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阅读(2117) 编辑词条 历史版本(1) 附图 新增信息模块 势函数 所属分类： 基本物理概念 术语 物理学 物理理论 理论物理
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1 势函数简介
2 结论简介
势函数-势函数简介
势函数的构造是人工势场方法中的关键问题，典型的势函数构造方法如下
势函数
P(θ)=f{d(θ,θ0),d［R(θ),O］,dT} (1)
式中 θ，θ0——机器人当前位姿与目标位姿矢量
d(θ,θ0)——θ与θ0间的某种广义距离函数
d［R(θ)，O］——当前位姿下机器人与障碍物间的最小距离
dT——给定的门限值
P(θ)分别为变量d(θ,θ0)和d［R(θ)，O］的单调递增函数和单调递减函数。从机器人的起始位姿开始沿着P(θ)的下降方向进行搜索可使机器人在避开障碍物的前提下向目标位姿运动。
机器人与障碍物间的距离计算是构造势函数的基础，通常采用的距离函数是Euclidean距离。若采用凸多面体集合对机器人连杆和障碍物进行几何模拟，则机器人与障碍物间的距离计算简化成凸多面体间的距离计算。凸多面体间的Euclidean距离是二次规划问题的解，计算比较复杂［8～10］。本文采用Euclidean距离的等价度量——L1距离，提出C-空间中人工势场的一种构造策略，并给出相应的机器人无碰撞路径规划方法。
考虑到机器人的实际操作空间为三维空间，因此有关讨论限制在R3中。
1 凸多面体间的L1距离及其计算方法
凸多面体间的L1距离定义如下
(2)
式中 ‖a-b‖1—矢量a-b∈R3的L1范数
有界闭(后面均作此假设)凸多面体A，B?R3间的L1距离具有以下性质［11］。
(1) 由式(2)定义的d1(A，B)存在且唯一，式(2)可等价成
(3)
(2) (与Euclidean距离的等价性)记A，B间的Euclidean距离为dE(A，B)，则有
(4)
(3) 拓扑性质
(5)
(4) (Lipschitz性)以TA，TB∈SO(3)分别表示多面体A和B的旋转矩阵，rA，rB∈R3分别表示A和B平移矢量，记A′=TAA+rA，B′=TBB+rB，则有
(6)
式中 I∈R3×3——单位矩阵
‖T‖1——与矢量的L1范数相容的矩阵谱范
SO(3)——3阶特殊正交群
(5) d1(A，B)和dE(A，B)对于A和B的旋转和平移变量均不存在Frechet意义下的梯度。
上述结论表明，凸多面体间的L1距离和Euclidean距离具有相似的性质。
若A，B?R3的顶点集为VA={υAi;i=1,…,nA}，VB={υBj;j=1,…,nB}，则A，B可分别表示成VA和VB的凸包，即
(7)
(8)
d1(A，B)可通过求解如下线性规划问题计算
(9)
上述问题可由单纯形方法求解。尽管理论上单纯形法为非多项式算法，但经验表明，即使对于多约束线性规划问题，单纯形法也具有很高的计算效率。因此采用L1距离替代Euclidean距离构造势函数，可以简化无碰撞路径规划问题的计算复杂性。
2 基于L1距离的人工势函数构造与无碰撞路径规划方法
以R(θ)，O分别表示机器人及其操作空间中的障碍物，其中R(θ)决定于机器人的C-空间位姿矢量θ。所谓无碰撞路径规划，就是确定一条连接C-空间中起始位姿θi和目标位姿θO的连续路径S(θi，θO)，使得机器人沿该路径运动时，在其所有的中间位姿θ∈S(θi，θO)满足如下几何约束条件
(10)
为了将上述约束条件表示成便于计算机判别的形式，通常采用如下形式的凸多面体集合对机器人及其操作空间中的障碍物进行几何逼近
(11)
式中Ri(θ)(i=1,…，m)，Oj(j=1,…，l)为R3中的凸多面体。机器人与障碍物间的L1距离可按下式由各多面体对Ri(θ)，Oj间的L1距离确定
(12)
且根据L1距离的拓扑性质，几何约束条件式(10)可等价地表示成
d1［R(θ)，O］>0 (13)
以θi，θO∈Rn分别表示n自由度机器人的起始位姿和目标位姿。定义机器人运动过程中任意中间位姿θ∈Rn与目标位姿之间的广义距离为(W∈Rn×n为正定加权矩阵)
(14)
按如下方法构造C-空间中的势函数
(15)
由式(15)所确定的势函数p(θ)具有如下特点：
(1) 当机器人与障碍物间的L1距离大于门限值dT时，势函数的值由当前位姿与目标位姿间的广义距离d(θ，θO)确定，此时机器人只受到目标位姿引力场的作用。
(2) 当机器人与障碍物的L1距离小于门限值dT时，人工势场由目标位姿的引力场和障碍物的斥力场两部分组成，其中障碍物的斥力场所对应的势函数分量反比于机器人与障碍物间的L1距离，因此当机器人与障碍物间的L1距离趋于零时，该分量的值趋于无穷大。
(3) 势函数的值可由式(9)、(12)、(14)、(15)以及机器人正向运动学方程计算。
从机器人在C-空间中的起始位姿开始，沿着人工势函数p(θ)的下降方向进行搜索，可以得到C-空间中满足几何约束条件式(10)的连续路径。我们分d1［R(θ)，O］>dT和d1［R(θ)，O］?dT两种情况讨论无碰撞路径搜索方法。
(1) 若d1［R(θ)，O］>dT，则势函数p(θ)关于θ可微，并有
(16)
此时可按势函数的最速下降方向，即其负梯度方向-?p(θ)搜索机器人的下一个位姿点。对于搜索得到的位姿点，判断条件d1［R(θ)，O］>dT是否满足，若是，则以该点作为起始点重复以上搜索过程，否则改用下面的方法进行搜索。
(2) 若d1［R(θ)，O］?dT，则势函数p(θ)不存在Frechet意义下的梯度向量，此时由于得不到最速下降方向，因此采用如下的搜索策略；对于θ的各相邻位姿θ+δθ(δθ∈Δ)，计算势函数p(θ+δθ)的值，其中
(17)
为容许的搜索步长集合。按下式确定
(18)
若，则终止搜索。若，判断条件?dT是否满足，若是则以作为起始点重复上述搜索，否则改用最速下降方法进行搜索。
采用以上搜索方法可能产生两种不同的结果：一是搜索过程终止于目标位姿，此时已经得到C-空间中的连接起始位姿和目标位姿的无碰撞路径，规划完成。另一种可能的结果是在到达目标位姿之前，搜索过程终止于人工势函数的局部极小点，此时势函数无下降方向，必须采用其他方法才能使搜索过程继续下去。有关人工势函数的局部极值处理目前已有许多研究，此处不再介绍。
一般说来，若搜索步长足够小，则尽管规划过程中只顺序搜索C-空间中一些离散位姿点，但L1距离的Lipschitz性足以保证规划出的路径满足几何约束条件。但减小搜索步长是以增加算法的计算复杂性为代价的，为简化计算，搜索过程中可以根据当前位姿下机器人与障碍物间的L1距离大小对步长进行调整。对于由上述方法规划出的C-空间位姿序列，采用适当的方法进行插补即可得到连续的无碰撞路径。
3 平面移动机器人路径规划的图形仿真
图 平面3自由度机器人路径
规划仿真结果图示平面移动机器人具有3自由度，选择端点A的坐标以及AB与参考坐标系x轴的夹角构成C-空间位姿矢量［xA，yA，φ］T，记AB的长度为lAB，则端点B的坐标可由如下运动学方程计算
(19)
给定机器人的起始位姿和目标位姿(如图示)，以及障碍物Oi(i=1，2，3，4)的顶点集，采用本文给出的无碰撞路径规划方法，得到图示结果。
势函数-结论简介
无论是对于关节机器人还是移动机器人，只需建立机器人的正向运动学方程，则采用上述人工势函数方法进行无碰撞路
势函数径规划时，其数学表示及其求解过程均不存在实现上的困难，且R3中凸多面体间L1距离的计算也十分简单，因此上述方法适用于三维空间中各类机器人的无碰撞路径规划。
*国家自然科学基金资助项目。19960611收到初稿，19971017收到修改稿
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书1 4.4 关于绝对运动和绝对速度问题
宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com） 上传2007.10 浏览87
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《信息时代的物理世界——实物与暗物的数理逻辑》
第四章 时间和空间
§ 4.4 关于绝对运动和绝对速度问题
关于运动的绝对性和相对性是与时间和空间的绝对性和相对性联系在一起的，它同样是一个永远讨论不完的问题。其实在牛顿的理论体系中这并不是一个特别复杂的问题。我们说牛顿理论体系的逻辑严谨性就是指，只要不考虑旋量场 (或涡量场) 对运动的影响，牛顿的理论是自洽的体系。牛顿理论体系的近似性只是由于旋量场 (或涡量场) 的出现才造成的；而与空间的尺度或速度的快慢并没有直接的关系。在流体力学中并没有出现可以与光速相比拟的物质运动速度，只要一考虑旋量场 (或涡量场), 牛顿理论照样不完全适用了。所以牛顿理论体系的僵化完全是由于在牛顿理论体系中只考虑无旋场 (引力场) 的结果，因而质量也成了一个与运动无关的常数。那些把牛顿理论看成近似理论的持相对论时空观的人，实际上并没有把牛顿理论局限性的真正原因搞清楚，因而仍然把只在牛顿物理世界框架下适用的物理量，如速度，加速度，质量，轨迹等等看成是全部物理世界普遍适用的东西。其实在牛顿物理世界中的那些物理量，在另外一类物的运动形式中，即波运动中不再具有实在的物理内容。但是在那些物理量，不再具有普遍的意义的时侯，物理世界并不会因此而失去它的规律性，我们仍然有一些物理量可以用来描述新框架下普遍的物理世界的运动规律，这些具有更普遍意义的物理量，就是如能量和动量等，而空间和时间则是则始终是物理世界中最基本的稳定的量度。有了这些我们照样可以建立起物理世界的逻辑框架。 在这个框架中，牛顿的物理框架成了其中相对独立的子框架，仍保持着子框架内的自洽性，同时又与波运动形式结合在一起，组成更广阔的新物理世界的框架。当然这个新的物理世界的框架在在真正的物理世界中，仍然只是其中的一小部分。自然界是无限复杂的，至少它不是我们所可以想象的多少代人所能够完全搞清楚的。
其实在纯牛顿系统中，即没有旋量场力参与的情况下，可以通过运动的相对性与绝对性的关系来理解绝对运动。因为 牛顿的自然哲学体系中，只研究“物”的一种运动形态，粒子的运动形态；同样只存在一种形式的力，就是万有引力。在这样的系统中，我们可以比较简单地理解运动的绝对性与相对性：只要把与观察有关的范围看作是一个封闭系统，那么这个系统本身就是可以认为是静止的，在这个系统上所得到的运动和速度，对于这个系统来说就是绝对的。一个人从 >100米 楼房上掉下来，如果把人和地球看成两个系统，可以说是这人向地球掉下 >100米 ，也可以说是地球向人往上运动了 >100米 。但是只要把这个人与整个地球看作一个封闭系统，现有物理理论完全可以计算出它的绝对运动和绝对速度。那个人确实向地球运动了非常非常接近于 >100米 ，而地球向人只运动了也许10 的负几十次方米。这就是说，即使在牛顿理论中还是有一个比速度更普遍更本质的物理关系，这就是能量守恒和动量守恒。有人会说这算什么绝对运动，地球还绕太阳旋转和自转。确属如此，所以在考虑地球的运动时，必须把太阳也许还必须把太阳系的所有物体看成一个封闭系统，只要考虑到这个封闭系统内所有与运动有关的因素，我们就可以得到这个封闭系统中的绝对运动的图景。相对论者强调没有绝对运动，从理论上来说也是对的，人类永远不知道自己在宇宙中所在的位置，也不可能到达任何自己曾到达过的地方。因为人不仅随着地球运动，地球随着太阳运动，太阳随着银河系运动，银河系又随着我们所不知道的天体运动。知道这一点很重要，它使我们每一个人都保持一种谦卑的心态去对待自然界，我们只属于自然界而不是自然界属于我们。但是这不是物理学所研究的问题。在牛顿力学体系中，万物的相互作用都是通过“力”才发生的，因此可以选择一个封闭系统，系统以外的所有力对于系统内部的作用小到什么程度，牛顿理论所达到的绝对精度就是什么程度。伽利略相对性原理的物理内容就是：对于一个理想的封闭系统，外力等于零，所以一定是惯性系统。这样的封闭系统内它的运动状态既是相对的，又是绝对的。由于在人们的观察范围之内，理想的封闭系统是不存在的，所以所有的科学理论的真理性都是相对的，但是牛顿的力是与距离平方成反比的，所以在相对性的真理中也就包含了绝对性：随着实验观察的范围越大，科学理论中所忽略的外部作用就越小，因而相对真理就越来越向绝对真理的逼近。要讲清楚这个问题也许又必须用数学语言，在数学上说，牛顿的与距离平方成反比的引力可以用一种势函数来表示，这种函数属于 S空间，这一空间中的函数在全空间内是平方可积的，它的场称为保守场，在这样的空间中所有经典分析方法是有效的。也就是说，不仅在假定太阳系是一个封闭系统的情况下（即假定太阳系以外的星系离太阳已经很远，它们所有引力都可以忽略），即使考虑附近还有类似太阳的恒星，由于这个恒星考虑的仍是无旋场，经典数学还是有效，这就是说，牛顿理论不仅适用于星空，也适用于所有粒子只存在引力的多粒子系统，这些就组成了经典的热力学和经典统计力学的理论基础。但这也会使牛顿理论暴露出自身的问题，如果只考虑有旋力，即在牛顿理论的框架内，就会推导出热力学第二定律和出现宇宙热寂说。只要物理系统中一加入旋量场 (或涡量场) ，所有的经典理论中的守恒定律都要改变，就不会出现宇宙热寂现象。总之，我们所讨论的是物理学中的运动规律，我们只能从人类实践的范围内去考虑科学规律的合理性和准确性，去研究造成物理规律局限性的真正的物理原因，离开这一点去寻找什么绝对的静止、绝对的速度、我们在宇宙中的绝对位置以及绝对的时间和宇宙的绝对年龄和宇宙空间的绝对大小等等我们认为这些都已经超出了物理学的范围。
牛顿时空观如果一旦与牛顿经典力学的物质运动范畴联系在一起，就显得非常狭窄了，但是我们现在大量的科技活动仍是在这个相对狭窄的范围内进行的。例如：现代科技和信息技术中常用的惯性平台就是一个很好的例子。在目前的科技条件下我们很容易设计一个虚拟的惯性平台，这个惯性平台中，所有外力造成的对运动的影响都可以通过虚拟的方法加以消除，对于牛顿力学运动来说就是一个封闭系统，在这样的系统中所得到的物质运动规律对于所有牛顿力学系统都具有绝对性。它就是一种在不考虑波 (旋量场) 的条件下，保证我们在有限范围所作的实验能够越来越接近绝对真理的一个基本手段。
所以我们说运动的绝对性是指牛顿理论框架下的运动的绝对性，对于整个物理世界这个绝对性还是有相对性。但是牛顿理论框架是物理世界在某个有限论域下的自洽的理论体系，所以这一范围内的各种运动规律的了解，是人类掌握自然规律过程中的一部份，否认牛顿理论框架下运动规律的有限论域下的绝对性，不会对人类认识自然界带来任何帮助，反而会造成混乱。当然麦克斯韦方程组的出现使问题发生了变化。光 (电磁波) 不是保守场，不满足S 空间的数学要求，因而也不再满足牛顿的物理学规律不变的要求。要把辐射影响完全消除从理论上来说是很困难的。但是现代的工程技术的发展证明，尽管波对于人们获取信息来说是占有最重要位置的，但是对于人造空间飞行器在地球这样巨大星体附近的运动来说，惯性导航系统依然是一个可靠的工具。当然对于更复杂的问题牛顿理论的有限论域下的运动规律就不再适用，如热力学第二定律就需要作某些修正。但是无论如何新的更大范围的物理世界的规律一定可以在牛顿理论的基础上来发展和完善，完全否定牛顿理论下运动规律的结果，另搞一套否认运动绝对性的相对运动和相对时空的理论不会对人类认识自然界提供真正有用的知识。
这里我们有必要提一下关于旋转水桶的实验和牛顿、马赫和爱因斯坦对于这一实验的争论。牛顿为了证明运动有绝对性提出了下面的实验论证：将水桶注满水，令其快速旋转。开始时，水桶转动而桶内的水不动 (转动动量还未传递给桶内的水)，水和桶之间有相对运动，水面呈水平状。随着转动动量逐渐传递给桶里的水，水面开始下凹；随后，令水桶突然停止转动，这时，桶内的水仍旧维持原来的转动，水和桶之间有相对运动，但水面仍旧维持着下凹状态。牛顿认为从这个实验证明了运动有绝对性：水的转动与是否和桶有相对运动无关，而保持其本身的绝对运动的特性。关于牛顿水桶实验，马赫反驳问道：如果水桶的壁非常厚 (例如有地球尺度，约 >6400公里)当水桶转而水不转时(相对于惯性系 ),水面仍保持平面或呈现微小的凹面呢？马赫猜测，水面将不再是平面。马赫认为水面之所以成凹形，是因为水面相对于宇宙中无数的恒星和天体有旋转而引起的，他反过来论证，如果让宇宙间所有的天体都围绕这一水面转动，水面也会呈凹形。这个问题对爱因斯坦建立相对论有很大的影响，他在广义相对论中回答了这个问题，他的计算表明在一个有大质量的转动的球壳内会产生微小的离心力。相当于水桶的静止水面会呈现微小凹面。
这样一个看似简单的实验为什么会引起这么多大科学家的注意呢？我想这是因为这个桶和水旋转的问题，在现在的流体力学专业人士看来很简单的问题，但确是当时的那些大科学家所解决不了的问题。从物理上来说，如果只有牛顿力，水面在垂直引力的方向上旋转，是不会产生垂直运动的。它的垂直运动是由于桶和水之间的边界条件所引起的。现在边界条件成了所有工程科学中最基本的问题之一，但是牛顿理论无法确定边界条件，牛顿理论的最大缺陷就在于它所讨论的是理想粒子或刚体的问题，它无法考虑粒子碰撞的问题，或者说对于粒子碰撞，它无法描述碰撞的过程，而只能给出理想情况下粒子碰撞前后的两种状态。所以牛顿的粒子是不接触的，如果像水和桶那样接触在一起，牛顿理论只能提供两类情况，一是粒子间有无限大的力，以刚体的形式结合在一起，二是无摩擦力，这两种情况都不符合那个问题的需要。那么看一看马赫和爱因斯坦所提出的解决方法怎么样呢，那也不是属于解决这一物理问题的方法，怎么能够让整个宇宙环绕着水桶旋转呢？再说大质量的球壳内会产生微小的离心力，直到现在也无法用实验证明，而且与上面的问题也不一样。但是在牛顿力学的基础上，现在加上牛顿力以外的力，粒子与粒子之间的摩擦力或粘滞力，所有问题都可以得到完善的解决。我们不是要以这个例子来说明绝对运动存在还是不存在，因为这个例子实际上对于所讨论的问题什么也说明不了。一些哲学家都喜欢把一些本来是简单的但是实际上却又是当时的理论还不是完全解决得了的问题，变换为几乎永远也无法得到证明的大问题，从而来论证自己的某个复杂的哲学大前提。在某些情况下，这当然可以启发人们的思考，但是从物理学的角度，这常常并不是一个认识和解决问题的好方法。但是我们还应该看到在现有的流体力学的范围内所解决的水桶和水的旋转问题依然是不彻底的，因为摩擦力或粘滞力与牛顿理论的逻辑前提同样是不自洽的。也就是说科学发展到这一时候，打破逻辑的自闭性成了发展科学的首要问题。
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2007.11 书3 2.1.2 数字的可运算性 4.99KB
2007.11 书3 前言 15.92KB
2007.11 书3 物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学 目录 3.97KB
2007.10 书2 2.3 亚里斯多德与逻辑学 13.29KB
2007.10 书2 2.2 亚里斯多德关于物质和运动的观念 9.42KB
2007.10 书2 2.1 亚里斯多德时代的宇宙学说 14.47KB
2007.10 书2 2 古希腊文化中的物理学 10.39KB
2007.10 书2 1.4 关于中华古文明的思考 7.57KB
2007.10 书2 1.3 从盖天说到浑天说 6.58KB
2007.10 书2 1.2 测量时间(光阴)的科学 12.85KB
2007.10 书2 参考文献 2KB
2007.10 书2 4.4 现代物理学与牛顿的物理框架 13.64KB
2007.10 书2 1.1 关于易经的历史传说 5.7KB
2007.10 书2 4.3 光与牛顿物理框架的关系 12.55KB
2007.10 书2 4.2 热力学与牛顿物理框架的关系 12.31KB
2007.10 书2 4.1 关于力与质量的讨论 21.91KB
2007.10 书2 4 从牛顿到二十世纪的物理世界 14.07KB
2007.10 书2 3.4 牛顿的第一和第三运动定律 7.65KB
2007.10 书2 3.3 牛顿理论体系的“有限论域”讨论 18.04KB
2007.10 书2 3.2 牛顿的质点动力学体系的核心——对于质量的逻辑界定 17.94KB
2007.10 书2 3.1 从开普勒、伽利略到牛顿的物质运动理论 12.58KB
2007.10 书2 3 从伽利略到牛顿的古典力学世界 16.24KB
2007.10 书2 2.4 希腊古文明对我们的启示 12.13KB
2007.10 书2 1 中华传统文化中的物理学 2.52KB
2007.10 书2 物理学原理（第一卷）时间、空间、质量 目录 1.96KB
2007.10 书2 前言 15.12KB
2007.10 书1 2.3 波函数空间理论的数理逻辑和实践基础 8.53KB
2007.10 书1 2.2 为什么不能把波理论纳入经典理论的框架 4.57KB
2007.10 书1 2.1 电磁场的算子理论和电磁场基本方程组 8.83KB
2007.10 书1 2 现代电磁场理论 3.4KB
2007.10 书1 1.4 关于自然哲学的数学原理 5.28KB
2007.10 书1 1.3 关于光本质的讨论 4.2KB
2007.10 书1 参考文献 2.35KB
2007.10 书1 7.3 结束语 8.56KB
2007.10 书1 7.2 量子理论的未来 4.01KB
2007.10 书1 7.1 自然科学体系的逻辑重建 8.93KB
2007.10 书1 7 科学的未来是什么 3.2KB
2007.10 书1 6.4 爱因斯坦哲学观和对我们时代的贡献 5.18KB
2007.10 书1 6.3 有关相对论实验的分析 6.05KB
2007.10 书1 1.2 相对论与量子理论矛盾的实质——波粒二象性 4.57KB
2007.10 书1 6.2 爱因斯坦的广义相对论和霍金的广义相对论 11.51KB
2007.10 书1 6.1 狭义相对论的回顾和讨论 9KB
2007.10 书1 6 相对论 2.26KB
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2007.10 书1 5.3 暗物(或虚物 ) 12.89KB
2007.10 书1 5.2 实物 6.51KB
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2007.10 书1 5 实物与暗物 2.19KB
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2007.10 书1 3 宏观力学中的数理逻辑问题 3.98KB
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2007.10 文1.6 终结——为后信息社会的到来做好真备了吗？ 10.35KB
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阅读(2117) 编辑词条 历史版本(1) 附图 新增信息模块 势函数 所属分类： 基本物理概念 术语 物理学 物理理论 理论物理
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1 势函数简介
2 结论简介
势函数-势函数简介
势函数的构造是人工势场方法中的关键问题，典型的势函数构造方法如下
势函数
P(θ)=f{d(θ,θ0),d［R(θ),O］,dT} (1)
式中 θ，θ0——机器人当前位姿与目标位姿矢量
d(θ,θ0)——θ与θ0间的某种广义距离函数
d［R(θ)，O］——当前位姿下机器人与障碍物间的最小距离
dT——给定的门限值
P(θ)分别为变量d(θ,θ0)和d［R(θ)，O］的单调递增函数和单调递减函数。从机器人的起始位姿开始沿着P(θ)的下降方向进行搜索可使机器人在避开障碍物的前提下向目标位姿运动。
机器人与障碍物间的距离计算是构造势函数的基础，通常采用的距离函数是Euclidean距离。若采用凸多面体集合对机器人连杆和障碍物进行几何模拟，则机器人与障碍物间的距离计算简化成凸多面体间的距离计算。凸多面体间的Euclidean距离是二次规划问题的解，计算比较复杂［8～10］。本文采用Euclidean距离的等价度量——L1距离，提出C-空间中人工势场的一种构造策略，并给出相应的机器人无碰撞路径规划方法。
考虑到机器人的实际操作空间为三维空间，因此有关讨论限制在R3中。
1 凸多面体间的L1距离及其计算方法
凸多面体间的L1距离定义如下
(2)
式中 ‖a-b‖1—矢量a-b∈R3的L1范数
有界闭(后面均作此假设)凸多面体A，B?R3间的L1距离具有以下性质［11］。
(1) 由式(2)定义的d1(A，B)存在且唯一，式(2)可等价成
(3)
(2) (与Euclidean距离的等价性)记A，B间的Euclidean距离为dE(A，B)，则有
(4)
(3) 拓扑性质
(5)
(4) (Lipschitz性)以TA，TB∈SO(3)分别表示多面体A和B的旋转矩阵，rA，rB∈R3分别表示A和B平移矢量，记A′=TAA+rA，B′=TBB+rB，则有
(6)
式中 I∈R3×3——单位矩阵
‖T‖1——与矢量的L1范数相容的矩阵谱范
SO(3)——3阶特殊正交群
(5) d1(A，B)和dE(A，B)对于A和B的旋转和平移变量均不存在Frechet意义下的梯度。
上述结论表明，凸多面体间的L1距离和Euclidean距离具有相似的性质。
若A，B?R3的顶点集为VA={υAi;i=1,…,nA}，VB={υBj;j=1,…,nB}，则A，B可分别表示成VA和VB的凸包，即
(7)
(8)
d1(A，B)可通过求解如下线性规划问题计算
(9)
上述问题可由单纯形方法求解。尽管理论上单纯形法为非多项式算法，但经验表明，即使对于多约束线性规划问题，单纯形法也具有很高的计算效率。因此采用L1距离替代Euclidean距离构造势函数，可以简化无碰撞路径规划问题的计算复杂性。
2 基于L1距离的人工势函数构造与无碰撞路径规划方法
以R(θ)，O分别表示机器人及其操作空间中的障碍物，其中R(θ)决定于机器人的C-空间位姿矢量θ。所谓无碰撞路径规划，就是确定一条连接C-空间中起始位姿θi和目标位姿θO的连续路径S(θi，θO)，使得机器人沿该路径运动时，在其所有的中间位姿θ∈S(θi，θO)满足如下几何约束条件
(10)
为了将上述约束条件表示成便于计算机判别的形式，通常采用如下形式的凸多面体集合对机器人及其操作空间中的障碍物进行几何逼近
(11)
式中Ri(θ)(i=1,…，m)，Oj(j=1,…，l)为R3中的凸多面体。机器人与障碍物间的L1距离可按下式由各多面体对Ri(θ)，Oj间的L1距离确定
(12)
且根据L1距离的拓扑性质，几何约束条件式(10)可等价地表示成
d1［R(θ)，O］>0 (13)
以θi，θO∈Rn分别表示n自由度机器人的起始位姿和目标位姿。定义机器人运动过程中任意中间位姿θ∈Rn与目标位姿之间的广义距离为(W∈Rn×n为正定加权矩阵)
(14)
按如下方法构造C-空间中的势函数
(15)
由式(15)所确定的势函数p(θ)具有如下特点：
(1) 当机器人与障碍物间的L1距离大于门限值dT时，势函数的值由当前位姿与目标位姿间的广义距离d(θ，θO)确定，此时机器人只受到目标位姿引力场的作用。
(2) 当机器人与障碍物的L1距离小于门限值dT时，人工势场由目标位姿的引力场和障碍物的斥力场两部分组成，其中障碍物的斥力场所对应的势函数分量反比于机器人与障碍物间的L1距离，因此当机器人与障碍物间的L1距离趋于零时，该分量的值趋于无穷大。
(3) 势函数的值可由式(9)、(12)、(14)、(15)以及机器人正向运动学方程计算。
从机器人在C-空间中的起始位姿开始，沿着人工势函数p(θ)的下降方向进行搜索，可以得到C-空间中满足几何约束条件式(10)的连续路径。我们分d1［R(θ)，O］>dT和d1［R(θ)，O］?dT两种情况讨论无碰撞路径搜索方法。
(1) 若d1［R(θ)，O］>dT，则势函数p(θ)关于θ可微，并有
(16)
此时可按势函数的最速下降方向，即其负梯度方向-?p(θ)搜索机器人的下一个位姿点。对于搜索得到的位姿点，判断条件d1［R(θ)，O］>dT是否满足，若是，则以该点作为起始点重复以上搜索过程，否则改用下面的方法进行搜索。
(2) 若d1［R(θ)，O］?dT，则势函数p(θ)不存在Frechet意义下的梯度向量，此时由于得不到最速下降方向，因此采用如下的搜索策略；对于θ的各相邻位姿θ+δθ(δθ∈Δ)，计算势函数p(θ+δθ)的值，其中
(17)
为容许的搜索步长集合。按下式确定
(18)
若，则终止搜索。若，判断条件?dT是否满足，若是则以作为起始点重复上述搜索，否则改用最速下降方法进行搜索。
采用以上搜索方法可能产生两种不同的结果：一是搜索过程终止于目标位姿，此时已经得到C-空间中的连接起始位姿和目标位姿的无碰撞路径，规划完成。另一种可能的结果是在到达目标位姿之前，搜索过程终止于人工势函数的局部极小点，此时势函数无下降方向，必须采用其他方法才能使搜索过程继续下去。有关人工势函数的局部极值处理目前已有许多研究，此处不再介绍。
一般说来，若搜索步长足够小，则尽管规划过程中只顺序搜索C-空间中一些离散位姿点，但L1距离的Lipschitz性足以保证规划出的路径满足几何约束条件。但减小搜索步长是以增加算法的计算复杂性为代价的，为简化计算，搜索过程中可以根据当前位姿下机器人与障碍物间的L1距离大小对步长进行调整。对于由上述方法规划出的C-空间位姿序列，采用适当的方法进行插补即可得到连续的无碰撞路径。
3 平面移动机器人路径规划的图形仿真
图 平面3自由度机器人路径
规划仿真结果图示平面移动机器人具有3自由度，选择端点A的坐标以及AB与参考坐标系x轴的夹角构成C-空间位姿矢量［xA，yA，φ］T，记AB的长度为lAB，则端点B的坐标可由如下运动学方程计算
(19)
给定机器人的起始位姿和目标位姿(如图示)，以及障碍物Oi(i=1，2，3，4)的顶点集，采用本文给出的无碰撞路径规划方法，得到图示结果。
势函数-结论简介
无论是对于关节机器人还是移动机器人，只需建立机器人的正向运动学方程，则采用上述人工势函数方法进行无碰撞路
势函数径规划时，其数学表示及其求解过程均不存在实现上的困难，且R3中凸多面体间L1距离的计算也十分简单，因此上述方法适用于三维空间中各类机器人的无碰撞路径规划。
*国家自然科学基金资助项目。19960611收到初稿，19971017收到修改稿
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书1 4.4 关于绝对运动和绝对速度问题
宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com） 上传2007.10 浏览87
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《信息时代的物理世界——实物与暗物的数理逻辑》
第四章 时间和空间
§ 4.4 关于绝对运动和绝对速度问题
关于运动的绝对性和相对性是与时间和空间的绝对性和相对性联系在一起的，它同样是一个永远讨论不完的问题。其实在牛顿的理论体系中这并不是一个特别复杂的问题。我们说牛顿理论体系的逻辑严谨性就是指，只要不考虑旋量场 (或涡量场) 对运动的影响，牛顿的理论是自洽的体系。牛顿理论体系的近似性只是由于旋量场 (或涡量场) 的出现才造成的；而与空间的尺度或速度的快慢并没有直接的关系。在流体力学中并没有出现可以与光速相比拟的物质运动速度，只要一考虑旋量场 (或涡量场), 牛顿理论照样不完全适用了。所以牛顿理论体系的僵化完全是由于在牛顿理论体系中只考虑无旋场 (引力场) 的结果，因而质量也成了一个与运动无关的常数。那些把牛顿理论看成近似理论的持相对论时空观的人，实际上并没有把牛顿理论局限性的真正原因搞清楚，因而仍然把只在牛顿物理世界框架下适用的物理量，如速度，加速度，质量，轨迹等等看成是全部物理世界普遍适用的东西。其实在牛顿物理世界中的那些物理量，在另外一类物的运动形式中，即波运动中不再具有实在的物理内容。但是在那些物理量，不再具有普遍的意义的时侯，物理世界并不会因此而失去它的规律性，我们仍然有一些物理量可以用来描述新框架下普遍的物理世界的运动规律，这些具有更普遍意义的物理量，就是如能量和动量等，而空间和时间则是则始终是物理世界中最基本的稳定的量度。有了这些我们照样可以建立起物理世界的逻辑框架。 在这个框架中，牛顿的物理框架成了其中相对独立的子框架，仍保持着子框架内的自洽性，同时又与波运动形式结合在一起，组成更广阔的新物理世界的框架。当然这个新的物理世界的框架在在真正的物理世界中，仍然只是其中的一小部分。自然界是无限复杂的，至少它不是我们所可以想象的多少代人所能够完全搞清楚的。
其实在纯牛顿系统中，即没有旋量场力参与的情况下，可以通过运动的相对性与绝对性的关系来理解绝对运动。因为 牛顿的自然哲学体系中，只研究“物”的一种运动形态，粒子的运动形态；同样只存在一种形式的力，就是万有引力。在这样的系统中，我们可以比较简单地理解运动的绝对性与相对性：只要把与观察有关的范围看作是一个封闭系统，那么这个系统本身就是可以认为是静止的，在这个系统上所得到的运动和速度，对于这个系统来说就是绝对的。一个人从 >100米 楼房上掉下来，如果把人和地球看成两个系统，可以说是这人向地球掉下 >100米 ，也可以说是地球向人往上运动了 >100米 。但是只要把这个人与整个地球看作一个封闭系统，现有物理理论完全可以计算出它的绝对运动和绝对速度。那个人确实向地球运动了非常非常接近于 >100米 ，而地球向人只运动了也许10 的负几十次方米。这就是说，即使在牛顿理论中还是有一个比速度更普遍更本质的物理关系，这就是能量守恒和动量守恒。有人会说这算什么绝对运动，地球还绕太阳旋转和自转。确属如此，所以在考虑地球的运动时，必须把太阳也许还必须把太阳系的所有物体看成一个封闭系统，只要考虑到这个封闭系统内所有与运动有关的因素，我们就可以得到这个封闭系统中的绝对运动的图景。相对论者强调没有绝对运动，从理论上来说也是对的，人类永远不知道自己在宇宙中所在的位置，也不可能到达任何自己曾到达过的地方。因为人不仅随着地球运动，地球随着太阳运动，太阳随着银河系运动，银河系又随着我们所不知道的天体运动。知道这一点很重要，它使我们每一个人都保持一种谦卑的心态去对待自然界，我们只属于自然界而不是自然界属于我们。但是这不是物理学所研究的问题。在牛顿力学体系中，万物的相互作用都是通过“力”才发生的，因此可以选择一个封闭系统，系统以外的所有力对于系统内部的作用小到什么程度，牛顿理论所达到的绝对精度就是什么程度。伽利略相对性原理的物理内容就是：对于一个理想的封闭系统，外力等于零，所以一定是惯性系统。这样的封闭系统内它的运动状态既是相对的，又是绝对的。由于在人们的观察范围之内，理想的封闭系统是不存在的，所以所有的科学理论的真理性都是相对的，但是牛顿的力是与距离平方成反比的，所以在相对性的真理中也就包含了绝对性：随着实验观察的范围越大，科学理论中所忽略的外部作用就越小，因而相对真理就越来越向绝对真理的逼近。要讲清楚这个问题也许又必须用数学语言，在数学上说，牛顿的与距离平方成反比的引力可以用一种势函数来表示，这种函数属于 S空间，这一空间中的函数在全空间内是平方可积的，它的场称为保守场，在这样的空间中所有经典分析方法是有效的。也就是说，不仅在假定太阳系是一个封闭系统的情况下（即假定太阳系以外的星系离太阳已经很远，它们所有引力都可以忽略），即使考虑附近还有类似太阳的恒星，由于这个恒星考虑的仍是无旋场，经典数学还是有效，这就是说，牛顿理论不仅适用于星空，也适用于所有粒子只存在引力的多粒子系统，这些就组成了经典的热力学和经典统计力学的理论基础。但这也会使牛顿理论暴露出自身的问题，如果只考虑有旋力，即在牛顿理论的框架内，就会推导出热力学第二定律和出现宇宙热寂说。只要物理系统中一加入旋量场 (或涡量场) ，所有的经典理论中的守恒定律都要改变，就不会出现宇宙热寂现象。总之，我们所讨论的是物理学中的运动规律，我们只能从人类实践的范围内去考虑科学规律的合理性和准确性，去研究造成物理规律局限性的真正的物理原因，离开这一点去寻找什么绝对的静止、绝对的速度、我们在宇宙中的绝对位置以及绝对的时间和宇宙的绝对年龄和宇宙空间的绝对大小等等我们认为这些都已经超出了物理学的范围。
牛顿时空观如果一旦与牛顿经典力学的物质运动范畴联系在一起，就显得非常狭窄了，但是我们现在大量的科技活动仍是在这个相对狭窄的范围内进行的。例如：现代科技和信息技术中常用的惯性平台就是一个很好的例子。在目前的科技条件下我们很容易设计一个虚拟的惯性平台，这个惯性平台中，所有外力造成的对运动的影响都可以通过虚拟的方法加以消除，对于牛顿力学运动来说就是一个封闭系统，在这样的系统中所得到的物质运动规律对于所有牛顿力学系统都具有绝对性。它就是一种在不考虑波 (旋量场) 的条件下，保证我们在有限范围所作的实验能够越来越接近绝对真理的一个基本手段。
所以我们说运动的绝对性是指牛顿理论框架下的运动的绝对性，对于整个物理世界这个绝对性还是有相对性。但是牛顿理论框架是物理世界在某个有限论域下的自洽的理论体系，所以这一范围内的各种运动规律的了解，是人类掌握自然规律过程中的一部份，否认牛顿理论框架下运动规律的有限论域下的绝对性，不会对人类认识自然界带来任何帮助，反而会造成混乱。当然麦克斯韦方程组的出现使问题发生了变化。光 (电磁波) 不是保守场，不满足S 空间的数学要求，因而也不再满足牛顿的物理学规律不变的要求。要把辐射影响完全消除从理论上来说是很困难的。但是现代的工程技术的发展证明，尽管波对于人们获取信息来说是占有最重要位置的，但是对于人造空间飞行器在地球这样巨大星体附近的运动来说，惯性导航系统依然是一个可靠的工具。当然对于更复杂的问题牛顿理论的有限论域下的运动规律就不再适用，如热力学第二定律就需要作某些修正。但是无论如何新的更大范围的物理世界的规律一定可以在牛顿理论的基础上来发展和完善，完全否定牛顿理论下运动规律的结果，另搞一套否认运动绝对性的相对运动和相对时空的理论不会对人类认识自然界提供真正有用的知识。
这里我们有必要提一下关于旋转水桶的实验和牛顿、马赫和爱因斯坦对于这一实验的争论。牛顿为了证明运动有绝对性提出了下面的实验论证：将水桶注满水，令其快速旋转。开始时，水桶转动而桶内的水不动 (转动动量还未传递给桶内的水)，水和桶之间有相对运动，水面呈水平状。随着转动动量逐渐传递给桶里的水，水面开始下凹；随后，令水桶突然停止转动，这时，桶内的水仍旧维持原来的转动，水和桶之间有相对运动，但水面仍旧维持着下凹状态。牛顿认为从这个实验证明了运动有绝对性：水的转动与是否和桶有相对运动无关，而保持其本身的绝对运动的特性。关于牛顿水桶实验，马赫反驳问道：如果水桶的壁非常厚 (例如有地球尺度，约 >6400公里)当水桶转而水不转时(相对于惯性系 ),水面仍保持平面或呈现微小的凹面呢？马赫猜测，水面将不再是平面。马赫认为水面之所以成凹形，是因为水面相对于宇宙中无数的恒星和天体有旋转而引起的，他反过来论证，如果让宇宙间所有的天体都围绕这一水面转动，水面也会呈凹形。这个问题对爱因斯坦建立相对论有很大的影响，他在广义相对论中回答了这个问题，他的计算表明在一个有大质量的转动的球壳内会产生微小的离心力。相当于水桶的静止水面会呈现微小凹面。
这样一个看似简单的实验为什么会引起这么多大科学家的注意呢？我想这是因为这个桶和水旋转的问题，在现在的流体力学专业人士看来很简单的问题，但确是当时的那些大科学家所解决不了的问题。从物理上来说，如果只有牛顿力，水面在垂直引力的方向上旋转，是不会产生垂直运动的。它的垂直运动是由于桶和水之间的边界条件所引起的。现在边界条件成了所有工程科学中最基本的问题之一，但是牛顿理论无法确定边界条件，牛顿理论的最大缺陷就在于它所讨论的是理想粒子或刚体的问题，它无法考虑粒子碰撞的问题，或者说对于粒子碰撞，它无法描述碰撞的过程，而只能给出理想情况下粒子碰撞前后的两种状态。所以牛顿的粒子是不接触的，如果像水和桶那样接触在一起，牛顿理论只能提供两类情况，一是粒子间有无限大的力，以刚体的形式结合在一起，二是无摩擦力，这两种情况都不符合那个问题的需要。那么看一看马赫和爱因斯坦所提出的解决方法怎么样呢，那也不是属于解决这一物理问题的方法，怎么能够让整个宇宙环绕着水桶旋转呢？再说大质量的球壳内会产生微小的离心力，直到现在也无法用实验证明，而且与上面的问题也不一样。但是在牛顿力学的基础上，现在加上牛顿力以外的力，粒子与粒子之间的摩擦力或粘滞力，所有问题都可以得到完善的解决。我们不是要以这个例子来说明绝对运动存在还是不存在，因为这个例子实际上对于所讨论的问题什么也说明不了。一些哲学家都喜欢把一些本来是简单的但是实际上却又是当时的理论还不是完全解决得了的问题，变换为几乎永远也无法得到证明的大问题，从而来论证自己的某个复杂的哲学大前提。在某些情况下，这当然可以启发人们的思考，但是从物理学的角度，这常常并不是一个认识和解决问题的好方法。但是我们还应该看到在现有的流体力学的范围内所解决的水桶和水的旋转问题依然是不彻底的，因为摩擦力或粘滞力与牛顿理论的逻辑前提同样是不自洽的。也就是说科学发展到这一时候，打破逻辑的自闭性成了发展科学的首要问题。
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2008.07.05 让我们一起来读好“大自然”这一本书 19.17KB
2008.05.01 书4.1.3.1万有引力与引力质量 13.07KB
2008.05.01 书4.1.3力学——关于物质、运动与相互作用的科学 15.2KB
2008.04.21 书4.1.2.4寻找新的物理世界的数理逻辑基元 7.91KB
2008.04.21 书4.1.2.3 电磁理论中的粒子、场与波 16.55KB
2008.04.21 书4.1.2.2简振模式下的经典电磁场理论 24.39KB
2008.04.21 书4.1.2.1 粒子与场 11.09KB
2008.04.21 书4.1.2 电动力学与电磁场理论 6.8KB
2008.04.21 书4.1.1.4牛顿理论框架的数学体系 6.39KB
2008.04.21 书4.1.1.3牛顿的时空观 13.37KB
2008.04.21 书4.1.1.2牛顿力学模型是一个没有结构的物质模型 14.14KB
2008.04.21 书4.1.1.1 人类认识物理世界的历史过程 20.16KB
2008.04.21 书4.1.1 牛顿力学 1.14KB
2008.04.21 书4.1 经典物理学 4.21KB
2008.03.30 让科学之风吹遍人间（《自然科学体系梳理》第二版序） 14.34KB
2008.01 文2.1 学习张志杰，一生做社会与科学的义工 10.21KB
2007.12 书4 前言 20.63KB
2007.11 书3 2.1.1 逻辑思维和形象思维 4.24KB
2007.11 书3 2.1 数字、运算与“数字”概念的扩展 8.68KB
2007.11 书3 2 关于数字、运算和数学的逻辑体系 3.47KB
2007.11 书3 1.4 逻辑的自洽性和自闭性 11.04KB
2007.11 书3 参考文献 2.39KB
2007.11 书3 4.4 小结——关于什么是真实知识的讨论 11.29KB
2007.11 书3 4.3 关于氢原子光谱讨论 12.53KB
2007.11 书3 4.2 现代数学发展中的数理逻辑问题 13.85KB
2007.11 书3 4.1 数理逻辑框架的探讨 5.25KB
2007.11 书3 1.3 数理逻辑体系 7.23KB
2007.11 书3 4 数理逻辑——人类思维发展的新阶段 2.92KB
2007.11 书3 3.4.4 理论物理学发展的正确方向 8.82KB
2007.11 书3 3.4.3 量子现象的物理内涵 4.29KB
2007.11 书3 3.4.2 波粒二象性不是一个科学的物质模型 6.28KB
2007.11 书3 3.4.1 关于相对性原理的讨论 6.73KB
2007.11 书3 3.4 关于“波粒二象性”和量子模型 3.63KB
2007.11 书3 3.3.4 关于宇宙常数 3.6KB
2007.11 书3 3.3.3 电磁波的数学体系和数理逻辑 4.53KB
2007.11 书3 3.3.2 牛顿粒子说的实质是什么 7.28KB
2007.11 书3 3.3.1 牛顿物理框架中的数理逻辑体系 5.32KB
2007.11 书3 1.2 关于逻辑前提或逻辑基元的讨论 8.23KB
2007.11 书3 3.3 关于物质的逻辑前提 1.66KB
2007.11 书3 3.2.4 关于无限大域下的函数和函数空间 7.65KB
2007.11 书3 3.2.3 关于复数和复数空间的讨论 5.83KB
2007.11 书3 3.2.2 时间与空间的相互联系性 8.22KB
2007.11 书3 3.2.1 时间逻辑前提的物理实在基础 6.26KB
2007.11 书3 3.2 时间逻辑界定和时间与空间的联系 2KB
2007.11 书3 3.1.4 三维空间中的矢量和矢量函数空间 3.3KB
2007.11 书3 3.1.3 希尔拜特的逻辑化的几何学 8.34KB
2007.11 书3 3.1.2 欧氏空间和非欧空间 5.72KB
2007.11 书3 3.1.1 作为数学原初逻辑前提的点和线的概念 5.65KB
2007.11 书3 1.1 关于形式逻辑的一般讨论 6.49KB
2007.11 书3 3.1 关于空间的概念 5.29KB
2007.11 书3 3 物理学与逻辑学 2.71KB
2007.11 书3 2.4.4 科学思维的发展道路 8.23KB
2007.11 书3 2.4.3 唯心主义和唯物主义 10.25KB
2007.11 书3 2.4.2 形而上学与辩证法 9.53KB
2007.11 书3 2.4.1 哲学与逻辑学的关系 3.1KB
2007.11 书3 2.4 关于哲学和逻辑中的一些概念的探讨 1.71KB
2007.11 书3 2.3.4 数学逻辑与数理逻辑 6.7KB
2007.11 书3 2.3.3 关于无限问题的数学逻辑 3.39KB
2007.11 书3 2.3.2 从幂运算到复数与复数运算和复数空间 9.67KB
2007.11 书3 1 关于逻辑学和哲学的一般讨论 6.5KB
2007.11 书3 2.3.1 幂运算与实数空间理论 7.23KB
2007.11 书3 2.3 关于运算和无穷概念的讨论 2.66KB
2007.11 书3 2.2.4 从幂运算和极限建立实数空间概念 13.65KB
2007.11 书3 2.2.3 关于现代数学的逻辑悖论和逻辑体系的探讨 10.04KB
2007.11 书3 2.2.2 牛顿时代的是怎样解决这些问题的 15.62KB
2007.11 书3 2.2.1 十九世纪数学家是怎样建立“实数空间”的 11.01KB
2007.11 书3 2.2 关于实数和实数空间的讨论 2.29KB
2007.11 书3 2.1.4 数学发展历史上的第一个逻辑悖论 9.5KB
2007.11 书3 2.1.3 数字概念与运算方法的扩展 4.56KB
2007.11 书3 2.1.2 数字的可运算性 4.99KB
2007.11 书3 前言 15.92KB
2007.11 书3 物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学 目录 3.97KB
2007.10 书2 2.3 亚里斯多德与逻辑学 13.29KB
2007.10 书2 2.2 亚里斯多德关于物质和运动的观念 9.42KB
2007.10 书2 2.1 亚里斯多德时代的宇宙学说 14.47KB
2007.10 书2 2 古希腊文化中的物理学 10.39KB
2007.10 书2 1.4 关于中华古文明的思考 7.57KB
2007.10 书2 1.3 从盖天说到浑天说 6.58KB
2007.10 书2 1.2 测量时间(光阴)的科学 12.85KB
2007.10 书2 参考文献 2KB
2007.10 书2 4.4 现代物理学与牛顿的物理框架 13.64KB
2007.10 书2 1.1 关于易经的历史传说 5.7KB
2007.10 书2 4.3 光与牛顿物理框架的关系 12.55KB
2007.10 书2 4.2 热力学与牛顿物理框架的关系 12.31KB
2007.10 书2 4.1 关于力与质量的讨论 21.91KB
2007.10 书2 4 从牛顿到二十世纪的物理世界 14.07KB
2007.10 书2 3.4 牛顿的第一和第三运动定律 7.65KB
2007.10 书2 3.3 牛顿理论体系的“有限论域”讨论 18.04KB
2007.10 书2 3.2 牛顿的质点动力学体系的核心——对于质量的逻辑界定 17.94KB
2007.10 书2 3.1 从开普勒、伽利略到牛顿的物质运动理论 12.58KB
2007.10 书2 3 从伽利略到牛顿的古典力学世界 16.24KB
2007.10 书2 2.4 希腊古文明对我们的启示 12.13KB
2007.10 书2 1 中华传统文化中的物理学 2.52KB
2007.10 书2 物理学原理（第一卷）时间、空间、质量 目录 1.96KB
2007.10 书2 前言 15.12KB
2007.10 书1 2.3 波函数空间理论的数理逻辑和实践基础 8.53KB
2007.10 书1 2.2 为什么不能把波理论纳入经典理论的框架 4.57KB
2007.10 书1 2.1 电磁场的算子理论和电磁场基本方程组 8.83KB
2007.10 书1 2 现代电磁场理论 3.4KB
2007.10 书1 1.4 关于自然哲学的数学原理 5.28KB
2007.10 书1 1.3 关于光本质的讨论 4.2KB
2007.10 书1 参考文献 2.35KB
2007.10 书1 7.3 结束语 8.56KB
2007.10 书1 7.2 量子理论的未来 4.01KB
2007.10 书1 7.1 自然科学体系的逻辑重建 8.93KB
2007.10 书1 7 科学的未来是什么 3.2KB
2007.10 书1 6.4 爱因斯坦哲学观和对我们时代的贡献 5.18KB
2007.10 书1 6.3 有关相对论实验的分析 6.05KB
2007.10 书1 1.2 相对论与量子理论矛盾的实质——波粒二象性 4.57KB
2007.10 书1 6.2 爱因斯坦的广义相对论和霍金的广义相对论 11.51KB
2007.10 书1 6.1 狭义相对论的回顾和讨论 9KB
2007.10 书1 6 相对论 2.26KB
2007.10 书1 5.4 实物与暗物的数理逻辑体系 6.53KB
2007.10 书1 5.3 暗物(或虚物 ) 12.89KB
2007.10 书1 5.2 实物 6.51KB
2007.10 书1 5.1 物质存在及其运动的基本形式的探讨 11.82KB
2007.10 书1 5 实物与暗物 2.19KB
2007.10 书1 4.4 关于绝对运动和绝对速度问题 8.84KB
2007.10 书1 4.3 逻辑时空中的数学问题 10.37KB
2007.10 书1 1.1 物理学发展的历史回顾 9.27KB
2007.10 书1 4.2 时空框架的历史发展过程 10.01KB
2007.10 书1 4.1 物理时空和逻辑时空 4.87KB
2007.10 书1 4 时间和空间 2.29KB
2007.10 书1 3.5 引力场、力学波、引力波及其与电磁场和波的比较 7.74KB
2007.10 书1 3.4 流体力学中数理逻辑结构的进一步推讨 6.13KB
2007.10 书1 3.3 流体力学中涡与波 5.53KB
2007.10 书1 3.2 流体力学中的两种分析方法 6.42KB
2007.10 书1 3.1 牛顿力学与引力场 9.18KB
2007.10 书1 3 宏观力学中的数理逻辑问题 3.98KB
2007.10 书1 2.4 关于光速、光速的测量和超光速问题 8.05KB
2007.10 书1 1 20世纪物理学进展与问题 2.15KB
2007.10 书1 信息时代的物理世界——实物与暗物的数理逻辑 目录 3.05KB
2007.10 书1 前言 10.08KB
2007.10 文1.6 终结——为后信息社会的到来做好真备了吗？ 10.35KB
2007.10 文1.5 画在水晶球面上的最后一个圆——悼章钧豪先生 10.14KB
2007.10 文1.4 微观世界的太阳系——氢原子光谱 10.87KB
2007.10 文1.3 基础科学研究决定国家和人类的未来 9.59KB
2007.09 文1.2 科学的品格——兼谈“科学共同体” 8.51KB
2007.09 文1.1 人类有史以来的几次自然哲学大论战 8.5KB
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