局部定律通常以微分方程的形式表述，整体定律多以积分方程的形式表现

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有关于物理与方程1(2010-01-31 10:46:32)
标签：基本解 微分方程 特解 格林 杂谈 分类：数学物理
说一说分析。物理定律可以相对的分为两类，一类是局部定律，如牛顿方程，分析力学中的拉格朗日方程，哈密顿方程，雅克比方程，爱因斯坦方程，迪拉克方程，杨米尔斯方城，纳维斯托克斯方程以及它们的量子化形式或相应的代数形式，这些都是物理定律的无穷小形式，从局部上刻画物质运动规律，着眼于过程与机制，所用的量多为过程量。另一类就是整体形式，比如守恒律，对称性，相互作用方式及粒子分类，变分原理，玻粒二象性，超对称假设，量子反常等等，它们着眼于物质世界的整体表现，注重变化中的不变，所用的量多为守恒量和状态量。两类定律对立统一，构成对物质世界的完整描述。当然现在的数学物理很多的都集中在某一类可能的物理规律的研究，或者说是对一类相互关联的模型宇宙的研究。

在数学上的表现，局部定律通常以微分方程的形式表述，整体定律多以积分方程的形式表现。

物理定律主要就是对物质的状态空间，其上的运动和种种结构的研究。状态空间通常是一些微分方程的解空间，或者称为模空间。方程的解空间和方程本身的性质后很大的关联。

微分方程在数学上分为两类：线性方程和非线性方程，发展型和位势型。

先说说线性方程的研究：线性微分方程的线性代数方程几乎是一样的，线性微分方程就是无线维的代数方程，研究起来就像是无限维的线性代数，或者无限维的矩阵分析。

其次线性微分方程的解空间就是一个线性空间，其特征由其维数完全确定，只要找到该空间的一组基，就可以完全确定该空间，通常把解空间的基写在一起构成一个矩阵，叫做格林函数或者基本解。任意函数和格林函数作乘积（积分变换）都可得到解。

AU=0,A是线性算子，U(x)是向量（函数或场），设G（x,y）是格林函数，则对任意标量场C(x),G（x,y)*C(x)=V(y)是方程的解。G（x,y）中的点可以看作矩阵中元素的指标Gi,j

非齐次方程的解空间就是相应的齐次方程的解空间关于某一个特解做平移得到的仿射流形，维数不变，如果知道一个特解，和齐次方程的解空间（格林函数），非齐次方程的解空间就确定了（Duhamel杜哈梅原理）。方程的非齐次项通常表示系统所处的环境，或者说表示对系统的控制因素，控制因素应该算作系统的外部因素，不应该看作是系统的本质属性，所以考虑非齐次项（控制因素）的改变，会引起系统（解空间）如何改变也是很重要的。这种改变的方式主要体现在特解如何改变，控制因素的影响通常是积累性的。系统行为和控制因素的关系可以用一个函数来表示，即基本解（其实很多东西都是基本解）。由齐次方程的格林函数（基本解）和基本解就可以确定任意一个非齐次方程的解空间了。其实这完全就是线性代数。

非齐次方程的基本解即P(x,y),使得AP(x,y)=delta(x,y)

delta函数相当于矩阵Ei,j即只在（i，j）处取一，其它元素为零的矩阵。