第十六章 量子力学
基本要求
1、了解波函数及其统计解释。了解一维定态的薛定格方程。
2、了解如何用驻波观点说明能量量子化。了解角动量量子化及空间量子化。了解施特恩-----格拉赫实验及微观粒子的自旋。
3、了解描述原子中运动状态的四个量子数。了解炮利不相容原理和原子的电子壳层结构。
§16－1 波函数
一． 波函数
1． 自由粒子的波函数
平面简谐波的波动方程
指数形式：
由此方程知：频率 ，波长 ，沿 正方向传播
设想：动量一定的自由粒子，沿 正向传播，有波动性, 则：
，
若
；
则：
式中， ：自由粒子的波函数
：波函数的振幅
三维运动：
2． 波函数的物理意义
波函数的统计解释：波函数模的平方 与粒子在t时刻 处出现的概率密度
成正比。
物质波(德布罗意波) 概率波
3． 概率密度（几率密度）
某点处单位体积元内粒子出现的概率；
，
4． 波函数的性质（标准条件）
① 单值性：某时某处概率唯一；
② 有限性： ；
③ 连续性：W的分布是连续的。
波函数的归一化条件：
5． 德布罗意波与经典波的区别
① 微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；
德布罗意波，有归一化条件， 与 同。经典波的
§16-2 薛定格方程
一、薛定格方程
1． 自由粒子的薛定格方程
方向运动：
方向运动：
① 对 求二级偏导，得：
（1）
② 对 求一级偏导，得：
（2）
将（1）式代入得：
自由粒子的含时薛定格方程
2． 非自由粒子的薛定格方程
一般形式的含时薛定格方程
3． 定态薛定格方程
设： `
定态波函数：
定态势场中运动粒子的薛定格方程
例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度
一维势井：
解之得：
① 本征能量：
(零点能)
② 本征波函数：
③ 概率密度：
讨论：
1. 对无限深势井来说，粒子只能在U＝0的区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一些驻波的形式
2. 粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变
3. 相邻两能级间的距离:
*§16-3势垒 隧道效应
微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象。
*§16-4一维谐振子
一维谐振子
能量量子化：
零点能：
§16-5 氢原子
§16-5-1 玻尔的氢原子模型
一． 玻尔理论的实验基础
1． 原子的有核模型
原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；
2． 氢原子光谱的实验规律
① 综合经验公式：
，赖曼系； ，巴尔末系； ，帕邢系； ，布喇格系； ，普芳德系；
② 里兹并合原理
式中： 称为光谱项
氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。
二． 经典电磁理论遇到的困难
卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出：
1． 光谱连续
2． 原子不可能是稳定的系统；
与事实不符！
三． 玻尔理论
1． 基本思想：
① 承认卢瑟福的原子天文模型
② 放弃一些经典的电磁辐射理论
③ 把量子的概念用于原子系统中
2． 玻尔的三条假设
① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）
② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件
③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足
3． 讨论：
① 轨道量子化,稳定轨道半径公式
对氢原子，Z＝1
② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式）
能级：量子化的能量状态（数值）
能 态 n E/eV
基 态 1 －13.6
第一激发态 2 －3.4
第二激发态 3 －1.51
电离状态 ∞ 0
③ 氢原子光谱
④ 当n很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同
四． 玻尔理论的局限性
1． 成功之处
① 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱；
② 定态能级假设；
③ 能级间跃迁的频率条件。
2． 局限性
① 以经典理论为依据，推出电子有运动轨道、确定的空间坐标和速度
② 人为引进量子条件，限制电子运动
③ 不能自洽。对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的光谱（谱线的强度、宽度、偏振）等均无法解释
§16-5-2 氢原子的量子力学理论
氢原子
求解薛定格方程得到：
主量子数 决定能量E
角量子数 ，决定角动量L
磁量子数 ，决定角动量的空间量子化。
类氢离子的能级： ，其中原子序数Z=1时，得氢原子能级。
玻尔频率假设：
氢原子光谱： k=1,2,3,4,5
角动量：
角动量在任一方向的分量：
原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用波函数给出的概率密度描述。
§16-6 电子自旋
电子自旋：由电子自身属性决定的固有运动。
施特恩-----格拉赫实验：只能用电子自旋角动量的空间取向量子化来解释，是直接证实电子自旋存在的最早实验之一。
自旋角动量：
自旋角动量在任一方向的分量： 自旋磁量子数
§16-7多电子原子
原子中的电子的状态用四个量子数 决定。
(1) 主量子数 ，决定电子能级的主要部分。一般情况下，n越大，电子的能量越高。
（2）角量子数 ，决定电子角动量L，还轻微影响电子能量。一般情况下，n相同的电子中， 越大，电子的能量越高。
（3）磁量子数 ，决定电子角动量的空间取向。
（4）自旋磁量子数 ，决定电子自旋角动量的空间取向。
炮利不相容原理：一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子处于相同的状态。即它们不可能具有完全相同的四个量子数（ ）。
原子的壳层结构：主壳层由n相同的状态组成，最多可容纳 个电子，包括n个支壳层。
支壳层由 相同（n一定）的状态组成，最多可容纳 个电子。
电子组态：
本章小结
1、波函数
波函数：全面描述微观粒子波粒二象性的波函数
波函数的统计解释：波函数模的平方 与粒子在t时刻 处出现的概率密度
成正比。
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
波函数的归一化条件：
2、薛定格方程
定态波函数：
一维定态薛定格方程：
*3、隧道效应
微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象。
*4、一维谐振子
能量量子化：
零点能：
5、氢原子
求解薛定格方程得到：
主量子数 决定能量E
角量子数 ，决定角动量L
磁量子数 ，决定角动量的空间量子化。
类氢离子的能级： ，其中原子序数Z=1时，得氢原子能级。
玻尔频率假设：
氢原子光谱： k=1,2,3,4,5
角动量：
角动量在任一方向的分量：
原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用波函数给出的概率密度描述。
6、电子自旋
电子自旋：由电子自身属性决定的固有运动。
施特恩-----格拉赫实验：只能用电子自旋角动量的空间取向量子化来解释，是直接证实电子自旋存在的最早实验之一。
自旋角动量：
自旋角动量在任一方向的分量： 自旋磁量子数
7、多电子原子
原子中的电子的状态用四个量子数 决定。
(2) 主量子数 ，决定电子能级的主要部分。一般情况下，n越大，电子的能量越高。
（2）角量子数 ，决定电子角动量L，还轻微影响电子能量。一般情况下，n相同的电子中， 越大，电子的能量越高。
（3）磁量子数 ，决定电子角动量的空间取向。
（4）自旋磁量子数 ，决定电子自旋角动量的空间取向。
炮利不相容原理：一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子处于相同的状态。即它们不可能具有完全相同的四个量子数（ ）。
原子的壳层结构：主壳层由n相同的状态组成，最多可容纳 个电子，包括n个支壳层。
支壳层由 相同（n一定）的状态组成，最多可容纳 个电子。
电子组态：
基本要求
1、了解波函数及其统计解释。了解一维定态的薛定格方程。
2、了解如何用驻波观点说明能量量子化。了解角动量量子化及空间量子化。了解施特恩-----格拉赫实验及微观粒子的自旋。
3、了解描述原子中运动状态的四个量子数。了解炮利不相容原理和原子的电子壳层结构。
§16－1 波函数
一． 波函数
1． 自由粒子的波函数
平面简谐波的波动方程
指数形式：
由此方程知：频率 ，波长 ，沿 正方向传播
设想：动量一定的自由粒子，沿 正向传播，有波动性, 则：
，
若
；
则：
式中， ：自由粒子的波函数
：波函数的振幅
三维运动：
2． 波函数的物理意义
波函数的统计解释：波函数模的平方 与粒子在t时刻 处出现的概率密度
成正比。
物质波(德布罗意波) 概率波
3． 概率密度（几率密度）
某点处单位体积元内粒子出现的概率；
，
4． 波函数的性质（标准条件）
① 单值性：某时某处概率唯一；
② 有限性： ；
③ 连续性：W的分布是连续的。
波函数的归一化条件：
5． 德布罗意波与经典波的区别
① 微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；
德布罗意波，有归一化条件， 与 同。经典波的
§16-2 薛定格方程
一、薛定格方程
1． 自由粒子的薛定格方程
方向运动：
方向运动：
① 对 求二级偏导，得：
（1）
② 对 求一级偏导，得：
（2）
将（1）式代入得：
自由粒子的含时薛定格方程
2． 非自由粒子的薛定格方程
一般形式的含时薛定格方程
3． 定态薛定格方程
设： `
定态波函数：
定态势场中运动粒子的薛定格方程
例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度
一维势井：
解之得：
① 本征能量：
(零点能)
② 本征波函数：
③ 概率密度：
讨论：
1. 对无限深势井来说，粒子只能在U＝0的区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一些驻波的形式
2. 粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变
3. 相邻两能级间的距离:
*§16-3势垒 隧道效应
微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象。
*§16-4一维谐振子
一维谐振子
能量量子化：
零点能：
§16-5 氢原子
§16-5-1 玻尔的氢原子模型
一． 玻尔理论的实验基础
1． 原子的有核模型
原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；
2． 氢原子光谱的实验规律
① 综合经验公式：
，赖曼系； ，巴尔末系； ，帕邢系； ，布喇格系； ，普芳德系；
② 里兹并合原理
式中： 称为光谱项
氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。
二． 经典电磁理论遇到的困难
卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出：
1． 光谱连续
2． 原子不可能是稳定的系统；
与事实不符！
三． 玻尔理论
1． 基本思想：
① 承认卢瑟福的原子天文模型
② 放弃一些经典的电磁辐射理论
③ 把量子的概念用于原子系统中
2． 玻尔的三条假设
① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）
② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件
③ 频率条件：当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，放出或吸收单色辐射的频率满足
3． 讨论：
① 轨道量子化,稳定轨道半径公式
对氢原子，Z＝1
② 能量量子化－能级（原子系统的总能量公式）
能级：量子化的能量状态（数值）
能 态 n E/eV
基 态 1 －13.6
第一激发态 2 －3.4
第二激发态 3 －1.51
电离状态 ∞ 0
③ 氢原子光谱
④ 当n很大时，量子化特征消失，玻尔结果与经典结果同
四． 玻尔理论的局限性
1． 成功之处
① 能较好地解释氢原子光谱和类氢原子光谱；
② 定态能级假设；
③ 能级间跃迁的频率条件。
2． 局限性
① 以经典理论为依据，推出电子有运动轨道、确定的空间坐标和速度
② 人为引进量子条件，限制电子运动
③ 不能自洽。对稍微复杂些的系统，如氦和碱土金属的光谱（谱线的强度、宽度、偏振）等均无法解释
§16-5-2 氢原子的量子力学理论
氢原子
求解薛定格方程得到：
主量子数 决定能量E
角量子数 ，决定角动量L
磁量子数 ，决定角动量的空间量子化。
类氢离子的能级： ，其中原子序数Z=1时，得氢原子能级。
玻尔频率假设：
氢原子光谱： k=1,2,3,4,5
角动量：
角动量在任一方向的分量：
原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用波函数给出的概率密度描述。
§16-6 电子自旋
电子自旋：由电子自身属性决定的固有运动。
施特恩-----格拉赫实验：只能用电子自旋角动量的空间取向量子化来解释，是直接证实电子自旋存在的最早实验之一。
自旋角动量：
自旋角动量在任一方向的分量： 自旋磁量子数
§16-7多电子原子
原子中的电子的状态用四个量子数 决定。
(1) 主量子数 ，决定电子能级的主要部分。一般情况下，n越大，电子的能量越高。
（2）角量子数 ，决定电子角动量L，还轻微影响电子能量。一般情况下，n相同的电子中， 越大，电子的能量越高。
（3）磁量子数 ，决定电子角动量的空间取向。
（4）自旋磁量子数 ，决定电子自旋角动量的空间取向。
炮利不相容原理：一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子处于相同的状态。即它们不可能具有完全相同的四个量子数（ ）。
原子的壳层结构：主壳层由n相同的状态组成，最多可容纳 个电子，包括n个支壳层。
支壳层由 相同（n一定）的状态组成，最多可容纳 个电子。
电子组态：
本章小结
1、波函数
波函数：全面描述微观粒子波粒二象性的波函数
波函数的统计解释：波函数模的平方 与粒子在t时刻 处出现的概率密度
成正比。
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
波函数的归一化条件：
2、薛定格方程
定态波函数：
一维定态薛定格方程：
*3、隧道效应
微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象。
*4、一维谐振子
能量量子化：
零点能：
5、氢原子
求解薛定格方程得到：
主量子数 决定能量E
角量子数 ，决定角动量L
磁量子数 ，决定角动量的空间量子化。
类氢离子的能级： ，其中原子序数Z=1时，得氢原子能级。
玻尔频率假设：
氢原子光谱： k=1,2,3,4,5
角动量：
角动量在任一方向的分量：
原子内电子的运动不能用轨道描述，只能用波函数给出的概率密度描述。
6、电子自旋
电子自旋：由电子自身属性决定的固有运动。
施特恩-----格拉赫实验：只能用电子自旋角动量的空间取向量子化来解释，是直接证实电子自旋存在的最早实验之一。
自旋角动量：
自旋角动量在任一方向的分量： 自旋磁量子数
7、多电子原子
原子中的电子的状态用四个量子数 决定。
(2) 主量子数 ，决定电子能级的主要部分。一般情况下，n越大，电子的能量越高。
（2）角量子数 ，决定电子角动量L，还轻微影响电子能量。一般情况下，n相同的电子中， 越大，电子的能量越高。
（3）磁量子数 ，决定电子角动量的空间取向。
（4）自旋磁量子数 ，决定电子自旋角动量的空间取向。
炮利不相容原理：一个原子系统中，不可能有两个或两个以上的电子处于相同的状态。即它们不可能具有完全相同的四个量子数（ ）。
原子的壳层结构：主壳层由n相同的状态组成，最多可容纳 个电子，包括n个支壳层。
支壳层由 相同（n一定）的状态组成，最多可容纳 个电子。
电子组态：
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