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问个超低级的关于量子力学的问题
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共有22篇贴子 问个超低级的关于量子力学的问题
lgxysl
5位粉丝
1楼
一楼百度.
不知犯了那个关健字,发不出!
2009-11-3 11:55 回复
lgxysl
5位粉丝
2楼
也不怕被大家笑.这个问题我一直在不懂装懂.但真的不懂,想想还是弄个明白为好.
问题是这样的:
2009-11-3 11:57 回复
lgxysl
5位粉丝
3楼
关于在x=vt,我是这样想的：
宏观的物体不是由x=vt来决定它出现的位置的吗？例如一个小球，假设初始时它在x=0处，那么经过时间t后，你在哪里可以找到它呢？显然是x=vt处。它在x附近的邻域出现的几率为1。
对于这个问题，我看过的书中大体上是这样说的：
宏观物体计得它的物质波的波长很短，所以就退化为粒子性，波性就没法观测了，所以量子力学就变为经典力学。除此，就没有别的具体论述了。所以，这个问题我一直很费解！
2009-11-3 11:59 回复
血染图腾
4楼
先顶一下。
这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-11-3 12:16 回复
血染图腾
5楼
我觉得既然明显呈现粒子性，就不该写成波函数…听听别人怎么说。
这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-11-3 12:25 回复
lgxysl
5位粉丝
6楼
这问题基本上没有再讨论的必要了，犯了个很低级的错误。
量子力学的一切都是量子化的。自由粒子也是有能级的，不同的能级有不同的波函数，一楼的那个只是自由粒子的众多的波函数中的一个。当能级达到宏观时，早已不是这样的波函数了！
阿门！
2009-11-3 14:00 回复
kof9595995
1位粉丝
7楼
首先，自由粒子也不可以简单的写作简谐波，否则会有两个疑难，不可归一化，以及波速是经典速度的1/2.
真实情况是自由粒子的波函数是波包，给定初始条件后经过傅里叶变换和逆变换后可得到，当粒子质量很大时，逆变换的时间项几乎变为零，这就是说，波包的形状几乎不随时间变化。
还有，楼主所谓的“定点性”，其实就是概率密度集中在了空间很小的一段区域内，对任何粒子，观测后的极短时间内“定点性”依然很高，但是由于波包（位置的话就是delta函数）迅速变平，概率密度也就逐渐分散到全空间了。
而当质量很大时，如我在第二段所说，波包形状几乎不随时间变化，这种“定点性”也就能长时间保持下去，也就是近似可以用x=vt的情形，而经典速度v也就对应了波包的速度（群速度）
2009-11-3 14:12 回复
kof9595995
1位粉丝
8楼
至于如何退化成经典力学，如果从形式论来讲应该是当普朗克常数取0时，量子力学的H函数变成经典力学的H函数，具体不大了解，我也是初学量子。
还有要是从统计意义上讲，把牛顿力学里的所有量换成量子力学里的期望值得话，量子力学能给出和牛顿力学一样的形式（埃伦费斯特定理）
2009-11-3 14:19 回复
lgxysl
5位粉丝
9楼
真实情况是自由粒子的波函数是波包
-----------------------------------------
我想是随着能级的增高而逐渐变成波包状的.
2009-11-3 14:43 回复
cts198859
3位粉丝
10楼
字好多阿
E-u>>kT吧,也就是粒子的数密度要小，温度要高
理由嘛，量子统计下只有Bose和Fermi2种分布
Bose分布n=[exp((E-u)/kT)-1]^-1
Fermi分布n=[exp((E-u)/kT)+1]^-1
满足上述条件后
都变成exp(-(E-u)/kT)，也就是古典统计的Boltzmann分布
2009-11-3 15:20 回复
kof9595995
1位粉丝
11楼
自由粒子没能级，或者说“能级”是连续的，但是不管无论何时自由粒子波函数的形式都是波包的。
10楼说的跟楼主问的不沾边
2009-11-3 15:54 回复
cts198859
3位粉丝
12楼
LS是民科吧，难怪字那么多
我笑而不语
2009-11-3 16:02 回复
lgxysl
5位粉丝
13楼
本人当然是民科.
2009-11-3 16:22 回复
lgxysl
5位粉丝
14楼
我想是随着能级的增高而逐渐变成波包状的.
--------------------------------------------
这可能是错的.
但波包形成的原因是什么呢?
似乎这问题又不是那么简单了.
涉及到高斯波包和量子脱散等问题.
2009-11-3 16:25 回复
kof9595995
1位粉丝
15楼
只要t=0时的初始波函数是波包，自由演化的话，以后都不可能成为单一频率的简谐波，为什么初始状态必然是波包呢，我觉得原因有两个方面，一是一定要可归一化，而是自由粒子一般都是某种束缚态出来的，束缚态的波函数肯定不能写成全空间的简谐波，但可以写成波包的形式
2009-11-3 17:19 回复
cloudk
53位粉丝
16楼
先说“量子力学在宏观条件下如何近似成为经典力学”
首先，量子力学有三种量子化方案：波动力学，矩阵力学和路径积分。
对于波动力学，非相对论的情况下，描述粒子波动的Schrodinger Eq.在Planck常数h趋于0的时候，可以近似成为经典力学中的哈密顿-雅克比方程，即为S方程的零级近似。相对论的情况，描述粒子波动的Dirac方程可以先在低速下近似成为S方程，然后再近似成哈密顿-雅克比方程，就回到经典力学。
对于矩阵力学的情况，当h趋于0的时候，所有力学量都显得是对易的了，即回到经典力学中力学量都可以同时确定的情况。
对于路径积分，h趋于0的时候，路径的几率分布给出唯一的路径方程，既是粒子经典运动轨迹。
LZ的问题最好是用路径积分，原则上说这种方法可以直接给出粒子的各个运动轨迹的几率分布，在取经典极限即可得到所要的x=vt的那条路径。
最后说一点，自由粒子波函数就是LZ写的那种形式，归一化不是问题，这种波函数可以采用“箱归一化”的办法，归一化成为δ函数，随便找一本介绍量子力学的教材都会说明这一点~
2009-11-3 21:15 回复
lgxysl
5位粉丝
17楼
原来我6楼的想法是比2楼的想法还菜得多的想法.
昨晚解了一下势场为0的量子力学方程。
初步得到如下结论:
(1)势场为0的通解是:
ψ(x,t)=[A₁e^(ipx/h)+A₂e^(-ipx/h)]e^(-iEt/h)
比Ae^[-i/h(Et-px)]要复杂些.
(2)自由粒子的能量与动量确是可以连续取值的.
(3)所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！
(4)一个完全自由的不考虑结构的质点，无论它的能量多大,也只能是满空间分布！
(5)为什么宏上看不到这样的自由粒子呢?个人认为宏观上没有完全自由而又不用考虑结构的粒子.
敬请批评指正.
2009-11-4 08:58 回复
lgxysl
5位粉丝
18楼
所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！
-------------------------------------------
我又犯胡涂了!理想地说,地球与太阳系的关系与氢原子核与电子的关系差不多.太阳的引力场理想地说是定态的.理想地说量子力学方程对于这个系统仍成立.从这个角度来看,地球在太阳附近某个位置出现的几率与时间无关?这太可笑了!如何理解这个问题?
2009-11-4 11:03 回复
lgxysl
5位粉丝
19楼
既然在宏观下方程仍成立。那么在势场与时间无关时，方程必然是定态的，也就是说，由方程得出的粒子的几率分布必然是个与时间无关的函数。一方面宏观粒子的分布与时间有关，另一方面由方程的定态又得出粒子的分布与时间无关。这种矛盾，问题出现在哪里呢？或者说，有什么桥梁使得与时间分布无关的粒子，当延申到宏观时，又与时间有关了呢？
教材官科这样说:表征宏观粒子运动的量子力学方程都必须是非定态的!(真是不看书不学习不行!看看书才发现这个问题原来......)
但我这民科头脑还是转不过弯来:理想地说.太阳的引力场是定态的呀! 有什么理由认为宏观运动总是非定态的呢?
越来越湖涂了!
2009-11-4 12:03 回复
220.248.62.* 20楼
所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！
-------------------------------------------
我又犯胡涂了!理想地说,地球与太阳系的关系与氢原子核与电子的关系差不多.太阳的引力场理想地说是定态的.理想地说量子力学方程对于这个系统仍成立.从这个角度来看,地球在太阳附近某个位置出现的几率与时间无关?这太可笑了!如何理解这个问题?
-------------------------------------------
1)量子力学对氢原子的处理结果，空间几率分布与r有关，当h趋于零时分布趋于狄拉克函数，并且其中心r满足一定的方程（由能级决定），这一方程就是退化后的经典轨道方程。
2)粒子在空间的运动情况，需要给出初始条件，如果采用半经典处理，这一初始条件必须是（1）在t=0时局域于某点附近的波包（粒子性），（2）要给出此时动量的平均值，因此平面波是无法作为初始条件的。
3)由于存在外场，一般而言坐标和动量不再是守恒量--不同时刻位置和动量的平均值并不相同，在t1时刻位置和动量的平均值分别为r1和p1，t2时刻为r2和p2,在经典近似下可以认为粒子在t1到t2的间隔中从r1运动到r2，这样结合1)中给出的轨道就给出了经典描述。
2009-11-4 13:13 回复
inempty
17位粉丝
21楼
这里涉及量子力学和经典力学对应的问题。一般来说，h很小时微观粒子的相位对应着宏观意义上的作用量，但空间的概率分布依旧是存在的，不会一下子集中到一个有确定位置的波包里面去。
楼主所说的，物质波波长很小时候的情况，可以类比到光波，光波波长短时候近似可以用光线模型描述，但光依旧可以是一大片，而不必被局限到很短很细的一小段光上去。
所以说，电子即便动量很大，也不是一下子就变成了经典的小球，还是有些微妙的不同。这种不同来自于量子力学中最为有趣的概念之一——测量。
我们考虑一个自由粒子，可以看做平面单色波（严格来说都是波包，但是近似未尝不可），这是一开始的状态。现在我们引入测量，我们知道对其位置加以测量后，状态变为位置本征态，这是一个收缩得无限小的空间波包，比如说位置在x0。无限小比较令人费解，不过没事，这个波包立即就会开始展宽，而其中心同时也会以一定的速度移动，波包移动速度将是相速度的两倍（也就是说，和经典力学中的速度一致）。比如速度为v，经过时间dt（很小的时间段），波包中心移动到了x0+vdt，注意到这一项和dt一次方相关，而具体理论计算告诉我们，波包标准差将增加一个和dt^2成正比的项，比vdt这一项小很多。这时如果我们再进行一次测量，粒子基本上会保证出现在x0+vdt附近，也就是说波函数成为处于限定在x0+vdt处的一个波包，其新位置与老位置“平均而言”移动了vdt。
这样，如果我们不断对粒子进行测量，粒子就会以波包的速度移动，并从直观上说，有了轨道的概念，这也就是宏观物体的情况，于是一切就正常了。
总而言之，h趋于0的所谓经典极限只是量子力学向经典力学过渡的一部分，而测量是另一部分。两部分同时起作用，量子力学的奇异性质才会被消除，进而过渡到经典情形。
2009-11-4 19:12 回复
banshourenly
6位粉丝
22楼
问题的关键即是经典的自由粒子不是用平面波来表示，而是一个波包，而这个波包的整体以类似经典的形式轨道运动，即经典波包的概念，一般来说，一个波包随时间演化很快就扩散了，但是简单的要求相位的变化率远远大于振幅的变化率，这样在一个区间内，经典波包演化后还是经典波包。
2009-11-4 22:50 回复
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1楼
一楼百度.
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2009-11-3 11:55 回复
lgxysl
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2楼
也不怕被大家笑.这个问题我一直在不懂装懂.但真的不懂,想想还是弄个明白为好.
问题是这样的:
2009-11-3 11:57 回复
lgxysl
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3楼
关于在x=vt,我是这样想的：
宏观的物体不是由x=vt来决定它出现的位置的吗？例如一个小球，假设初始时它在x=0处，那么经过时间t后，你在哪里可以找到它呢？显然是x=vt处。它在x附近的邻域出现的几率为1。
对于这个问题，我看过的书中大体上是这样说的：
宏观物体计得它的物质波的波长很短，所以就退化为粒子性，波性就没法观测了，所以量子力学就变为经典力学。除此，就没有别的具体论述了。所以，这个问题我一直很费解！
2009-11-3 11:59 回复
血染图腾
4楼
先顶一下。
这条留言是通过手机发表的，我也要用手机发表留言！ 2009-11-3 12:16 回复
血染图腾
5楼
我觉得既然明显呈现粒子性，就不该写成波函数…听听别人怎么说。
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6楼
这问题基本上没有再讨论的必要了，犯了个很低级的错误。
量子力学的一切都是量子化的。自由粒子也是有能级的，不同的能级有不同的波函数，一楼的那个只是自由粒子的众多的波函数中的一个。当能级达到宏观时，早已不是这样的波函数了！
阿门！
2009-11-3 14:00 回复
kof9595995
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7楼
首先，自由粒子也不可以简单的写作简谐波，否则会有两个疑难，不可归一化，以及波速是经典速度的1/2.
真实情况是自由粒子的波函数是波包，给定初始条件后经过傅里叶变换和逆变换后可得到，当粒子质量很大时，逆变换的时间项几乎变为零，这就是说，波包的形状几乎不随时间变化。
还有，楼主所谓的“定点性”，其实就是概率密度集中在了空间很小的一段区域内，对任何粒子，观测后的极短时间内“定点性”依然很高，但是由于波包（位置的话就是delta函数）迅速变平，概率密度也就逐渐分散到全空间了。
而当质量很大时，如我在第二段所说，波包形状几乎不随时间变化，这种“定点性”也就能长时间保持下去，也就是近似可以用x=vt的情形，而经典速度v也就对应了波包的速度（群速度）
2009-11-3 14:12 回复
kof9595995
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8楼
至于如何退化成经典力学，如果从形式论来讲应该是当普朗克常数取0时，量子力学的H函数变成经典力学的H函数，具体不大了解，我也是初学量子。
还有要是从统计意义上讲，把牛顿力学里的所有量换成量子力学里的期望值得话，量子力学能给出和牛顿力学一样的形式（埃伦费斯特定理）
2009-11-3 14:19 回复
lgxysl
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9楼
真实情况是自由粒子的波函数是波包
-----------------------------------------
我想是随着能级的增高而逐渐变成波包状的.
2009-11-3 14:43 回复
cts198859
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10楼
字好多阿
E-u>>kT吧,也就是粒子的数密度要小，温度要高
理由嘛，量子统计下只有Bose和Fermi2种分布
Bose分布n=[exp((E-u)/kT)-1]^-1
Fermi分布n=[exp((E-u)/kT)+1]^-1
满足上述条件后
都变成exp(-(E-u)/kT)，也就是古典统计的Boltzmann分布
2009-11-3 15:20 回复
kof9595995
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11楼
自由粒子没能级，或者说“能级”是连续的，但是不管无论何时自由粒子波函数的形式都是波包的。
10楼说的跟楼主问的不沾边
2009-11-3 15:54 回复
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12楼
LS是民科吧，难怪字那么多
我笑而不语
2009-11-3 16:02 回复
lgxysl
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13楼
本人当然是民科.
2009-11-3 16:22 回复
lgxysl
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14楼
我想是随着能级的增高而逐渐变成波包状的.
--------------------------------------------
这可能是错的.
但波包形成的原因是什么呢?
似乎这问题又不是那么简单了.
涉及到高斯波包和量子脱散等问题.
2009-11-3 16:25 回复
kof9595995
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15楼
只要t=0时的初始波函数是波包，自由演化的话，以后都不可能成为单一频率的简谐波，为什么初始状态必然是波包呢，我觉得原因有两个方面，一是一定要可归一化，而是自由粒子一般都是某种束缚态出来的，束缚态的波函数肯定不能写成全空间的简谐波，但可以写成波包的形式
2009-11-3 17:19 回复
cloudk
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16楼
先说“量子力学在宏观条件下如何近似成为经典力学”
首先，量子力学有三种量子化方案：波动力学，矩阵力学和路径积分。
对于波动力学，非相对论的情况下，描述粒子波动的Schrodinger Eq.在Planck常数h趋于0的时候，可以近似成为经典力学中的哈密顿-雅克比方程，即为S方程的零级近似。相对论的情况，描述粒子波动的Dirac方程可以先在低速下近似成为S方程，然后再近似成哈密顿-雅克比方程，就回到经典力学。
对于矩阵力学的情况，当h趋于0的时候，所有力学量都显得是对易的了，即回到经典力学中力学量都可以同时确定的情况。
对于路径积分，h趋于0的时候，路径的几率分布给出唯一的路径方程，既是粒子经典运动轨迹。
LZ的问题最好是用路径积分，原则上说这种方法可以直接给出粒子的各个运动轨迹的几率分布，在取经典极限即可得到所要的x=vt的那条路径。
最后说一点，自由粒子波函数就是LZ写的那种形式，归一化不是问题，这种波函数可以采用“箱归一化”的办法，归一化成为δ函数，随便找一本介绍量子力学的教材都会说明这一点~
2009-11-3 21:15 回复
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17楼
原来我6楼的想法是比2楼的想法还菜得多的想法.
昨晚解了一下势场为0的量子力学方程。
初步得到如下结论:
(1)势场为0的通解是:
ψ(x,t)=[A₁e^(ipx/h)+A₂e^(-ipx/h)]e^(-iEt/h)
比Ae^[-i/h(Et-px)]要复杂些.
(2)自由粒子的能量与动量确是可以连续取值的.
(3)所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！
(4)一个完全自由的不考虑结构的质点，无论它的能量多大,也只能是满空间分布！
(5)为什么宏上看不到这样的自由粒子呢?个人认为宏观上没有完全自由而又不用考虑结构的粒子.
敬请批评指正.
2009-11-4 08:58 回复
lgxysl
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18楼
所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！
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我又犯胡涂了!理想地说,地球与太阳系的关系与氢原子核与电子的关系差不多.太阳的引力场理想地说是定态的.理想地说量子力学方程对于这个系统仍成立.从这个角度来看,地球在太阳附近某个位置出现的几率与时间无关?这太可笑了!如何理解这个问题?
2009-11-4 11:03 回复
lgxysl
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19楼
既然在宏观下方程仍成立。那么在势场与时间无关时，方程必然是定态的，也就是说，由方程得出的粒子的几率分布必然是个与时间无关的函数。一方面宏观粒子的分布与时间有关，另一方面由方程的定态又得出粒子的分布与时间无关。这种矛盾，问题出现在哪里呢？或者说，有什么桥梁使得与时间分布无关的粒子，当延申到宏观时，又与时间有关了呢？
教材官科这样说:表征宏观粒子运动的量子力学方程都必须是非定态的!(真是不看书不学习不行!看看书才发现这个问题原来......)
但我这民科头脑还是转不过弯来:理想地说.太阳的引力场是定态的呀! 有什么理由认为宏观运动总是非定态的呢?
越来越湖涂了!
2009-11-4 12:03 回复
220.248.62.* 20楼
所有势场与时间无关的量子力学方程都是定态方程，想得到一个与时间有关的几率分布，在任何时候都是徒劳！
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我又犯胡涂了!理想地说,地球与太阳系的关系与氢原子核与电子的关系差不多.太阳的引力场理想地说是定态的.理想地说量子力学方程对于这个系统仍成立.从这个角度来看,地球在太阳附近某个位置出现的几率与时间无关?这太可笑了!如何理解这个问题?
-------------------------------------------
1)量子力学对氢原子的处理结果，空间几率分布与r有关，当h趋于零时分布趋于狄拉克函数，并且其中心r满足一定的方程（由能级决定），这一方程就是退化后的经典轨道方程。
2)粒子在空间的运动情况，需要给出初始条件，如果采用半经典处理，这一初始条件必须是（1）在t=0时局域于某点附近的波包（粒子性），（2）要给出此时动量的平均值，因此平面波是无法作为初始条件的。
3)由于存在外场，一般而言坐标和动量不再是守恒量--不同时刻位置和动量的平均值并不相同，在t1时刻位置和动量的平均值分别为r1和p1，t2时刻为r2和p2,在经典近似下可以认为粒子在t1到t2的间隔中从r1运动到r2，这样结合1)中给出的轨道就给出了经典描述。
2009-11-4 13:13 回复
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21楼
这里涉及量子力学和经典力学对应的问题。一般来说，h很小时微观粒子的相位对应着宏观意义上的作用量，但空间的概率分布依旧是存在的，不会一下子集中到一个有确定位置的波包里面去。
楼主所说的，物质波波长很小时候的情况，可以类比到光波，光波波长短时候近似可以用光线模型描述，但光依旧可以是一大片，而不必被局限到很短很细的一小段光上去。
所以说，电子即便动量很大，也不是一下子就变成了经典的小球，还是有些微妙的不同。这种不同来自于量子力学中最为有趣的概念之一——测量。
我们考虑一个自由粒子，可以看做平面单色波（严格来说都是波包，但是近似未尝不可），这是一开始的状态。现在我们引入测量，我们知道对其位置加以测量后，状态变为位置本征态，这是一个收缩得无限小的空间波包，比如说位置在x0。无限小比较令人费解，不过没事，这个波包立即就会开始展宽，而其中心同时也会以一定的速度移动，波包移动速度将是相速度的两倍（也就是说，和经典力学中的速度一致）。比如速度为v，经过时间dt（很小的时间段），波包中心移动到了x0+vdt，注意到这一项和dt一次方相关，而具体理论计算告诉我们，波包标准差将增加一个和dt^2成正比的项，比vdt这一项小很多。这时如果我们再进行一次测量，粒子基本上会保证出现在x0+vdt附近，也就是说波函数成为处于限定在x0+vdt处的一个波包，其新位置与老位置“平均而言”移动了vdt。
这样，如果我们不断对粒子进行测量，粒子就会以波包的速度移动，并从直观上说，有了轨道的概念，这也就是宏观物体的情况，于是一切就正常了。
总而言之，h趋于0的所谓经典极限只是量子力学向经典力学过渡的一部分，而测量是另一部分。两部分同时起作用，量子力学的奇异性质才会被消除，进而过渡到经典情形。
2009-11-4 19:12 回复
banshourenly
6位粉丝
22楼
问题的关键即是经典的自由粒子不是用平面波来表示，而是一个波包，而这个波包的整体以类似经典的形式轨道运动，即经典波包的概念，一般来说，一个波包随时间演化很快就扩散了，但是简单的要求相位的变化率远远大于振幅的变化率，这样在一个区间内，经典波包演化后还是经典波包。
2009-11-4 22:50 回复
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