不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分

1912年，对拓扑学（几何学的一个分支）的发展作过很大贡献的荷兰数学家布劳维证明了一个定理：某些集合在某些连续变换下，至少有一个点不动。这个定理现在称为“布劳维不动点定理”，是使拓扑学得到广泛应用的重要定理之一。

如：用木棍搅动一盆水，使其形成一个旋涡。旋涡中的水绕旋涡中心旋转。离旋涡中心越近，水旋转的越慢。旋涡中心的水则保持静止不动。由于水的流动只能是从一点连续地流到另一点，因此旋转的水就是水的一个连续变换。此时，旋涡中心保持静止不动的水就是这个连续变换的一个不动点

又如：取一浅盒与一张纸，使纸恰好能盖住盒子底部。此时纸上每个点与它下面盒子底部上的点是一一对应的。

现在把纸拿起来，揉成一团，扔到盒子里。不动点定理说：不管纸团是怎么揉的，也不管纸团扔到盒子底部什么位置，纸团上至少有一点，它恰好处在盒子底部原来与它对应的点的正上方。即此点经过拓扑变换后仍然变为自己，这个点就是一个“不动点”。

利用不动点定理，我们可以证明：在任一时刻，地球上至少有一点没有风；以及，如果一个球面完全被毛发覆盖，则无论如何也不能把毛发梳平（如果把球改成圆环则可）等有趣的结论。