运动。
作业：Cha.3－15, 29，33
§6. 大气长波（Ros*****y 波）
本节讨论经典的大气长波：水平无辐散的Ros*****y 波或正压Ros*****y 波。
高空天气图上的特征：自西向东移动（单向性），移速接近u （慢波），波长为几千km，绕地球一圈
有3－6 个（“冬三夏四”），把这种流型所蕴含的波动称为Ros*****y 波(大气长波，行星波)。注意：通过天气
图看到的是气流的流型，并非是波动（质点运动与波动的关系）。
图3.12 获奖后的罗斯贝
1． Ros*****y 波的波速公式
设为大尺度运动：准静力，准水平，准水平无辐散。则p 系的扰动方程组（设f = f0 +β y ≠ const. ）：
'
u u' fv'
t x x
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ − =−∂∂φ
'
u v' fu'
t x y
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ + =−∂∂φ
（3.68）
' '
u v 0
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
与上节惯性波比较可知：
惯性波： f = cos nt : f 平面近似；长波： f ≠ const: β 平面近似， f const
y
β
∂
= =
∂
，即在f 平
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14
面上考虑科氏力→ 惯性波; 在β 平面上考虑科氏力→ 大气长波。
为考虑f 的变化（即β 项），将水平运动方程变形（作涡度运算）得：
' '
u v u v' 0
t x x y
β
⎛⎜⎝∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠⎛⎜⎝∂∂ −∂∂ ⎞⎟⎠+ =
（3.69）
d(v' u') f d(' f) 0
dt x y dt
⎛ ∂ ∂ ⎞ ζ +
⎜⎝ ∂ − ∂ + ⎟⎠= =
（3.69）‘
因为运动水平无辐散，可引入流函数，使
' '
u' ,v'
y x
∂ψ ∂ψ
= − =
∂ ∂
，所以
'
u 2 ' 0
t x x
ψ
ψ β
⎛⎜⎝∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠∇ + ∂∂ =
（3.70）
考虑南北范围无限宽或扰动与y 无关（一维波动），则：
2 ' '
2 u 0
t x x x
ψ ψ
β
⎛⎜⎝∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠∂∂ + ∂∂ =
（3.71）
或由
'
(3.69) u v v' 0
t x x
β →⎛⎜⎝∂∂ + ∂∂ ⎞⎟⎠∂∂ + =
（3.72）
设单波解为：
ψ ' = Aeik(x−ct) （3.73）
或 v' Beik(x ct) = − （3.74）
将（3.73）式代入(3.71)式或(3.74)式代入(3.72)式得：
c u k2
= −β （3.75）
—— 经典的Ros*****y 长波公式(动力学常用表达式：波数形式)
ku k
ω = −β （3.75）’
或
2
4 2
c u β L
π
= − （3.76）
（天气学常用表达式：波长形式）
若设南北范围有限 ，可令
' D e i(kx ly t ) ψ = + −ω
代入（3.70）式得二维Ros*****y 波在x 方向传播的波速公式：
x 2 2 c u
k k l
ω β
= = −
+
（3.76）’
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15
—— Haurwitz 波 （k＝0 时，即为经向传播的Ros*****y 波）
也有称球坐标系中的二维Ros*****y 波为Haurwitz 波。
2． 罗斯贝波的性质
水平横波，单向波，慢波，对大尺度天气变化过程有重要意义。由于绝对涡度守恒（（3.69）’式），水
平无辐散（（3.68）3），又称涡旋(慢)波。
令（3.76）式中的c=0（即变为静止波或驻波），则静止长波的临界波长为
2 s
L = π u β （3.77）
代入（3.76）式得
2
1 2
s
c u L L
= ⎛⎜ − ⎞⎟
⎝ ⎠
（3.78）
由（3.78）式得：
(3.79)
图3.13 罗斯贝波的形成
3． Ros*****y 波产生的物理机制
设初始时有三个静止气柱（也有用3 个空气质点），某时刻气柱B 受扰动向北运动，因为绝对涡度守
恒ζ ' + f =常数，所以纬度增加，则f ↑ →ζ ' ↓即ζ ' < 0 得到负涡度，发生顺时针旋转。在它的诱导下
0
0
0
s
s
s
L c
L L c
L c
= = ⎧⎪
= < > ⎨⎪
⎩> <
， ， 静止波（ 驻波）
， ， 波向东移， 前进波
， ， 波向西移， 后退波
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16
气柱C 向南运动，得到正涡度，产生逆时针环流；而气柱A 向北运动，得到负涡度，形成顺时针环流。
另一方面，在气柱A 和C 对应的环流的反诱导作用下，气柱B 向北在达到一定纬度后就会转向南运
动，即返回初始纬度。但回到初始纬度后，由于惯性作用下继续向南运动到一某位置后，……；则气柱B
将围绕初始纬度作南北振荡，在其作用下气柱A，C 也将随之作南北振荡。则这种南北振荡在地转涡度f
随纬度变化作用（即β 效应）下的传播就形成大气长波（Ros*****y 波）。
§7. 水平辐散条件下的Ros*****y 波
在β 平面上，考虑浅水模式方程组（非线性）：
0
u u u v u fv
t x y x
v u v v v fu
t x y y
u v u v
t x y x y
φ
φ
φ φ φφ
⎧∂ ∂ ∂ ∂
⎪ + + − =−
∂ ∂ ∂ ∂ ⎪⎪
∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ + + + =− ⎨∂ ∂ ∂ ∂ ⎪⎪
⎩⎪⎪∂∂ + ∂∂ + ∂∂ + ⎛⎜⎝∂∂ +∂∂ ⎞⎟⎠=
（3.80）
2 1 (3.80) (3.80)
x y
∂ ∂
−
∂ ∂
，得涡度方程：
d( f) ( f) u v
dt x y
ζ
ζ
+ ⎛∂ ∂ ⎞
= − + ⎜⎝∂ + ∂ ⎟⎠
（3.81）
3 (3.80) 改写为：
d u v 0
dt x y
φ
φ
⎛∂ ∂ ⎞
+ ⎜⎝∂ +∂ ⎟⎠=
（3.82）
由（3.81）、（3.82）式消去水平散度项，可得：
d( f ) 0
dt
ζ
φ
+ = （3.83）
即为位涡守恒方程。利用（3.81）、（3.82）式有：
d v ( f)1d f d
dt dt dt
ς φ φ
β ζ
φ φ
+ = + ≈ （3.84）
为线性化(3.84)式，设：
u=u+u' ，v=v+v' ，φ =φ +φ ' （3.85）
则得线性化涡度方程：
u ' v' f u ' v'
t x t x y
φ
ζ β φ
φ
⎜⎝⎛∂∂+ ∂∂ ⎟⎠⎞ + = ⎡⎢⎣⎜⎝⎛∂∂+ ∂∂ ⎟⎠⎞ + ∂∂ ⎤⎥⎦
（3.86）
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引入地转近似：
'
u '
y
∂ψ
= −
∂
，
'
v '
x
∂ψ
=
∂
，
'
' f
ψ =φ （相当流函数，称为地转流函数），所以（3.86）式变
为：
( ) ( ) '
2 ' 2 ' 2
1 1 u u 0
t x x
ψ
ψ λ ψ β λ
⎛⎜⎝∂∂+ ∂∂ ⎞⎟⎠ ∇ − + + ∂∂ =
（3.87）
其中
2
2
1
λ f
φ
= ，代表水平散度的作用。如果u = 0 ，（3.87）又可写为：
( 2 ' 2 ')
1 d f 0
dt
∇ψ + −λψ = （3.88）
称为准地转位涡守恒方程。设有单波解
' e i(kx ly t) ψ = Ψ + − ω （3.89）
代入（3.87）式得：
2 2 2
1
k
k l
β
ω
λ
= −
+ +
(u = 0 ) （3.90）
2
1
2 2 2
1
ku k( u)
k l
β λ
ω
λ
+
− =−
+ +
（u ≠ 0 ） （3.90）‘
讨论：
1） u = 0 , 2 2 2
1
k
k l
β
ω
λ
= −
+ +
(3.91)
2 2 2
1
x c
k k l
ω β
λ
= =−
+ +
， 2
1 λ
（水平散度项）使长波的移速减慢。
2 2 2
1
( ) y
c l k l k l
ω β
λ
= =− ⋅
+ +
（3.92）
2） u ≠ 0 ， ( 2 2)
2 2 2
1
k k l u
k l
ω β
λ
= + + ⎡⎣ + − ⎤⎦
（3.93）
2
1
2 2 2
1
x
c u u
k k l
ω β λ
λ
+
= = −
+ +
（3.94）
y x
c kc
l
=
可见，水平散度的作用与长波的产生无关，只是使得长波移速变慢。如果扰动与y 无关，则（3.94）式变
为
( 2 )
1
2 2
1
x
u
c c u
k
β λ
λ
+
= = −
+
（3.95）
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
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进一步，若不考虑基本气流（即令u = 0 ），有
2 2 2
1 2
c
k k f gH
β β
λ
= − = −
+ +
（3.96）
即为海洋Ros*****y 波（本章习题的第7 题）。
3）两类Ros*****y 波的比较
(1) 水平无辐散情况下（经典Ros*****y 波）
形成于具有无限深度或有限深度但有固定顶盖的均质不可压大气中。其相速度为：
2
2 4 2
c u u L
k
β β
π
= − = − （3.97）
群速度（波动能量传播的速度，详见下一节）
2
g 2 4 2
c c kc u u L
k k
β β
π
∂
= + = + = +
∂
（3.98）
① gc >c，并且0 g c > （波动能量向东传播，快于波动本身的传播）
② g L ↑→ c ↑ ，当L → ∞ （ k → 0 ）时c → −∞ ， g c → +∞ （波速、群速度无界）
(2) 有水平辐合、辐散的情况下
形成于均质不可压的具有自由表面的大气。其相速度为：
2
1
2 2
1
c u u
k
β λ
λ
+
= −
+
（3.99）
称为叶笃正波（Yeh wave）。其群速度：
图3.14 叶笃正（1916－ ）
( )
( )
2 2 2 2 2
1 1
2 2 2
1
( 3 )
g
k k u k
c
k
λ β λ
λ
+ + −
=
+
（3.100）
① s L
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19
{ {
L>Ls ： c < 0 ， 0 g c < 且gc >c（波动能量向西传播，并且快于波动本身的传播）
②L→ ∞(k→0)时， 2
1
gc c β
λ
= → − （波速、群速度皆有界）
波动小结：
准地转大气（模式）：Ros*****y 波。
正压大气（模式）：惯性－重力外波，正压Ros*****y 波。
斜压大气（模式）：惯性－声波，惯性－重力内波，斜压Ros*****y 波。
长波小结：
正压大气长波 水平无辐散 一维正压大气长波（Ros*****y 波）
二维正压大气长波 (Haurwitz 波) → 球面Ros*****y 波
大气长波
有水平辐合、辐散 二维有水平辐合、辐散长波
一维有水平辐合、辐散长波（叶笃正波）
海洋Ros*****y 波（基流静止）
斜压大气长波 包含层结效应的Ros*****y 波
§8. 大气混合波—惯性重力外波
自由面上的垂直扰动在重力、科氏力共同作用下形成的波动。设u = 0 ， 0 f = f 且扰动与y 无关，
则线性化浅水方程组为：
' '
'
'
'
' '
2
0
0
0
u fv
t x
v fu
t
C u
t x
φ
φ
⎧∂ ∂
⎪⎪∂ − =− ∂
⎪∂
+ = ⎨ ∂ ⎪⎪
∂ ∂
⎩⎪∂ + ∂ =
（3.101）
1 (3.104)
t
∂
∂
,利用2 (3.104) 和3 (3.104)
x
∂
∂
得：
2 2
2 2 '
2 0 2 f C u 0
t x
⎛∂ ∂ ⎞
⎜⎝∂ + − ∂ ⎟⎠ =
(Klein −Gordon方程)（3.102）
设
u' Ueik(x ct) = − （3.103）
代入得
2 2
2
0
c C f gH f
k k
= ± +⎛⎜ ⎞⎟ = ± +⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
（3.104）
——惯性重力外波的波速公式
{
{
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20
主要性质：海洋动力学中称Sverdrup（斯维尔德鲁普）波。属于快波，对天气变化过程意义不大，在正
压地转适应过程中有重要作用（详见第四章）。
其他形式的混合波：惯性－声波，惯性－重力外波，惯性－重力内波，Ros*****y－重力波（热带大气）。
§9. 群波与群速度
1． 单波（单色波，单纯波）：具有一定振幅、一定频率和一定波长，在时间和空间都是无限的波动。
2． 群波(group wave)：由各种单色波叠加而成的波动。叠加结果：若振幅加强，则相互增长；若振幅减
弱，则相互抵消。所以，群波的振幅随时间和空间改变。群波≠混合波。
3．群波的主要性质
设有两个单波1, 2 q q ，振幅相同，频率和波数略有差异。
考虑它们仅在x 方向传播，设
(1 1)
1
q Qei k x t = −ω （3.105）
(2 2)
2
q Qei k x t = −ω （3.106）
迭加后的群波：
(1 1) (2 2)
1 2
q q q Q ei k x t ei k x t = + = ⎡⎣ −ω + +ω ⎤⎦
1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
ik kx t ik kx t ik kx t
Q e e e
−⎛⎜ − −ω −ω ⎞⎟ ⎛⎜ − −ω −ω ⎞⎟ ⎛⎜ + −ω +ω ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤
= ⎢ + ⎥⋅
⎢⎣ ⎥⎦
1 2 2 1
2 cos 2 1 2 1 2 2
2 2
Q k kx t eik kx t
ω ω ω ω ⎛⎜ + − + ⎞⎟
⎝ ⎠ = ⎛⎜ − − − ⎞⎟
⎝ ⎠
（3.107）
群波特点：园频率2 1
2 2 1
ω ω
ω ω
+
= ≈ ≈ ，波数2 1
2 2 1
k k k k
+
= ≈ ≈
振幅：是时间、空间函数（ ≠ co nst ）。振幅2 cos
2 2
Q kx t = ⎛⎜Δ −Δω ⎞⎟
⎝ ⎠
，振幅max : 2Q，振幅min : 0 。
载波：移速1 2 c c c
k
ω
= ≈ ≈ 2 1
2 1 k k
ω +ω
=
+
，又称被调幅波
波包：移速
/ 2
g / 2 c
k k
Δω Δω
= =
Δ Δ
，取极限得：
g
c d
dk
ω
= （3.108）
波包的定义：载波的包络线，即载波最大的振幅点的连线，又称调幅波。
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
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图3.15 波包
图3.16 波的叠加
链接函数绘图软件Advanced Grapher 演示:波包
4. 群速（度）：调幅波（波包）的移速，群波中具有相同振幅点的移速，代表波动能量的传播速度。
5. 相速（度）：被调幅波（载波）的速度，表示位相相同点移动的速度，代表波形的传播速度。
6. 群速的计算式
1） g
c d
dk
ω
= （3.109）
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
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2） g
c c kdc
dk
= + （3.110）
3） g
c c Ldc
dL
= − （3.111）
4）
1 2
g
c dk c c dc
d d
ω
ω ω
= =
−
（3.112）
7. 波的频散（弥散）
1）非频散波： gc =c即c 与k，L，ω 均无关，波能与波动一起移动，称波动没有发生频散或为非频散波，
如声波、重力外波；反之，称为频数波（ gc ≠c），如重力波、惯性－重力波、长波。
长波：c=u−β /k2 ， ( 2) 2
3
/ 2 / g
c c kdc u k k u k
dk k
β
= + = −β + ⋅ = +β
g∴c ≠c，长波为频散波，具有频散效应。
2）上游效应： 0 gc >c> ；或c < 0 ， 0 g c > 时，上游扰动的能量先于扰动本身到达下游，在下游产生新
的扰动，或加强下游原有扰动的影响。
3）下游效应： c > 0 ， 0 g c < 或0, 0, g g c< c < 且c >c时，下游扰动的能量向上游传播，使上游产生新
的扰动或加强上游原有扰动的作用。
4）两类长波在上、下游效应中的差异
水平无辐散长波： /2, /2, g g c=u−β k c =u+β k c >c且0 g c > ，所以只能够产生上游效应。
有水平（辐合）辐散长波： 0 , g g gx g c c c c c
k
∂ω
> = >
∂
（ 取） 并有0 g c > 或0 g c < ，可产生上、下游效应。
作业：Cha.3－6、9、28、38
本章小结
请同学们自己完成。
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