用坐标计算向量的内积：a·b(点积）=x·x'+y·y'

笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates) 就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。

　　相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。

　　仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广

　　相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。

　　笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。举个例子：某个点的笛卡尔坐标是493 ,454, 967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个点的直角坐标是(16, 13, 22)，坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数）。

　　笛卡尔和笛卡尔坐标系的产生

　　据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。

　　直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何， 他大胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的。举一个例子来说，我们可以把图看作是动点到定点距离相等的点的轨迹，如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素，把数看作是组成方程的解，于是代数和几何就这样合为一家人了。

　　空间中的仿射坐标系

　　设由点出发不共线面的直线，分别为上的三个非零向量，为空间中任一向量

　　称为，有序实数组为的仿射坐标

　　若仿射坐标系取做直角坐标系

　　对空间任意两个向量，，



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矢量又称向量，指线性空间中的元素，需要大小和方向才能完整表示。它的名称起源于物理学既有大小又有方向的物理量，通常绘画成箭号，因以为名。位移、速度、加速度、力、力矩、动量、冲量等，都是矢量。

给定在三维空间中的任何一支向量，我们可以用不共面的任意三个向量表示；给定在二维空间中的任何一支向量，我们用不共线的任意两个向量表示。相互垂直的三个单位向量成为一组基底,这三个向量分别用,,表示。

我们知道，位移是既有大小又有方向的量．事实上，现实世界中，这种量是很多的，如力、速度、加速度等．我们把既有大小又有方向的量叫做向量．亦称矢量（或向量）.


　　在线性代数中的向量是指,n个实数组成的有序数组称为n维向量.一般用α,β,γ等希腊字母表示.有时也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示.


　　α=(a1,a2,…,an)称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量.


　　("a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推)

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坐标表示法
　　　平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成 ，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

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反义词
　　数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中常称为标量。例如距离.

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向量的来源
　　向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．


　　课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．


　　从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．


　　向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．


　　但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．


　　三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具.

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向量的运用
　　在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。


　　向量的表示

向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．


　　向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．


　　向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|。长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．

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平行向量与相等向量
　　方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，记作a∥b∥c．0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行．


　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．零向量与零向量相等．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．

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向量的运算
　　1、向量的加法：


　　AB+BC=AC


　　设a=（x,y） b=(x',y')


　　则a+b=(x+x',y+y')


　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。


　　向量加法的性质：


　　交换律：


　　a+b=b+a


　　结合律：


　　(a+b)+c=a+(b+c)


　　a+0=0+a=a


　　2、向量的减法


　　AB-AC=CB


　　a-b=(x-x',y-y')


　　若a//b


　　则a=eb


　　则xy`-x`y=0·


　　若a垂直b


　　则a·b=0


　　则xx`+yy`=0


　　3、向量的乘法


　　设a=（x,y） b=(x',y')


　　用坐标计算向量的内积：a·b(点积）=x·x'+y·y'


　　a·b=|a|·|b|*cosθ


　　a·b=b·a


　　(a+b)·c=a·c+b·c


　　a·a=|a|的平方


　　向量的夹角记为∈[0,π]


　　Ax+By+C=0的方向向量a=(-B,A)


　　(a·b)·c≠a·(b·c)


　　a·b=a·c不可推出b=c


　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。


　　若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)


　　x=(x1+λx2)/(1+λ)


　　则有


　　y=(y1+λy2)/(1+λ)


　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式


　　4、数乘向量


　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣,当λ＞0时，与a同方向；当λ＜0时，与a反方向。


　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。

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向量分类
　　↗①共线 ↗①共线


　　Ⅰ平面向量 Ⅱ空间向量 →②共面


　　↘②不共线 ↘③不共面

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关于0向量的应用知识整理
　　0模为1


　　0等于0


　　0平行于任何向量


　　0垂直于任何向量


　　空间向量


　　空间向量在解决立体几何问题时应用广泛


　　高中数学中通常分为：线线关系，线面关系，面面关系


　　点到直线距离，点到平面距离，线线距离，线面距离，面面距离


　　证明垂直平行以及角度关系问题时，用到由平面向量在空间中所推导出的向量法则


　　1）可进行坐标表示，在进行相关运算，称为坐标法


　　2）用空间向量表示后，仅进行向量间的运算，称为向量法


　　3）当然也可以用立体几何的方法


　　灵活掌握，多种角度思考，有助于快速解答问题


　　求有关距离问题时


　　注意一个原则即可，将各种距离，均转化为点到平面距离即可


　　再根据具体情况如：线线距离求公垂线，涉及面的问题求法向量即可求解


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向量积
　　向量积

　　也被称为矢量积、叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

　　定义

　　两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。叉积可以被定义为：

　　在这里θ表示和之间的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而n是一个与和均垂直的单位矢量。

　　这个定义有一个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于和：若满足垂直的条件，那么也满足。

　　“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系 (i, j, k) 的左右手定则。若 (i, j, k) 满足右手定则，则 (a, b, a × b) 也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

　　一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，则将右手的拇指指向第一个向量的方向，右手的食指指向第二个向量的方向，那么结果向量的方向就是右手中指的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

　　下图表示一个右手坐标系中的叉积：

　　性质

　　几何意义

　　叉积的长度 |a × b| 可以解释成以 a 和 b 为边的平行四边形的面积。进一步就是说，三重积可以得到以 a，b，c 为边的平行六面体的体积。

　　代数性质

　　反交换律：

　　a × b = -b × a

　　加法的分配律：

　　a × (b + c) = a × b + a × c

　　与标量乘法兼容：

　　(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)

　　不满足结合律，但满足 雅可比恒等式：

　　a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

　　分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个李代数。

　　两个非零向量 a 和 b 平行，当且仅当 a × b = 0

　　拉格朗日公式

　　这是一个著名的公式，而且非常有用：

　　a × (b × c) = b(a · c) ? c(a · b),

　　可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

　　这里给出一个和梯度相关的一个情形：

　　这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。

　　另一个有用的拉格朗日恒等式是：

　　这是一个在四元数代数中范数乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

　　矩阵形式

　　给定直角坐标系的单位向量 i，j，k 满足下列等式：

　　i × j = k j × k = i k × i = j

　　通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

　　a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3]

　　b = b1i + b2j + b3k =

　　则

　　a × b = [a2b3 ? a3b2, a3b1 ? a1b3, a1b2 ? a2b1]

　　上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

　　叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 i，j，k 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元数 a1i + a2j + a3k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

　　高维情形

　　七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

　　七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

　　双线性性：

　　x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

　　(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

　　反交换律：

　　x × y + y × x = 0

　　同时与 x 和 y 垂直：

　　x · (x × y) = y · (x × y) = 0

　　拉格朗日恒等式

　　|x × y|2 = |x|2 |y|2 ? (x · y)2.

　　不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：

　　x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

　　应用

　　在物理学光学和计算机图形学中,叉积被用于求物体光照相关问题。

　　求解光照的核心在于求出物体表面法线，而叉积运算保证了只要已知物体表面的两个非平行矢量(或者不在同一直线的三个点),就可依靠叉积求得法线。

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右手定则

　　右手定则

　　right-hand rule

　　对于一个矢量的叉乘，我们定义

　　A×B=C

　　注意A和B的顺序不能搞反

　　让矢量A的方向沿手背，矢量B沿四手指的指向，那么矢量C的方向就是翘起大拇指的方向（垂直于A,B形成的平面）

　　这就是右手定则，也叫安培定则。

　　右手平展，使大拇指与其余四指垂直，并且都跟手掌在一个平面内。把右手放入磁场中，若磁力线垂直进入手心（当磁感线为直线时，相当于手心面向N极），大拇指指向导线运动方向，则四指所指方向为导线中感应电流的方向。

　　电磁学中，右手定则判断的主要是与力无关的方向。

　　如果是和力有关的则全依靠左手定则。

　　即，关于力的用左手，其他的用右手定则。

　　电流元I1dι 对相距γ12的另一电流元I2dι 的作用力df12为：

　　μ0 I1I2dι2 × (dι1 × γ12)

　　df12 = ── ───────────

　　4π γ123

　　式中dι1、dι2的方向都是电流的方向；γ12是从I1dι 指向I2dι 的径矢。安培定律可分为两部分。其一是电流元Idι（即上述I1dι ）在γ（即上述γ12）处产生的磁场为

　　μ0 Idι × γ

　　dB = ── ─────

　　4π γ3

　　这是毕-萨-拉定律。其二是电流元Idl（即上述I2dι2）在磁场B中受到的作用力df（即上述df12）为：

　　df = Idι × B

　　确定在外磁场中运动的导线内感应电流方向的定则，又称发电机定则。也是感应电流方向和导体运动方向、磁力线方向之间的关系判定法则。

　　做握手状适用于发电机手心为磁场方向大拇指为物体运动方向手指为电流方向~~` 确定导体切割磁感线运动时在导体中产生的动生电动势方向的定则。右手定则的内容是：伸开右手，

　　使大拇指跟其余四个手指垂直并且都跟手掌在一个平面内，把右手放入磁场中，让磁感线垂直穿入

　　手心，大拇指指向导体运动方向，则其余四指指向动生电动势的方向。动生电动势的方向与产生的

　　感应电流的方向相同。

　　右手定则确定的动生电动势的方向符合能量转化与守恒定律。

　　应用右手定则注意事项

　　应用右手定则时要注意对象是一段直导线（当然也可用于通电螺线管

），而且速度v和磁场B都要垂直于导线，v与B也要垂直，

　　右手定则能用来判断感应电动势的方向,如用右手发电机定则判断三相异步电动机转子的感应电动势方向。


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名称定义　　四元数是最简单的超复数。


　　复数是由实数加上元素 i 组成，其中


　　$i^2\; =\; -1\; \backslash ,$。


　　相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：


　　$i^2\; =\; j^2\; =\; k^2\; =\; ijk\; =\; -1\; \backslash ,$


　　每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为$a\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk\; \backslash ,$。

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四元数的性质与特点
　　四元数(Quaternions)是由威廉·卢云·哈密顿(William Rowan Hamilton, 1805-1865)在1843年爱尔兰发现的数学概念。四元数的乘法不符合交换律(commutative law)，故它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则。


　　明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表著一个四维空间，相对於复数为二维空间。


　　四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与场是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。


　　四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。 四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。


　　四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多於 n 个不同的根。


　　四元数就是形如 ai+bj+ck+d 的数


　　a、b、c、d是实数


　　i^2=j^2=k^2=-1


　　ij=k ji=-k jk=i kj=-i ki=j ik=-j


　　(a^2+b^2+c^2+d^2)的平方根 称为四元数的模.

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四元数的例子
　　假设：


　　$x\; =\; 3\; +\; i\; \backslash ,$


　　$y\; =\; 5i\; +\; j\; -\; 2k\; \backslash ,$


　　那么：


　　$x\; +\; y\; =\; 3\; +\; 6i\; +\; j\; -\; 2k\; \backslash ,$


　　$xy\; =\; \backslash left(\; \{3\; +\; i\}\; \backslash right)\backslash left(\; \{5i\; +\; j\; -\; 2k\}\; \backslash right)\; =\; 15i\; +\; 3j\; -\; 6k\; +\; 5i^2\; +\; ij\; -\; 2ik$


　　$=\; 15i\; +\; 3j\; -\; 6k\; -\; 5\; +\; k\; +\; 2j\; =\; -\; 5\; +\; 15i\; +\; 5j\; -\; 5k\; \backslash ,$

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四元数的群旋转
　　象在四元数和空间转动条目中详细解释的那样，非零四元数的乘法群在R3的取实部为零的拷贝上以共轭作用可以实现转动。单位四元数（绝对值为1的四元数）的共轭作用，若实部为cos(t)，是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。四元数的优点是：


　　非奇异表达（和例如欧拉角之类的表示相比）


　　比矩阵更紧凑（更快速）


　　单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。


　　所有单位四元数的集合组成一个三维球S3和在乘法下的一个群（一个李群）。S3是行列式为1的实正交3×3正交矩阵的群SO(3,R)的双面复盖，因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群S3和SU(2)同构，SU(2)是行列式为1的复酉2×2矩阵的群。令A为形为a + bi + cj + dk的四元数的集合，其中a, b, c和d或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合A是一个环，并且是一个格。该环中存在24个四元数，而它们是施莱夫利符号为{3,4,3}的正二十四胞体的顶点。

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以矩阵表示四元数
　　有两种方法能以矩阵表示四元数，并以矩阵之加法、乘法应用于四元数之加法、乘法。


　　第一种是以二阶复数矩阵表示。若 h = a + bi + cj + dk 则它的复数形式为：


　　


　　这种表示法有如下优点：


　　所有复数 (c = d = 0) 就相应于一个实矩阵。


　　四元数的绝对值的平方就等于矩阵的行列式。


　　四元数的共轭值就等于矩阵的共轭转置。


　　对于单位四元数 (|h| = 1) 而言，这种表示方式给了四维球体和SU(2)之间的一个同型，而后者对于量子力学中的自旋的研究十分重要。（请另见泡利矩阵）


　　第二种则是以四阶实数矩阵表示：


　　


　　其中四元数的共轭等于矩阵的转置。

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四元数运算
　　四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容易，导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。


　　此处仅讨论具有实数元素之四元数，并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与纯量的结合，另一形式两个创建量(constructor)与双向量(bivector；i、j与k)的结合。


　　定义两个四元数:


　　$q\; =\; a\; +\; \backslash vec\; =\; a\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk$


　　$p\; =\; t\; +\; \backslash vec\; =\; t\; +\; xi\; +\; yj\; +\; zk$


　　其中$\backslash vec$表示矢量，而$\backslash vec$表示矢量.


　　加、乘和一般函数


　　四元数加法︰p + q


　　跟复数、向量和矩阵一样，两个四元数之和需要将不同的元素加起来︰


　　$p\; +\; q\; =\; a\; +\; t\; +\; \backslash vec\; +\; \backslash vec\; =\; (a\; +\; t)\; +\; (b\; +\; x)i\; +\; (c\; +\; y)j\; +\; (d\; +\; z)k$


　　加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。


　　四元数乘法︰pq


　　两个四元数之间的非可换乘积通常被格拉斯曼称为积，这个积上面已经简单介绍过，它的完整型态是︰


　　$pq\; =\; at\; -\; \backslash vec\backslash cdot\backslash vec\; +\; a\backslash vec\; +\; t\backslash vec\; +\; \backslash vec\backslash times\backslash vec$


　　$pq\; =\; (at\; -\; bx\; -\; cy\; -\; dz)\; +\; (bt\; +\; ax\; +\; cz\; -\; dy)i\; +\; (ct\; +\; ay\; +\; dx\; -\; bz)j\; +\; (dt\; +\; za\; +\; by\; -\; xc)k\; \backslash ,$


　　由于四元数乘法的非可换性，pq并不等于qp。格拉斯曼积常用在描述许多其他代数函数。qp乘积的向量部分是:


　　$qp\; =\; at\; -\; \backslash vec\backslash cdot\backslash vec\; +\; a\backslash vec\; +\; t\backslash vec\; -\; \backslash vec\backslash times\backslash vec$


　　四元数点积︰ p · q


　　点积也叫做欧几里德内积，四元数的点积等同于一个四维向量的点积。点积的值是p中每个元素的数值与q中相应元素的数值的乘积的和。这是四元数之间的可换积，并返回一个标量。


　　$p\; \backslash cdot\; q\; =\; at\; +\; \backslash vec\backslash cdot\backslash vec\; =\; at\; +\; bx\; +\; cy\; +\; dz$


　　点积可以用格拉斯曼积的形式表示:


　　$p\; \backslash cdot\; q\; =\; \backslash frac\{p^*q\; +\; q^*p\}$


　　这个积对于从四元数分离出一个元素有用。例如，i项可以从p中这样提出来：


　　$p\; \backslash cdot\; i\; =\; x$


　　四元数外积︰Outer(p,q)


　　欧几里德外积并不常用; 然而因为外积和内积的格拉斯曼积形式的相似性.它们总是一同被提及:


　　$\backslash operatorname(p,q)\; =\; \backslash frac\{p^*q\; -\; q^*p\}$


　　$\backslash operatorname(p,q)\; =\; a\backslash vec\; -\; t\backslash vec\; -\; \backslash vec\backslash times\backslash vec$


　　$\backslash operatorname(p,q)\; =\; (ax\; -\; tb\; -\; cz\; +\; dy)i\; +\; (ay\; -\; tc\; -\; dx\; +\; bz)j\; +\; (az\; -\; td\; -\; by\; +\; xc)k$


　　四元数偶积：Even(p,q)


　　四元数偶积也不常用，但是它也会被提到，因为它和奇积的相似性。它是纯对称的积；因此，它是完全可交换的。


　　$\backslash operatorname(p,q)\; =\; \backslash frac\{pq\; +\; qp\}$


　　$\backslash operatorname(p,q)\; =\; at\; -\; \backslash vec\backslash cdot\backslash vec\; +\; a\backslash vec\; +\; t\backslash vec$


　　$\backslash operatorname(p,q)\; =\; (at\; -\; bx\; -\; cy\; -\; dz)\; +\; (ax\; +\; tb)i\; +\; (ay\; +\; tc)j\; +\; (az\; +\; td)k$


　　四元数叉积：p × q


　　四元数叉积也称为奇积。它和向量叉积等价，并且只返回一个向量值：


　　$p\; \backslash times\; q\; =\; \backslash frac\{pq\; -\; qp\}$


　　$p\; \backslash times\; q\; =\; \backslash vec\backslash times\backslash vec$


　　$p\; \backslash times\; q\; =\; (cz\; -\; dy)i\; +\; (dx\; -\; bz)j\; +\; (by\; -\; xc)k$


　　四元数转置：p?1


　　四元数的转置通过p?1p = 1被定义。 它定义在上面的定义一节，位于属性之下（注意变量记法的差异）。其建构方式相同于复倒数(complex inverse)之构造：


　　$p^\; =\; \backslash frac\{p^*\}\{p\backslash cdot\; p\}$


　　一个四元数的自身点积是个纯量。四元数除以一个纯量等效于乘上此纯量的倒数，而使四元数的每个元素皆除以此一除数。


　　四元数除法︰p?1q


　　四元数的不可换性导致了 p?1q 和 qp?1的不同。 这意味着除非p是一个标量,否则不能使用q/p这一符号。


　　四元数纯量部：Scalar(p)


　　四元数的标量部分可以用前面所述的点积来分离出来：


　　$1\backslash cdot\; p\; =\; \backslash frac\{p\; +\; p^*\}\; =\; a$


　　四元数向量部︰Vector(p)


　　四元数的向量部分可以用外积提取出来，就象用点积分离标量那样：


　　$\backslash operatorname(1,\; p)\; =\; \backslash frac\{p\; -\; p^*\}\; =\; \backslash vec\; =\; bi\; +\; cj\; +\; dk$


　　四元数模：|p|


　　四元数的绝对值是四元数到原点的距离。


　　$|p|\; =\; \backslash sqrt\{p\; \backslash cdot\; p\}\; =\; \backslash sqrt\{p^*p\}\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; +\; d^2\}$


　　四元数符号数：sgn(p)


　　一复数之符号数乃得出单位圆上，一个方向与原复数相同之复数。四元数的符号数亦产生单位四元数：


　　$\backslash sgn(p)\; =\; \backslash frac\{|p|\}$


　　四元数幅角：arg(p)


　　幅角函数可找出一4-向量四元数偏离单位纯量(即：1)之角度。此函数输出一个纯量角度。


　　$\backslash arg(p)\; =\; \backslash arccos\backslash left(\backslash frac\{\backslash operatorname(p)\}\{|p|\}\backslash right)$

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四元数历史
　　四元数是由哈密顿在1843年爱尔兰发现的。当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密顿记述，他于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河（Royal Canal）上散步时突然想到 $i^2\; =\; j^2\; =\; k^2\; =\; ijk\; =\; -1\; \backslash ,$Image:Quaternion Plague on Broom Bridge.jpg的方程解。之后哈密顿立刻将此方程刻在附近布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。这条方程放弃了交换律，是当时一个极端的想法（那时还未发展出向量和矩阵）。


　　不只如此，哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个纯量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。若两个纯量部为零的四元数相乘，所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值，而向量部则为向量积的值，但它们的重要性仍有待发掘。


　　哈密顿之后继续推广四元数，并出了几本书。最后一本《四元数的原理》（Elements of Quaternions）于他死后不久出版，长达八百多页。


　　用途争辩


　　即使到目前为止四元数的用途仍在争辩之中。一些哈密顿的支持者非常反对奥利夫·亥维赛的向量代数学和 Willard Gibbs 的向量微积分的发展，以维持四元数的超然地位。对于三维空间这可以讨论，但对于更高维四元数就失效了（但可用延伸如八元数和柯利弗德代数学）。而事实上，在二十世纪中叶的科学和工程界中，向量几乎已完全取代四元数的位置。


　　詹姆斯·克拉克·麦克斯韦曾经在他的《电磁场动力理论》（A Dynamical Theory of Electromagnetic Field）直接以20条有20个变量的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述，但与后来亥维赛使用四条以向量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较，使用四元数的表述并没有流行起来。