经济理论中的一个重要课题 是如何度量不确定环境下度量人们的不确定厌恶

陈增敬
论文题目： 倒向随机微分方程与g-期望

作者简介： 陈增敬，男，1961年9月生，1995年9月师从山东大学彭实戈教授，于1998年06月获得博士学位。



摘 要



关键词：倒向随机微分方程，非线性概率，非线性数学期望（g-期望）；g-鞅。



自从Pardoux教授和彭实戈教授 于 1990 年首先证明了有限时间区间非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性定理以来, 有关倒向随机微分方程 这一领域的研究受到了国内外一大批从事数学、经济、金融等方面研究的著名专家和学者的关注 ( 例如 李训经, 严加安, Ma Jin & 雍炯敏 ,Kouri, Karatzas, Epstein, Duffie, Darling 等). 现在, 倒向随机微分方程理论不仅被广泛地认为是研究金融数学 (例如, 期权和衍生证券定价问题 ) 的主要工具, 而且也是研究随机控制、随机对策和非线性偏微分方程解的概率表示等问题的有效工具. 最近, 彭教授又发现利用倒向随机微分方程 可以自然地引入 一种被称谓g-期望的非线性数学期望(非线性概率), 并由此可以引入相应的条件g-期望和g-鞅,这一理论的提出不仅为非线性随机分析的建立奠定了基础, 而且也为经济理论的研究提供了强有力的工具 (详见本文的第四部份), 许多经济理论中的悖论 (例如 著名的 Allias 悖论和 Ell*****erg 悖论)可望通过 非线性数学期望加以解释. 因此, 倒向随机微分方程的研究对数学理论和经济理论的研究都有着重要的意义.

本文主要研究内容如下:

(1)无穷区间 倒向随机微分方程解的存在唯一性

彭与 Pardoux [PaPe] 在假定时间T为有限,终端值 为平方可积的条件下证明了方程：

（0.1）

存在唯一的一对解. 并分别于 1991 年 [P2] 和 1997 年 [Pa] 证明了: 当 方程 (0.1) 依然有解. 本文的 第一个内容就是讨论了当 时, 方程(0.1)解的存在性问题: 即,

定理 0.1 假定 g满足 (H1) (H2)和(H3)（见论文第一章）

, 则 当 时, 方程 (0.1) 依然有一对解(y,z)、显然，[PaPe, P2,Pa] 中 的 存在唯一性定理是本定理的特例.进一步地, 由 定理 0.1, 我们讨论了一般的 Doob 鞅不等式:

定理 0.2. 设 分别是方程(0.1)相应终端值为 的解, 则存在一个常数 C>0使得



这是一个有趣的结果, 它的特例就是经典的 Doob 鞅极大不等式.

说明：以上问题的研究不仅使我们看到不同条件下方程 (0.1) 解的差异,更重要的是我们发现利用无穷区间倒向随机微分方程可以与经典方法一样引入g-期望 及相应的g-概率和g-鞅, 这可能为非线性随机分析的建立奠定基础.

(2). g-鞅的收敛性与上穿不等式.

本文的 第二个结果是利用无穷区间的倒向随机微分方程证明了 g-鞅的收敛性:

定理 0.3. 如果 是一个 g-鞅 且 , 则 几乎处处存在 且 进一步, 对任意的 , 有



为了证明以上定理,我们证明了一个非线性不等式:

定理 0.4 设 是一个 g-鞅并且 是一列严格增加数列, 用 表示 以前 上穿区间 [a,b]的次数, 则



特别地, 当 g=0时, 以上结果就是经典的鞅上穿不等式结果.

(3). 中的非线性 Doob-Meyer 分解定理.

彭 [P3] 证明了平方可积 g-鞅 的 Doob-Meyer 分解定理, 本文的 第三个结果是利用 中 的倒向随机微分方程, 证明了 可积 g-鞅 的 Doob-Meyer 分解定理 (第二章 定理 4.2) ：

定理 0.5 设 是一个类 (D) g-上鞅, 那么, 存在唯一的一个左极右连的 增过程 , 使得 满足下列方程：



一般的上穿不等式(第二章 定理 3.12)如下：

定理 0.6. 设 是 一个 g-上鞅, D是 中的 一个稠密集. 则存在一个依赖于a,b的常数c(a,b)>0,使得对任意的 , 有



说明： 这是 g -鞅上穿不等式的更一般情况, 从定理的证明可以看到: 在非线性条件下, 证明 鞅的上穿不等式是相当麻烦的. 值得一提是, 我们的结果 (定理 0.6) 与 彭 [P3] 中的结果不同之处在于：本文的事件域流可以是满足通常条件的一般 事件域流, 不必是由布朗产生的, 这也是本定理证明的困难所在.

(4). 倒向随机微分方程.

正如 (1)所指出的那样, 彭和 Pardoux 是 在终端 为平方可积的条件下 证明 了方程 (0.1) 存在唯一的一对解, 一个自然的问题是:当 时, 方程 (0.1) 的解存在性如何? 此时解的含义是 什么?这就是本第三章讨论的, 我们将方程 (0.1) 及相应的 g-期望、g-鞅扩展到 , 得到了一般的倒向方程

(0.2)

解的存在性.其中, 是 g-期望,这一部分的结果是作者与 经济学专家 Larry Epstin 合写<> 一文的基础.方程 (0.2) 的直观特例是下列形式的方程:

(0.3)

和

(0.4)

其中, 是一个概率测度集合. 而 g-期望则是 最小 最大 数学期望:

, 和





g-概率是最小最大概率:

和

众所周知, 最小最大数学期望是研究不完全市场未定权益 和刻划 经济理论中风险厌恶 (risk aversion)、不确定厌恶?(uncertainty aversion) 的主要工具, 从这个意义上讲, 研究 g-期望是具有重要应用价值的. 现在我们已经高兴的看到: 彭教授提出的 g-期望已被部分几何专家 (例如 Darling) 和经济专家 (例如: Epstein )所接受,并且已被应用到相应的研究领域中，关于方程(0.3),(0.4) 的进一步应用是本文的第五部分.



(5).g-期望在经济理论中的应用.

经济理论中的一个重要课题 是如何度量不确定环境下人们的偏好 (preference)问题, 最常用的方法是 von-Neumann 提出的期望效用 (Expected Utility) 法. 但是,自从著名的 Allais 悖论 和 Ell*****erg 悖论提出以候, von-Neumann 的期望效用方法受到了有力的挑战. 经济学家已发现数学期望的线性性是导致 Allais 悖论 和 Ell*****erg悖论的重要原因之一. 因此, 用 von-Neumann 的期望效用方法无法度量人们的不确定厌恶 . 正是基于以上原因, 经济学家们正在寻找一种既能 保持经典数学期望的某些性质又能反映不确定厌恶的数学工具来描述偏好.现在, 经济学家们发现用容度 (capacity) 定义的期望 效用 (Capacity Expected Utility) 可以解释 Allais 悖论 和 Ell*****erg 悖论, 并且用 它可以度量人们的某些不确定厌恶然而, 如何用容度定义条件容度期望(conditional capacity expectation) 是当前摆在经济学家面前的一 大难题,这个难题的存在使得用 容度定义的容度期望 效用函数无法用来描述动态经济模型

本文的第四章是利用 g-期望研究了连续时间的资产定价模型问题, 部分建立了 g-概率 与 容度之间的关系, 并用 g-期望解释了一些经济现象 ( 例如:不确定厌恶 等). 反过来, 通过对这些经济问题的研究又为 倒向随机微分方程理论的进一步发展提出许多 课题 (例如 g-期望与容度期望的关系等). 这 一部分 是作者 与 Larry Epstein 于 1998年2月在香港合写的 " Ambiguity, Risk and Asset Returns in Continuous Time" 一文 的 一部分, 今附在本文之后，旨在介绍一下 g-期望在经济中的应用, 有关这方面的数学定理为:

定理 0.7. 设 和f 满足 Lip假定, 对给定的消费过程 ，则

(a) 存在唯一的过程 满足:



(b). (a) 中的效用函数 是 下列倒向随机微分方程的唯一解:



(c). 对任意 , 设 是方程的解:



则 存在 使得



(d). 对任意 , 有

























































Backward stochastic differential equations and related g-expectations


Chen Zengjing

Department of Mathematics Shandong University



ABSTRACT


This thesis considers the following problems:

(I) Infinite time interval BSDEs and the convergence of g-martingalesThe adapted solution for a linear BSDE which appears as the adjoint process fora stochastic control problem was first introduced by Bismut (1973), then byBensoussan (1982) and others, while the first result for the existence anduniqueness of an adapted solution to a nonlinear BSDE with finite timeinterval and Lipschitzian coefficient was obtained in [PaPe]. Latermany researchers developed the theory and its applications in a series ofpapers ([CM, D, HP, HL1, HL2, KPQ, LM, Pa, P1--P4]) under some other assumptions oncoefficient but for fixed terminal time. From these papers, the basic theoremis that, for a fixed terminal time T>0, under the suitable assumption onterminal value , coefficient g and driving process M, the followingBSDE has a pair of solution in the finite time interval [0,T]:

(*)

More recently, Peng [P4] introduced the notions of g-expectations and g-martingales via the above finite time interval BSDEs driven by a Brownian motionprocess. In [CP,P3], some properties of g-martingales (such as upcrossing inequality;stopping sampling theorem and decomposition theorem ) are discussed. As a supplement,in this paper, we shall discuss the convergence of g-martingales. One difficulty to thisproblem is how to study the existence and uniqueness of BSDE (*)when . In fact, such a problem has been investigated in [P2] and [Pa]

and others under the assumption that terminal value In this paper, weshall first prove that, under suitable assumptions on coefficient g, forany square integrable random variable , BSDE(*) still has a unique pairsolution when We also give some counter-examples to show that our assumptions on coefficient g are reasonable. Using these results, we thenshow the convergence of g-martingales. Finally, we discuss some applicationsof g-matingales and g-expectations.



(II) Continuous properties of g-martingale and Doob-Meyer

decomposition Pardoux & Peng (1990) [PaPe] introduced the notion of backward stochastic differential equations (called P-P BSDEs), who proved existence and uniqueness of adapted solutions, under suitable square-integrability assumptions on the coefficients and on the terminal condition. Independently,Duffie and Epstein (1992)[DE] introduced stochastic differential utilities in economicmodels, as solutions certain backward stochastic differential equations( called D-E BSDEs), who proved existence and uniquenessof adapted solutions, under suitable integral assumptions on thecoefficient and on the terminal condition. More recently, S.Peng [ P3,P4]introduced the notions of g-expectations and g-martingales via P-P BSDEs, and obtained general nonlinear Doob-Meyer decomposition theorem of g-supermartingales in [P3]. In finance, such a decomposition leads to a convenient supermartingale characterization of wealthand consumption portfolios. Applying this characterization to the problem of hedging European and American style contingent claim in a setting of incomplete security markets enables us to describe the capital evolution for constrained wealth and portfolios [see P3]. Motivated by the article of S.Peng [P3,P8],in this paper, we introduced the notions of g-expectations and g-martingales via D-E BSDEs, and get some basic properties of g-expectations and g-martingales ( such as upcrossing theorem, optional stopping theorem). Furthermore, we show nonlinear Doob-Meyer decomposition theorem.



(III) g-expectation and generalized BSDEs

S.Peng [P4] extendes the well-known mathematical expectation which usually is viewed as a linear operator defined on , the space consisting of integrable random varibles, for a given probability space to nonlinear matematical expectation (named g-expectation) which is viewed as a nonlinear operator defined on , the space consisting of square integrable -measurable random varibles, for fixed finite time horizon , and proves that this g-expectation preserves much of the properties ofclassical mathematical expectations except the linearity. Such a kind of nonlinear operators introduced via BSDE has lots of applications in stochastic geometry (cf[DP]) and mathematical finance (such as risk aversion behavior for consumer, pricing and hedging contingent claim etc. Especially, an important advantage of such nonlinear expectation is that a great deal of concepts, methodology, and formulas in classical stochastic analysis ( such as probability measure, conditional expectation and martingale , etc ) may be extended to nonlinear cases [CP].The aim of this thesis is to extend the domain of g-expectation to a larger space in which random varible may be -measurable,and not necessarly be square integrable. Furthermore, we study the existence and uniqueness of solutions of a class of infinite horizon BSDE related to g-expectation.Such a kind of BSDE can be viewed not only as the extension of the notion of BSDE introduced by Pardoux & Peng [7], but also as the extension of stochastic differential utilities as solutions to certain BSDE introdued by Duffie & Epstein [DE].



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