我国证券市场波动的Hurst 指数X
高红兵 潘瑾 陈宏民
(上海交通大学管理学院,上海,200030)
摘要 证券市场的波动不服从布朗运动,而服从分数布朗运动。Hurst 指数是描述分数布朗运动的重要指标。利用R/ S 分析
方法计算出我国证券市场收益率序列的Hurst 指数为0. 68。从而说明我国证券市场的波动具有明显的持久性。
关键词: Hurst 指数,分数布朗运动,R/ S分析,证券市场,有效市场假设
中图法分类号: F832. 5
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。
正是在这一假设下,才有了著名的期权定价理论。但
是,人们发现证券市场的运行并不遵循布朗运动,而
是服从更为一般的分数布朗运动[1 ] 。Hurst 指数是描
述分数布朗运动的重要指标。布朗运动的Hurst 指数
为0. 5 ,分数布朗运动的Hurst 指数不等于0. 5 。当
Hurst 指数大于0. 5 时,系统表现出持久性,对证券市
场来说,即若上一阶段指数是上升的,则下一阶段指
数上升的可能性较大,而且随着指数的增加,这种持
久性也逐渐增强。当Hurst 指数小于0. 5 时,系统具有
反持久性,即上一阶段指数是上升的,则下一阶段指
数极可能下降。可见,Hurst 指数是研究证券市场波动
的重要指标。
1 分数布朗运动与Hurst 指数
Hurst 是一个水文工作者,他长期研究尼罗河流量
的变化,以决定水库的排水量。在多年的水文数据
中,他发现数据不服从布朗运动及正态分布的特性。
而且如果有一年水量较大,次年的水量也往往较大。
在布朗运动中,数据的方差与观察时间间隔Δt 成正
比。Hurst 却发现河流数据的方差与(Δt) 2 H成正比[2 ] ,
其中, H 后来称为Hurst 指数。对特殊情形H = 0. 5
时,就是布朗运动,但一般情形H 并不等于0. 5。此
后,Hurst 发现一大类自然现象随时间演化的行为都不
能用布朗运动刻划,即2 H 都不是整数,因而称为分数
布朗运动。
布朗运动是一个特殊的随机过程。考虑在x 轴
上随机行走的微粒,每隔τ秒跳跃的步长为+ ξ或
- ξ,设步长服从正态分布
p (ξ,τ) =
1
2πτ
exp -
ξ2
2τ
(1)
则t = nτ时间后,微粒的位移为x ( nτ) = Σ
n
i =1
ξi
。当
时间步长趋于无穷小时,离散变量x 就成为连续的随
机过程———布朗运动,用B ( t ) 表示,也叫维纳过程
(Winer) 。维纳过程是独立、平稳增量过程,且B ( t) 的
增量服从Gauss 过程。
对式(1) 进行标度变换,ξ ^ = λ0. 5ξ,τ ^ = λτ ,得:
p (ξ ^ ,τ ^ ) = λ- 0. 5 p (ξ,τ) (2)
表明当时间标度增大λ倍,长度标度增大λ0. 5时,布朗
随机过程的概率密度函数增大λ- 0. 5 。因此,布朗运动
的概率密度函数具有标度不变性。
对布朗运动进行非整数微积分可得分数布朗运
动。Mandelbrot 给出了分数布朗运动BH ( t ) 的表达
式为:
BH ( t) =
1
Γ( H + 0. 5)∫x
- ∞
K( t - t′) dB ( t′) (3)
式中积分核
K( t - t′) = ( t - t′) H- 0. 5 0 ≤ t′ ≤ t ( t -
t′) H- 0. 5- ( - t′) H- 0. 5 t′< 0 (4)
式(3) 其实是对布朗运动求H 0. 5 阶积分。因此,对
X收稿日期: 2000 05 03
第27 卷第4 期
2001 年8 月
东华大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF DONG HUA UNIVERSITY
Vol . 27 , No. 4
Aug. 2001
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
于布朗运动成立的规则,质点的位移与时间的平方根
成正比,相应与分数布朗运动就变成位移与时间的H
次方成正比。
另外,式(3) 积分一般是发散的,但增量BH ( t +
Δt) - BH ( t) 是有限的,是平稳、相关的随机过程。而
且,分数布朗运动具有长期相关性。因为H ≠0. 5 时,
观察值之间不独立。每个观察值对于发生在其前面
的时间有一定的记忆。这种记忆能够表示长期记忆,
也就是分数布朗运动的长程相关性,特别是它的未来
增量与过去增量BH ( - t ) 是相关的:给定从- t 到0
的过去增量BH (0) - BH ( - t ) ,就平均而言在过去增
量的分布中含有未来增量BH ( t) - BH (0) 的概率是:
E BH (0) - BH ( - t) BH ( t) - BH (0) (5)
如果令BH (0) = 0 ,则未来增量BH ( t ) 与过去增量
BH ( - t) 间的相关函数可以写为:
C( t) =
E - BH ( - t) BH ( t)
E BH ( t) 2 = 22 H- 1 - 1 (6)
其中H 为Hurst 指数, C 为相关系数。
由式(6) 可得:
(1) 当H = 0. 5 时,过去和未来增量间的相关系
数为0 ,表明现在不影响未来,这说明增量过程是一个
独立的随机过程,布朗运动是其特殊情况。
(2) 当H ≠0. 5 时,为分数布朗运动。此时,增量
之间不再相互独立。但是这个过程与马尔科夫过程
所具有的短期记忆行为不同,分数布朗运动的记忆作
用是长期的。(而且长期记忆只与Hurst 指数的大小
有关,没有标度性,因此它具有分形的特征) H 值指示
了这种长期记忆作用的特性。
①0. 5 < H < 1 ,有持久性效应。表明过去一直增
长意味着未来这种趋势将继续下去,而且对任意大的
时间t 都是如此。反之,过去的减少趋势就平均而言,
意味着未来的连续减少。H 越接近1 ,趋势越明显; H
越接近0. 5 ,逐渐趋于随机性。这种长期记忆作用使
得随机过程呈现一定的趋势,增量间有一定的正相
关性。
②0 < H < 0. 5 ,增量间是负相关的,称为反持久
性效应(antipersistent) 。如果过去是增长的,则下一时
刻下降的可能性更大;反之,过去是下降的,则下一时
刻上升的可能性更大。反持久性效应的强度取决于
H 接近0 的程度。H 越接近0 ,则C 越接近- 0. 5 ,负
相关性越强。因为这种过程有更多的频繁反转,所以
比布朗运动波动更加剧烈,这意味着其分形维数大于
布朗运动的维数。
2 我国证券市场收益率序列的
Hurst 指数
Hurst 指数可由R/ S 统计法确定。这种方法是
Hurst 长期研究尼罗河的流量变化后提出的。为了合理
控制水库的泄水量使其保持不枯不溢的理想状态,Hurst
测算了水库蓄水量随时间在平均水平附近波动的范围。
Hurst 用这个变动范围除以观察值的标准差得到一个无
量纲的量,使不同的序列具有可比性。这种分析称为重
标极差法(rescaled range) ,也称R/ S 法[3] 。
Rn 是一个时间序列中n 个数据偏离其均值的累
加值的极差,称为n 个数据的极差,表示时间序列最
大的变化范围; S n 是时间序列的标准差,表示偏离均
值的程度,是分散程度的测度。Rn/ Sn 表示极差的大
小重新用Sn 来衡量,这就是重标极差法的名字的由
来。R/ S 统计分析可用来研究一大类问题,对于方差
发散或有长期记忆作用的随机过程都适用。下面我
们具体给出R/ S 分析的过程。
考虑一个收益率序列y1 , y2 , 8943;, yn 。yi 偏离均值
的累积和为:
Xt , n = Σ
t
i =1
( yi - mn) (7)
其中, Xt , n是n 期的累积偏差, mn 是n 期的平均值。
n 个数据的极差就是式(7) 最大和最小值之差:
Rn = max
1 ≤t ≤n
{ Xt , n} - min
1 ≤t ≤n
{ Xt , n} (8)
其中, Rn 是X 的极差。
为了比较不同类型的时间序列,用极差除以标准
差(即重标极差) 得到:
Rn/ Sn = max
1 ≤t ≤n
Σ t
i = 1
( yi - mn) - min
1 ≤t ≤n
Σ t
i = 1
( yi - mn) / Sn (9)
其中, S n =
1
n Σ
n
i =1
( yi - mn) 2
12
重标极差应该随时间而增加。Hurst 建立了以下关系:
R/ S = a
3
nH (10)
其中, a 为常数。
如果序列是一个随机序列, H 应该等于0. 5 ,即累
积离差的极差应该随时间的平方根增加。一般地, H
4 期高红兵等: 我国证券市场波动的Hurst 指数 23
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不等于0. 5 ,可这样求出:对式(10) 两边先取对数得:
ln ( R/ S) = Hln n + ln a (11)
因此可画出ln ( R/ S) 和ln n 的双对数图,用直线拟合。
直线的斜率就给出了Hurst 指数的一个估计。
根据上述步骤,我们编写了C 语言程序RS. c 求
上证综指日收益率序列{ X ( n) , n = 1 , 2 , 8943;, M} 的
Hurst 指数,时间跨度为从上海证券市场建立到1999
年12 月31 日。除上证综指外,目前上海证券交易
所还发布A 股指数、B 股指数、上证30 指数以及各
分类指数。虽然上证综指在计算时,均以各上市公
司的总股本乘以市价作为公司的市价总值,然后再
用市价总值除以所有上市公司的市值和作为权重,
最后加权平均。因此从理论上看,上证综指的变化
与市场的变化具有偏差,不能反映市场价格的实际
走势。但是,上证综指由于发布的时间比较早,已经
成为普遍接受的上海证券交易所指数,这一指数的
变化对投资者的投资决策起重要的参考作用。而
且,上证综指是以全部上市股票作为计算口径的,具
有全面性, 因此它能够代表我国证券市场的运行
动向。
程序RS. c 首先从数据文件中输入数据,存于一
个数组rec[ ]中,然后将数组中的数据分成小组。对
每一个小组求出其均值e2average 和方差s2standard。
再求出其重标极差,将每个小组的重标极差求平均,
此平均值就是相对于每种分组情况下的重标极差,将
它的对数值和每种分组情况下的组内元素个数输出
到一文本文件中。
我们用上证综指日对数收益率序列(每日收盘指
数与前一日收盘指数商的自然对数) 通过上述程序进
行计算。图1 给出了日收益率序列的求Hurst 指数的
双对数图。
在横坐标取5. 6 之前,数据点几乎在一条直线上,
利用统计学软件SPSS 对这段数据进行线性回归,回归
方程为:
y = 0. 677 x - 0. 433 R - square = 0. 997
因此,对于比较短的时间跨度里,对数收益率序列的
Hurst 指数为0. 68 ,高于0. 5 ,说明上证综指的波动不
是随机游走的,具有持久性。也就是说,当指数上一
个时刻是上升的,则下个时刻上升的可能性比较大。
当指数上一个时刻是下降的,则下个时刻下降的可能
性比较大。而从相对长的时间跨度来看,日收益率序
列的Hurst 指数明显下降。此时,持久性已随市场长
时间的演化而淡化。
再考察V 统计量,它的定义为:
V =
R/ S
N
(12)
对布朗运动,由于重标极差是与时间成正比,因
此V 统计量为常数。对一般的分数布朗运动,可以
从V 统计量图分析系统运行的循环。图2 ,在横坐标
为5. 6 附近明显出现拐折现象,而此数值是取了对数
得到的。转换成天数就是exp (5. 6) ,即大约270 d。再
对照图1 ,在270 d 的循环中,上证综指波动具有很强
的持久性。一旦超出这个大循环,持久性逐渐减弱,
系统的特征明显改变。因此,上证综指具有一个270 d
的循环,也就是一年多的交易天数。
图1 日收益率Hurst 双对数图
图2 日收益率序列的V 统计量
3 结 论
Hurst 指数能够很好地刻画证券市场的波动特征。
大的Hurst 指数表明市场波动的持久性,不仅说明布
朗运动假设不成立,同时也与有效市场假设认为市场
2 4 东华大学学报(自然科学版) 第27 卷
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
波动是独立的论断是不相容的[4 ] 。有效市场假设和
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心,因此,现
代资本市场理论不能直接运用于我国市场,需要对其
进行改进。
我们还利用了R/ S 分析方法找出了我国证券市
场的波动(收益率) 循环。这能为投资者的投资决策
提供重要的参考意见。投资者懂得了我国证券市场
的循环特点,以此作为指导,就能够踏准市场的节拍,
在操作上采取相应的策略。由于上证指数波动的
Hurst 指数在270 d 具有明显的变化,中长线投资的时
间跨度应至少在1 a 多以上,这样才能避免短期市场
剧烈振动造成的巨大风险。短期投资者也要对大盘
的循环特征有充分的认识,不应盲目追涨杀跌。
此外,对道琼斯综合指数的日波动序列,时间跨
度为1998 年1 月1 日至2000 年5 月31 日,做R/ S 分
析,得出其Hurst 指数为0. 59 ,说明成熟的证券市场也
不服从布朗运动假设。因此,随着我国证券市场的不
断发展,市场逐渐趋于成熟,Hurst 指数逐步减小,但还
是要显著高于0. 5。
参 考 文 献
1 Peters ,E. Fractal structure in the capital markets. Financial analyst J ,1989
(7) :434～453
2 彼得斯. 资本市场的混沌与秩序. 经济科学出版社,1999. 62～64
3 Lo ,A W.Long2term memory in stock market prices. Econometrics ,1991 ,59
(5) :187～203
4 范龙振,张子刚. 深圳股票市场的弱有效性. 管理工程学报,1998
(3) :76～82
Hurst Exponent of Our Securitie s Market s
Gao Hongbing , Pan Jin , Chen Hongmin
(Management School of Shanghai Jiaotong University ,Shanghai , 200030)
Abstract Securities market don’t obey brownian motion ,but fractal brownian motion. Hurst exponent plays an important role
in brownian motion. We use R/ S analysis to calculate Hurst exponent of our market ,which is 0. 68. So it is concluded that the
fluctuation of our market have obvious persistence.
Keywords :Hurst exponent ,fractal brownian motion ,R/ S analysis ,securities markets ,efficient markets hypothesis
高红兵 潘瑾 陈宏民
(上海交通大学管理学院,上海,200030)
摘要 证券市场的波动不服从布朗运动,而服从分数布朗运动。Hurst 指数是描述分数布朗运动的重要指标。利用R/ S 分析
方法计算出我国证券市场收益率序列的Hurst 指数为0. 68。从而说明我国证券市场的波动具有明显的持久性。
关键词: Hurst 指数,分数布朗运动,R/ S分析,证券市场,有效市场假设
中图法分类号: F832. 5
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。
正是在这一假设下,才有了著名的期权定价理论。但
是,人们发现证券市场的运行并不遵循布朗运动,而
是服从更为一般的分数布朗运动[1 ] 。Hurst 指数是描
述分数布朗运动的重要指标。布朗运动的Hurst 指数
为0. 5 ,分数布朗运动的Hurst 指数不等于0. 5 。当
Hurst 指数大于0. 5 时,系统表现出持久性,对证券市
场来说,即若上一阶段指数是上升的,则下一阶段指
数上升的可能性较大,而且随着指数的增加,这种持
久性也逐渐增强。当Hurst 指数小于0. 5 时,系统具有
反持久性,即上一阶段指数是上升的,则下一阶段指
数极可能下降。可见,Hurst 指数是研究证券市场波动
的重要指标。
1 分数布朗运动与Hurst 指数
Hurst 是一个水文工作者,他长期研究尼罗河流量
的变化,以决定水库的排水量。在多年的水文数据
中,他发现数据不服从布朗运动及正态分布的特性。
而且如果有一年水量较大,次年的水量也往往较大。
在布朗运动中,数据的方差与观察时间间隔Δt 成正
比。Hurst 却发现河流数据的方差与(Δt) 2 H成正比[2 ] ,
其中, H 后来称为Hurst 指数。对特殊情形H = 0. 5
时,就是布朗运动,但一般情形H 并不等于0. 5。此
后,Hurst 发现一大类自然现象随时间演化的行为都不
能用布朗运动刻划,即2 H 都不是整数,因而称为分数
布朗运动。
布朗运动是一个特殊的随机过程。考虑在x 轴
上随机行走的微粒,每隔τ秒跳跃的步长为+ ξ或
- ξ,设步长服从正态分布
p (ξ,τ) =
1
2πτ
exp -
ξ2
2τ
(1)
则t = nτ时间后,微粒的位移为x ( nτ) = Σ
n
i =1
ξi
。当
时间步长趋于无穷小时,离散变量x 就成为连续的随
机过程———布朗运动,用B ( t ) 表示,也叫维纳过程
(Winer) 。维纳过程是独立、平稳增量过程,且B ( t) 的
增量服从Gauss 过程。
对式(1) 进行标度变换,ξ ^ = λ0. 5ξ,τ ^ = λτ ,得:
p (ξ ^ ,τ ^ ) = λ- 0. 5 p (ξ,τ) (2)
表明当时间标度增大λ倍,长度标度增大λ0. 5时,布朗
随机过程的概率密度函数增大λ- 0. 5 。因此,布朗运动
的概率密度函数具有标度不变性。
对布朗运动进行非整数微积分可得分数布朗运
动。Mandelbrot 给出了分数布朗运动BH ( t ) 的表达
式为:
BH ( t) =
1
Γ( H + 0. 5)∫x
- ∞
K( t - t′) dB ( t′) (3)
式中积分核
K( t - t′) = ( t - t′) H- 0. 5 0 ≤ t′ ≤ t ( t -
t′) H- 0. 5- ( - t′) H- 0. 5 t′< 0 (4)
式(3) 其实是对布朗运动求H 0. 5 阶积分。因此,对
X收稿日期: 2000 05 03
第27 卷第4 期
2001 年8 月
东华大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF DONG HUA UNIVERSITY
Vol . 27 , No. 4
Aug. 2001
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
于布朗运动成立的规则,质点的位移与时间的平方根
成正比,相应与分数布朗运动就变成位移与时间的H
次方成正比。
另外,式(3) 积分一般是发散的,但增量BH ( t +
Δt) - BH ( t) 是有限的,是平稳、相关的随机过程。而
且,分数布朗运动具有长期相关性。因为H ≠0. 5 时,
观察值之间不独立。每个观察值对于发生在其前面
的时间有一定的记忆。这种记忆能够表示长期记忆,
也就是分数布朗运动的长程相关性,特别是它的未来
增量与过去增量BH ( - t ) 是相关的:给定从- t 到0
的过去增量BH (0) - BH ( - t ) ,就平均而言在过去增
量的分布中含有未来增量BH ( t) - BH (0) 的概率是:
E BH (0) - BH ( - t) BH ( t) - BH (0) (5)
如果令BH (0) = 0 ,则未来增量BH ( t ) 与过去增量
BH ( - t) 间的相关函数可以写为:
C( t) =
E - BH ( - t) BH ( t)
E BH ( t) 2 = 22 H- 1 - 1 (6)
其中H 为Hurst 指数, C 为相关系数。
由式(6) 可得:
(1) 当H = 0. 5 时,过去和未来增量间的相关系
数为0 ,表明现在不影响未来,这说明增量过程是一个
独立的随机过程,布朗运动是其特殊情况。
(2) 当H ≠0. 5 时,为分数布朗运动。此时,增量
之间不再相互独立。但是这个过程与马尔科夫过程
所具有的短期记忆行为不同,分数布朗运动的记忆作
用是长期的。(而且长期记忆只与Hurst 指数的大小
有关,没有标度性,因此它具有分形的特征) H 值指示
了这种长期记忆作用的特性。
①0. 5 < H < 1 ,有持久性效应。表明过去一直增
长意味着未来这种趋势将继续下去,而且对任意大的
时间t 都是如此。反之,过去的减少趋势就平均而言,
意味着未来的连续减少。H 越接近1 ,趋势越明显; H
越接近0. 5 ,逐渐趋于随机性。这种长期记忆作用使
得随机过程呈现一定的趋势,增量间有一定的正相
关性。
②0 < H < 0. 5 ,增量间是负相关的,称为反持久
性效应(antipersistent) 。如果过去是增长的,则下一时
刻下降的可能性更大;反之,过去是下降的,则下一时
刻上升的可能性更大。反持久性效应的强度取决于
H 接近0 的程度。H 越接近0 ,则C 越接近- 0. 5 ,负
相关性越强。因为这种过程有更多的频繁反转,所以
比布朗运动波动更加剧烈,这意味着其分形维数大于
布朗运动的维数。
2 我国证券市场收益率序列的
Hurst 指数
Hurst 指数可由R/ S 统计法确定。这种方法是
Hurst 长期研究尼罗河的流量变化后提出的。为了合理
控制水库的泄水量使其保持不枯不溢的理想状态,Hurst
测算了水库蓄水量随时间在平均水平附近波动的范围。
Hurst 用这个变动范围除以观察值的标准差得到一个无
量纲的量,使不同的序列具有可比性。这种分析称为重
标极差法(rescaled range) ,也称R/ S 法[3] 。
Rn 是一个时间序列中n 个数据偏离其均值的累
加值的极差,称为n 个数据的极差,表示时间序列最
大的变化范围; S n 是时间序列的标准差,表示偏离均
值的程度,是分散程度的测度。Rn/ Sn 表示极差的大
小重新用Sn 来衡量,这就是重标极差法的名字的由
来。R/ S 统计分析可用来研究一大类问题,对于方差
发散或有长期记忆作用的随机过程都适用。下面我
们具体给出R/ S 分析的过程。
考虑一个收益率序列y1 , y2 , 8943;, yn 。yi 偏离均值
的累积和为:
Xt , n = Σ
t
i =1
( yi - mn) (7)
其中, Xt , n是n 期的累积偏差, mn 是n 期的平均值。
n 个数据的极差就是式(7) 最大和最小值之差:
Rn = max
1 ≤t ≤n
{ Xt , n} - min
1 ≤t ≤n
{ Xt , n} (8)
其中, Rn 是X 的极差。
为了比较不同类型的时间序列,用极差除以标准
差(即重标极差) 得到:
Rn/ Sn = max
1 ≤t ≤n
Σ t
i = 1
( yi - mn) - min
1 ≤t ≤n
Σ t
i = 1
( yi - mn) / Sn (9)
其中, S n =
1
n Σ
n
i =1
( yi - mn) 2
12
重标极差应该随时间而增加。Hurst 建立了以下关系:
R/ S = a
3
nH (10)
其中, a 为常数。
如果序列是一个随机序列, H 应该等于0. 5 ,即累
积离差的极差应该随时间的平方根增加。一般地, H
4 期高红兵等: 我国证券市场波动的Hurst 指数 23
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
不等于0. 5 ,可这样求出:对式(10) 两边先取对数得:
ln ( R/ S) = Hln n + ln a (11)
因此可画出ln ( R/ S) 和ln n 的双对数图,用直线拟合。
直线的斜率就给出了Hurst 指数的一个估计。
根据上述步骤,我们编写了C 语言程序RS. c 求
上证综指日收益率序列{ X ( n) , n = 1 , 2 , 8943;, M} 的
Hurst 指数,时间跨度为从上海证券市场建立到1999
年12 月31 日。除上证综指外,目前上海证券交易
所还发布A 股指数、B 股指数、上证30 指数以及各
分类指数。虽然上证综指在计算时,均以各上市公
司的总股本乘以市价作为公司的市价总值,然后再
用市价总值除以所有上市公司的市值和作为权重,
最后加权平均。因此从理论上看,上证综指的变化
与市场的变化具有偏差,不能反映市场价格的实际
走势。但是,上证综指由于发布的时间比较早,已经
成为普遍接受的上海证券交易所指数,这一指数的
变化对投资者的投资决策起重要的参考作用。而
且,上证综指是以全部上市股票作为计算口径的,具
有全面性, 因此它能够代表我国证券市场的运行
动向。
程序RS. c 首先从数据文件中输入数据,存于一
个数组rec[ ]中,然后将数组中的数据分成小组。对
每一个小组求出其均值e2average 和方差s2standard。
再求出其重标极差,将每个小组的重标极差求平均,
此平均值就是相对于每种分组情况下的重标极差,将
它的对数值和每种分组情况下的组内元素个数输出
到一文本文件中。
我们用上证综指日对数收益率序列(每日收盘指
数与前一日收盘指数商的自然对数) 通过上述程序进
行计算。图1 给出了日收益率序列的求Hurst 指数的
双对数图。
在横坐标取5. 6 之前,数据点几乎在一条直线上,
利用统计学软件SPSS 对这段数据进行线性回归,回归
方程为:
y = 0. 677 x - 0. 433 R - square = 0. 997
因此,对于比较短的时间跨度里,对数收益率序列的
Hurst 指数为0. 68 ,高于0. 5 ,说明上证综指的波动不
是随机游走的,具有持久性。也就是说,当指数上一
个时刻是上升的,则下个时刻上升的可能性比较大。
当指数上一个时刻是下降的,则下个时刻下降的可能
性比较大。而从相对长的时间跨度来看,日收益率序
列的Hurst 指数明显下降。此时,持久性已随市场长
时间的演化而淡化。
再考察V 统计量,它的定义为:
V =
R/ S
N
(12)
对布朗运动,由于重标极差是与时间成正比,因
此V 统计量为常数。对一般的分数布朗运动,可以
从V 统计量图分析系统运行的循环。图2 ,在横坐标
为5. 6 附近明显出现拐折现象,而此数值是取了对数
得到的。转换成天数就是exp (5. 6) ,即大约270 d。再
对照图1 ,在270 d 的循环中,上证综指波动具有很强
的持久性。一旦超出这个大循环,持久性逐渐减弱,
系统的特征明显改变。因此,上证综指具有一个270 d
的循环,也就是一年多的交易天数。
图1 日收益率Hurst 双对数图
图2 日收益率序列的V 统计量
3 结 论
Hurst 指数能够很好地刻画证券市场的波动特征。
大的Hurst 指数表明市场波动的持久性,不仅说明布
朗运动假设不成立,同时也与有效市场假设认为市场
2 4 东华大学学报(自然科学版) 第27 卷
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波动是独立的论断是不相容的[4 ] 。有效市场假设和
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心,因此,现
代资本市场理论不能直接运用于我国市场,需要对其
进行改进。
我们还利用了R/ S 分析方法找出了我国证券市
场的波动(收益率) 循环。这能为投资者的投资决策
提供重要的参考意见。投资者懂得了我国证券市场
的循环特点,以此作为指导,就能够踏准市场的节拍,
在操作上采取相应的策略。由于上证指数波动的
Hurst 指数在270 d 具有明显的变化,中长线投资的时
间跨度应至少在1 a 多以上,这样才能避免短期市场
剧烈振动造成的巨大风险。短期投资者也要对大盘
的循环特征有充分的认识,不应盲目追涨杀跌。
此外,对道琼斯综合指数的日波动序列,时间跨
度为1998 年1 月1 日至2000 年5 月31 日,做R/ S 分
析,得出其Hurst 指数为0. 59 ,说明成熟的证券市场也
不服从布朗运动假设。因此,随着我国证券市场的不
断发展,市场逐渐趋于成熟,Hurst 指数逐步减小,但还
是要显著高于0. 5。
参 考 文 献
1 Peters ,E. Fractal structure in the capital markets. Financial analyst J ,1989
(7) :434～453
2 彼得斯. 资本市场的混沌与秩序. 经济科学出版社,1999. 62～64
3 Lo ,A W.Long2term memory in stock market prices. Econometrics ,1991 ,59
(5) :187～203
4 范龙振,张子刚. 深圳股票市场的弱有效性. 管理工程学报,1998
(3) :76～82
Hurst Exponent of Our Securitie s Market s
Gao Hongbing , Pan Jin , Chen Hongmin
(Management School of Shanghai Jiaotong University ,Shanghai , 200030)
Abstract Securities market don’t obey brownian motion ,but fractal brownian motion. Hurst exponent plays an important role
in brownian motion. We use R/ S analysis to calculate Hurst exponent of our market ,which is 0. 68. So it is concluded that the
fluctuation of our market have obvious persistence.
Keywords :Hurst exponent ,fractal brownian motion ,R/ S analysis ,securities markets ,efficient markets hypothesis
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