第十章 随机过程 II：鞅1第十章 随机过程 II：鞅基础微积分线性代数概率论和数理统计随机微积分鞅偏微分方程数值方法10．1概述10．1．1离散时间10．1．2连续时间10．1．3鞅的例子10．1．4鞅的子类10．2停时和鞅型序列10．2．1停时定义10．2．2最优停止定理10．2．3鞅型序列10．3多布-迈耶分解10．3．1多布分解定理10．3．2多布-迈耶定理10．3．3二次变差过程10．4再论随机积分10．4．1鞅变换和随机积分10．4．2简单过程随机积分10．4．3再论伊藤积分10．5测度变换10．5．1直观理解10．5．2拉登-尼科迪姆导数10．5．3哥萨诺夫定理10．5．4鞅表示定理本章的学习目标为：了解信息结构和信息一致性的数学表述方式明确鞅的定义和连续时间情形下的一些技术性条件熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅的定义和轨道特征了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅了解停时概念和最优停止定理了解由停止一个鞅产生的其它鞅型随机过程了解二次变差和协变差过程，多布-迈耶分解复习伊藤积分的定义和主要性质掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理并熟练应用该定理进行测度变换掌握鞅表示定理并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型中的作用鞅这个术语早在 20 世纪 30 年代首先由 Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国概率学家列维(Levy，1934）。但是真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他于 1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分解问题在内的）他对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展。。鞅在 20 世纪 70 年代末期被引入金融经济学用来描述资产的价格运动过程，最早出现在 Pliska&Kreps相对于上一章随机微积分而言，由于较多地借助测度论，鞅显得更加抽象，但是令人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析（例如期权定价）变得更加简洁和优雅；
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第十章 随机过程 II：鞅2并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又是至关重要的。在本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学期望等概念来严格地给出鞅的定义。然后澄清一些性技术要求并给出连续时间鞅的概念。介绍一些常见的鞅的例子。在讨论了鞅的两个重要子类之后，接下来我们考察多布-迈耶分解(Doob-Meyer decomposition)，停时(stopping time)接下来讨论对于现代金融分析至关重要的——等鞅测度变换(equivalent martingaletransformation)和凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理(Cameron-Martin-Girsanov theorem)。只有熟练掌握并且能够灵活运用这一方法，才能真正领略到现代金融理论的精髓。10．1概述“鞅”一词来源于法文 martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。但这都没有说明它在金融学中的确切含义。鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博（fair game）的数学模型。那么什么又是公平的赌博呢？假设一个人在参加赌博，他已经赌了n次，正准备参加第n+1 次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用nX表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有11)|(8722;8722;=nnnXXXE成立，即赌博的期望收获为 0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统计上是公平的1。在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把 X 设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而nEX 就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在 20 世纪 80 年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。10．1．1离散时间简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅；而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之如果该过程总是在减少，则称之为上鞅(supermartingale)。实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。我们循序渐进地分成 4 个步骤来正式定义鞅：1)首先，描述概率空间。存在一概率空间},,{PF8486;，要求σ-代数F是 P-完备的，即对于任何F∈A且0)(=AP，对一切AN 8834;都有F∈N成立2。接下来，2)描述滤波(filtration)。设想我们在一些时点上观察一种股票的价格+∈ZnnS )(3随时间的波动情况。令+∈Znn)(F代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间的推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富。当onm<<时，这1期望收益等于参加费用的赌博也可以认为是统计上公平的。2我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的对应物。幸运的是，经济分析中大多数问题具有良好的性质。3我们用+Z表示正整数。
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第十章 随机过程 II：鞅3一族信息集合必然满足：10．1．1……8838;8838;onmFFF实际上nF就是n时刻的分割产生的σ-代数，这样的σ-增族记为：+∈=ZFnn)(F我们称它为滤子(filter)或者滤波4。给定一个滤波就决定了在给定概率空间中的历史演化和信息传播过程(见金融相关点 10-1)。四位一体的},,,{FPF8486;被称为滤过(filtered)的概率空间或者随机基(stochastic basis)。金融相关点 10-1：信息结构和传播过程5金融市场首先是一个交易的场所，它完成资源配置的任务；同时它还是信息发布的场所，有时也被称为经济运行的“指针”。在微观金融分析中我们需要一个能够反映这种金融市场上的信息结构(information structure)及其历史演化的过程(spread process)性质的数学模型。考虑一个如下图所示的重合(recombining)的二项树模型。价格uu [2]u[1]0du,ud [0]d[-1]dd [-2]t0t1t2时间图 10-1 二项树模拟股票价格运动u代表股票价格经历了一次上升；d则代表一次下降，两个时刻过后股票价格会出现 4 种情况，那么样本空间就是：}}{},{},{},{{ddduuduu=8486;我们任意构造几种集合，例如：}}{},{},{},{{ddduuduua=F},,,{ddduuduub=F}}{},{},,{{ddduuduuc=F}}{},{},,{},{{ddduuduuuud=F}}{},{},{{duuduue=F根据我们在概率论一章中学习过的知识，我们知道aF，bF和cF都是对样本空间8486;的一种分割。这是因为按照分割的定义，它们各自包含的所有元素的并集构成了整个状态空间，而它们所包含的元素两两相交的结果是空集。dF和eF则不是分割，因为dF中前两个元素的交集不是空集，而是}{uu；而ef的所有元素的并也没有构成整个状态空间，缺少了}{dd。bF集合表示股票价格两次变动以后所有可能发生的情况，它仅仅说明了事物发展的未来潜在可能性，它相当于位于二项树上的 0 点。在 0 时刻信息结构是最平凡的，即：},{08486;8709;=F。而aF则刚好相反，它完全揭示出所有的世界状态，正是在最终的 2 时刻，究竟哪种状态会发生已经成为了事实。cF则代表了一种中间状态，好比在 1 时刻，我们知道如果状态},{uduu发生，即前进到]1[d点后，}{dd或者}{ud之一必定会发生，到4实际上+∈=ZFnn)(F可以作更为广泛的理解，它也可以是无限维向量，如果仅仅解释为价格或者收益就和法马(Fama E.)定义的弱的市场效率的基础相吻合，这也是我们这里的定义。这样假定时，我们说滤波是由价格过程产生的。5这里的描述来主要自于 Dothan(1990)和 Rebonato(1998)。
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第十章 随机过程 II：鞅4底是谁，仍然不能够确定；而]1[u点以后的发生的情况则不清楚或者不重要了。因此这些分割就适当地代表了一个动态系统中的 0、完全和部分的信息。我们知道aF比cF精细，而bF是最粗糙的分割，把它们串联起来就有：bF
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第十章 随机过程 II：鞅5每一个元素都赋予同样的数值，那么即使在最后时刻准确地获得了这时的随机变量的值，我们仍然无法了解事件树的演化路径，它所包含的信息内容不比最粗糙的分割bf更多。但是从'x的数值，我们确实可以知道：路径究竟是uu(如果 2 出现)或者dd(-2 出现)还是ud、du(0 出现)。而这正是由'x生成的分割fF所包含的信息内容。不妨再定义一个随机变量函数'''x，它定义股票的价格在 0 时刻为 0，在 0 时刻以后如果第i步出现股票价格上涨，就在原股票价格上加上i(2,1=i)；下降则作类似定义。这样：321})({'''=+=uux；121})({'''8722;=8722;=udx；121})({'''=+8722;=dux；321})({'''8722;=8722;8722;=ddx尽管'''x是一个“路径依赖”(path-dependent)的函数，但根据'''x的取值情况，我们仍然可以确定股票价格的变化路径。显然这时有：axFF=''由于一个随机变量包含了同它生成的分割同样的信息内容，因此可以使用一个新的表述结构。1）假定存在一个随机变量序列)(),...,1(),0(Nxxx，如果每一个)(nx是nF可测的，也就是说它对于 t 时刻的分割中的子集的每一个元素赋予相同的数值，就称该随机变量序列或者随机过程是)(nF适应的。一般说来，如果没有内幕交易的话，我们通常价格过程是)(nF适应的。2)如果一个随机过程中每一个)(nx是)1( 8722;nF可测的，就称它为可料(predictable orprevisible)过程。期间交易过程，即在每一个时刻上的交易策略(trading strategy)的汇总：)}(),...,1(),0({Nθθθθ =就是)1(8722;nF可测的。这是容易理解的，因为投资者一般是根据上一时刻的(价格)信息来决定投资组合并一直保持到本期的。换句话说，投资策略)(niθ是)(nF可料的7。4)然后，是条件数学期望。使用不同时刻的信息集，我们可以推测nS 的未来运动形式，很自然的，这种预测通常采用条件数学期望的形式：10．1．2NnSESEnNN<=),|()(FPP这意味着在n 时刻对 N 时刻的价格预期是基于在该时刻已确知的特定信息集合nF 的。注意在这里我们在期望算子上加的 P 代表这种期望是基于特定概率测度（或者分布）的，在不混淆的情况下它也可以被省略。定义 10．1．1 假定+∈ZnnS )(是滤波空间{}F,,,PF8486;上的一个nF -适应过程，如果：1)无条件的数学期望是有限的，即：+∈∞
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第十章 随机过程 II：鞅6[])|()|(|)(11nnnnnnnnnnSESESSEFFF8722;=8722;++由于nS 是鞅，)(1+nnSE等于nS ，而根据定义nS 是nF 可测的，所以)(nnSE在 n 时刻是已知的，也等于nS ，所以：10．1．40)|(=8710;nnnSEF因此对nS 在下一时间内变化的最好预测就是 0。换句话说，该随机变量的未来运动方向和大小是不可预测的，这就是所谓鞅性(martingale property)。这里nS8710; 被称为鞅差(martingale difference)。显然，鞅差的部分和(partial summation)也是鞅，即：0)|(1=8710;∑=knkknSEF需要强调的是：鞅是用条件期望来定义的，而条件期望的计算总是基于某种概率分布和特定信息集合的，这两点对于决定一个随机过程是不是鞅起关键作用，以后的分析会逐渐揭示这一点。只要对定义 10．1．1 中的第二个条件做适当修改，就可以获得相应的上鞅和下鞅的定义。定义 10．1．2 如果：2')++∈>ZnSSEnnnn,)|(1F，则称随机过程+∈ZnnS )(为下鞅；2")++∈
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第十章 随机过程 II：鞅7],0[.),,(lim),(TtsasXtXts∈8704;=↓ωω就称该随机过程有着右连续样本路径。左连续的概念是类似的。3）正则连续性。我们称一个随机过程),0[)(∞∈ttX为正则右连续的(regular right continuous)，当且仅当它是tF-可测的，并且对于每一个8486;∈ω和),0[ ∞∈t，a)它的样本路径是右连续的：tutXuXtu>=→),,(),(limωωb)存在左极限：tssXtXts<=8722;→),,(lim),(ωω正则左连续的定义是类似的，它们的图形表示如下：XttXtta正则右连续b正则左连续图 10-2 正则右、左连续函数我们用 RCLL（right-continuos with left limits 或者 càdlàg9）表示拥有左极限同时又是右连续的随机过程。接下来我们考察两个随机过程是否相同。考虑定义在同一概率空间上的两个随机过程),0[)(∞∈ttX、),0[)(∞∈ttY，当它们被认为是t和ω 函数时，当且仅当8486;∈∈8704;=ωωω];,0[),()(TtYXtt成立时，我们才能说它们是相同的。但考虑到概率测度P，可以放松一些要求。我们可以提供至少 2 个判断两个随机过程是否“几乎总是相同”(almost the same)的标准：1）当且仅当对于每一个0≥t，有1}{==ttYXP成立时，称它们互相为对方的一个修正(modification)或者一个版本(version)10。2）而当且仅当有1]},0[,{=∈8704;=TtYXPtt成立时，称为它们为是无区别的(indistinguishable)。如果两个过程是无法区别的，则它们一定是对方的一个修正，分之则不真11。但是如果它们具有右连续的样本路径，则反之也成立。现在我们加强信息结构。存在一个滤过的概率空间},,,{FPF8486;，要求它满足以下这些常规条件(usual conditions)：1)σ-代数F是P-完备的，即对于任何F∈A且0)(=AP，对一切AN 8834;都有F∈N成9càdlàg 即 continu à droite, limites à gauche。10或者称两者随机等价(stochastically equivalence)，这时X和Y有相同的有穷维分布函数。11两者之间的细微差异见 Elliott&Kopp(1999)，p102。
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第十章 随机过程 II：鞅8立；2)σ-代数0F包含F的所有P-零集，即对于任何F∈A且0)(=AP，都有0F∈A成立；3)滤波),0[}{∞∈=ttFF是右连续的，即对于所有0>t，都有：Ituut>=FF成立，其中Ituu>F表示对于tu >时的所有uF中最大的σ-域，这个条件说明滤波包含了σ-域的所有不可数集合。接下来我们深入考察随机过程的联合可测性（joint measurability）问题。假定],0[ T是R 中的某个区间，),0( TB是],0[ T中全体 Borel 集构成的σ-代数；用)],0[( TB[[[F 8855;表示乘积σ-代数12。给定任意随机过程],0[)(TttS∈，R→×8486;],0[:TS，如果：1）],0[)(TttS∈在乘积σ-域)],0[( TB[[[F 8855;上是可测的，就称它为可测的。2）],0[)(TttS∈是tF可测的就称],0[)(TttS∈为),0[}{∞∈=ttFF适应的。3）],0[)(TttS∈对于任何],0[ Tt ∈，是在乘积σ-域]),0([ ttB[[[F 8855;上是可测的，就称之为循序可测的(progressively measurable)13。容易知道任何循序可测随机过程均是可测过程，并适应于 F 。一个可测、适应过程有一个循序可测的修正14。我们定义使得所有适应于 F 的随机过程路径为循序可测的最小σ-域为循序σ-域PM(progressiveσ-field)。实际上每个有着左（右）连续样本路径的适应过程都是循序可测的，由此我们还可以有以下子σ-域和相应的随机过程。4）可选σ-域Op(optional σ-field)——使得所有适应于F 的右连续路径为可测的最小σ-域，如果一个过程是Op可测的就被称为可选过程。5）可料σ-域Pr(predictableσ-field)——是使得所有适应于F 的左连续路径为可测的最小σ-域，如果一个过程是Pr可测的就被称为可料过程。实际上就是指在t时刻的值是严格依赖于t时刻以前的信息的。***因为：连续适应过程8658;RCLL 过程8658;循序可测过程8658;可测过程因此可料过程和可选过程必然是循序可测过程，所以上面的σ-域之间有以下嵌套关系：],0[ TBFPMOpPr8855;8834;8834;8834;**nielsen17 543定义 10．1．3 假定),0[)(∞∈ttS是滤波空间{}F,,,PF8486;上的一个适应过程，如果：1)),0[,)(∞∈∞8704;。则称tS为连续时间鞅或者简称鞅。可以证明如果滤波满足常规条件，每一个上(下)鞅都存在一个tF适应的右连左极的修12一个],0[ T×8486;可测的长方形是一个BA×集合，F∈A，)],0[( TB B[[[∈。乘积σ-域)],0[( TB[[[F 8855;是包含所有可测长方形和概率测度×P勒贝格测度λ
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第十章 随机过程 II：鞅2并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又是至关重要的。在本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学期望等概念来严格地给出鞅的定义。然后澄清一些性技术要求并给出连续时间鞅的概念。介绍一些常见的鞅的例子。在讨论了鞅的两个重要子类之后，接下来我们考察多布-迈耶分解(Doob-Meyer decomposition)，停时(stopping time)接下来讨论对于现代金融分析至关重要的——等鞅测度变换(equivalent martingaletransformation)和凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理(Cameron-Martin-Girsanov theorem)。只有熟练掌握并且能够灵活运用这一方法，才能真正领略到现代金融理论的精髓。10．1概述“鞅”一词来源于法文 martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。但这都没有说明它在金融学中的确切含义。鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博（fair game）的数学模型。那么什么又是公平的赌博呢？假设一个人在参加赌博，他已经赌了n次，正准备参加第n+1 次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用nX表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有11)|(8722;8722;=nnnXXXE成立，即赌博的期望收获为 0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统计上是公平的1。在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把 X 设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而nEX 就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在 20 世纪 80 年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。10．1．1离散时间简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅；而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之如果该过程总是在减少，则称之为上鞅(supermartingale)。实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。我们循序渐进地分成 4 个步骤来正式定义鞅：1)首先，描述概率空间。存在一概率空间},,{PF8486;，要求σ-代数F是 P-完备的，即对于任何F∈A且0)(=AP，对一切AN 8834;都有F∈N成立2。接下来，2)描述滤波(filtration)。设想我们在一些时点上观察一种股票的价格+∈ZnnS )(3随时间的波动情况。令+∈Znn)(F代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间的推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富。当onm<<时，这1期望收益等于参加费用的赌博也可以认为是统计上公平的。2我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的对应物。幸运的是，经济分析中大多数问题具有良好的性质。3我们用+Z表示正整数。
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第十章 随机过程 II：鞅3一族信息集合必然满足：10．1．1……8838;8838;onmFFF实际上nF就是n时刻的分割产生的σ-代数，这样的σ-增族记为：+∈=ZFnn)(F我们称它为滤子(filter)或者滤波4。给定一个滤波就决定了在给定概率空间中的历史演化和信息传播过程(见金融相关点 10-1)。四位一体的},,,{FPF8486;被称为滤过(filtered)的概率空间或者随机基(stochastic basis)。金融相关点 10-1：信息结构和传播过程5金融市场首先是一个交易的场所，它完成资源配置的任务；同时它还是信息发布的场所，有时也被称为经济运行的“指针”。在微观金融分析中我们需要一个能够反映这种金融市场上的信息结构(information structure)及其历史演化的过程(spread process)性质的数学模型。考虑一个如下图所示的重合(recombining)的二项树模型。价格uu [2]u[1]0du,ud [0]d[-1]dd [-2]t0t1t2时间图 10-1 二项树模拟股票价格运动u代表股票价格经历了一次上升；d则代表一次下降，两个时刻过后股票价格会出现 4 种情况，那么样本空间就是：}}{},{},{},{{ddduuduu=8486;我们任意构造几种集合，例如：}}{},{},{},{{ddduuduua=F},,,{ddduuduub=F}}{},{},,{{ddduuduuc=F}}{},{},,{},{{ddduuduuuud=F}}{},{},{{duuduue=F根据我们在概率论一章中学习过的知识，我们知道aF，bF和cF都是对样本空间8486;的一种分割。这是因为按照分割的定义，它们各自包含的所有元素的并集构成了整个状态空间，而它们所包含的元素两两相交的结果是空集。dF和eF则不是分割，因为dF中前两个元素的交集不是空集，而是}{uu；而ef的所有元素的并也没有构成整个状态空间，缺少了}{dd。bF集合表示股票价格两次变动以后所有可能发生的情况，它仅仅说明了事物发展的未来潜在可能性，它相当于位于二项树上的 0 点。在 0 时刻信息结构是最平凡的，即：},{08486;8709;=F。而aF则刚好相反，它完全揭示出所有的世界状态，正是在最终的 2 时刻，究竟哪种状态会发生已经成为了事实。cF则代表了一种中间状态，好比在 1 时刻，我们知道如果状态},{uduu发生，即前进到]1[d点后，}{dd或者}{ud之一必定会发生，到4实际上+∈=ZFnn)(F可以作更为广泛的理解，它也可以是无限维向量，如果仅仅解释为价格或者收益就和法马(Fama E.)定义的弱的市场效率的基础相吻合，这也是我们这里的定义。这样假定时，我们说滤波是由价格过程产生的。5这里的描述来主要自于 Dothan(1990)和 Rebonato(1998)。
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第十章 随机过程 II：鞅4底是谁，仍然不能够确定；而]1[u点以后的发生的情况则不清楚或者不重要了。因此这些分割就适当地代表了一个动态系统中的 0、完全和部分的信息。我们知道aF比cF精细，而bF是最粗糙的分割，把它们串联起来就有：bF
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第十章 随机过程 II：鞅5每一个元素都赋予同样的数值，那么即使在最后时刻准确地获得了这时的随机变量的值，我们仍然无法了解事件树的演化路径，它所包含的信息内容不比最粗糙的分割bf更多。但是从'x的数值，我们确实可以知道：路径究竟是uu(如果 2 出现)或者dd(-2 出现)还是ud、du(0 出现)。而这正是由'x生成的分割fF所包含的信息内容。不妨再定义一个随机变量函数'''x，它定义股票的价格在 0 时刻为 0，在 0 时刻以后如果第i步出现股票价格上涨，就在原股票价格上加上i(2,1=i)；下降则作类似定义。这样：321})({'''=+=uux；121})({'''8722;=8722;=udx；121})({'''=+8722;=dux；321})({'''8722;=8722;8722;=ddx尽管'''x是一个“路径依赖”(path-dependent)的函数，但根据'''x的取值情况，我们仍然可以确定股票价格的变化路径。显然这时有：axFF=''由于一个随机变量包含了同它生成的分割同样的信息内容，因此可以使用一个新的表述结构。1）假定存在一个随机变量序列)(),...,1(),0(Nxxx，如果每一个)(nx是nF可测的，也就是说它对于 t 时刻的分割中的子集的每一个元素赋予相同的数值，就称该随机变量序列或者随机过程是)(nF适应的。一般说来，如果没有内幕交易的话，我们通常价格过程是)(nF适应的。2)如果一个随机过程中每一个)(nx是)1( 8722;nF可测的，就称它为可料(predictable orprevisible)过程。期间交易过程，即在每一个时刻上的交易策略(trading strategy)的汇总：)}(),...,1(),0({Nθθθθ =就是)1(8722;nF可测的。这是容易理解的，因为投资者一般是根据上一时刻的(价格)信息来决定投资组合并一直保持到本期的。换句话说，投资策略)(niθ是)(nF可料的7。4)然后，是条件数学期望。使用不同时刻的信息集，我们可以推测nS 的未来运动形式，很自然的，这种预测通常采用条件数学期望的形式：10．1．2NnSESEnNN<=),|()(FPP这意味着在n 时刻对 N 时刻的价格预期是基于在该时刻已确知的特定信息集合nF 的。注意在这里我们在期望算子上加的 P 代表这种期望是基于特定概率测度（或者分布）的，在不混淆的情况下它也可以被省略。定义 10．1．1 假定+∈ZnnS )(是滤波空间{}F,,,PF8486;上的一个nF -适应过程，如果：1)无条件的数学期望是有限的，即：+∈∞
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第十章 随机过程 II：鞅6[])|()|(|)(11nnnnnnnnnnSESESSEFFF8722;=8722;++由于nS 是鞅，)(1+nnSE等于nS ，而根据定义nS 是nF 可测的，所以)(nnSE在 n 时刻是已知的，也等于nS ，所以：10．1．40)|(=8710;nnnSEF因此对nS 在下一时间内变化的最好预测就是 0。换句话说，该随机变量的未来运动方向和大小是不可预测的，这就是所谓鞅性(martingale property)。这里nS8710; 被称为鞅差(martingale difference)。显然，鞅差的部分和(partial summation)也是鞅，即：0)|(1=8710;∑=knkknSEF需要强调的是：鞅是用条件期望来定义的，而条件期望的计算总是基于某种概率分布和特定信息集合的，这两点对于决定一个随机过程是不是鞅起关键作用，以后的分析会逐渐揭示这一点。只要对定义 10．1．1 中的第二个条件做适当修改，就可以获得相应的上鞅和下鞅的定义。定义 10．1．2 如果：2')++∈>ZnSSEnnnn,)|(1F，则称随机过程+∈ZnnS )(为下鞅；2")++∈
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第十章 随机过程 II：鞅7],0[.),,(lim),(TtsasXtXts∈8704;=↓ωω就称该随机过程有着右连续样本路径。左连续的概念是类似的。3）正则连续性。我们称一个随机过程),0[)(∞∈ttX为正则右连续的(regular right continuous)，当且仅当它是tF-可测的，并且对于每一个8486;∈ω和),0[ ∞∈t，a)它的样本路径是右连续的：tutXuXtu>=→),,(),(limωωb)存在左极限：tssXtXts<=8722;→),,(lim),(ωω正则左连续的定义是类似的，它们的图形表示如下：XttXtta正则右连续b正则左连续图 10-2 正则右、左连续函数我们用 RCLL（right-continuos with left limits 或者 càdlàg9）表示拥有左极限同时又是右连续的随机过程。接下来我们考察两个随机过程是否相同。考虑定义在同一概率空间上的两个随机过程),0[)(∞∈ttX、),0[)(∞∈ttY，当它们被认为是t和ω 函数时，当且仅当8486;∈∈8704;=ωωω];,0[),()(TtYXtt成立时，我们才能说它们是相同的。但考虑到概率测度P，可以放松一些要求。我们可以提供至少 2 个判断两个随机过程是否“几乎总是相同”(almost the same)的标准：1）当且仅当对于每一个0≥t，有1}{==ttYXP成立时，称它们互相为对方的一个修正(modification)或者一个版本(version)10。2）而当且仅当有1]},0[,{=∈8704;=TtYXPtt成立时，称为它们为是无区别的(indistinguishable)。如果两个过程是无法区别的，则它们一定是对方的一个修正，分之则不真11。但是如果它们具有右连续的样本路径，则反之也成立。现在我们加强信息结构。存在一个滤过的概率空间},,,{FPF8486;，要求它满足以下这些常规条件(usual conditions)：1)σ-代数F是P-完备的，即对于任何F∈A且0)(=AP，对一切AN 8834;都有F∈N成9càdlàg 即 continu à droite, limites à gauche。10或者称两者随机等价(stochastically equivalence)，这时X和Y有相同的有穷维分布函数。11两者之间的细微差异见 Elliott&Kopp(1999)，p102。
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第十章 随机过程 II：鞅8立；2)σ-代数0F包含F的所有P-零集，即对于任何F∈A且0)(=AP，都有0F∈A成立；3)滤波),0[}{∞∈=ttFF是右连续的，即对于所有0>t，都有：Ituut>=FF成立，其中Ituu>F表示对于tu >时的所有uF中最大的σ-域，这个条件说明滤波包含了σ-域的所有不可数集合。接下来我们深入考察随机过程的联合可测性（joint measurability）问题。假定],0[ T是R 中的某个区间，),0( TB是],0[ T中全体 Borel 集构成的σ-代数；用)],0[( TB[[[F 8855;表示乘积σ-代数12。给定任意随机过程],0[)(TttS∈，R→×8486;],0[:TS，如果：1）],0[)(TttS∈在乘积σ-域)],0[( TB[[[F 8855;上是可测的，就称它为可测的。2）],0[)(TttS∈是tF可测的就称],0[)(TttS∈为),0[}{∞∈=ttFF适应的。3）],0[)(TttS∈对于任何],0[ Tt ∈，是在乘积σ-域]),0([ ttB[[[F 8855;上是可测的，就称之为循序可测的(progressively measurable)13。容易知道任何循序可测随机过程均是可测过程，并适应于 F 。一个可测、适应过程有一个循序可测的修正14。我们定义使得所有适应于 F 的随机过程路径为循序可测的最小σ-域为循序σ-域PM(progressiveσ-field)。实际上每个有着左（右）连续样本路径的适应过程都是循序可测的，由此我们还可以有以下子σ-域和相应的随机过程。4）可选σ-域Op(optional σ-field)——使得所有适应于F 的右连续路径为可测的最小σ-域，如果一个过程是Op可测的就被称为可选过程。5）可料σ-域Pr(predictableσ-field)——是使得所有适应于F 的左连续路径为可测的最小σ-域，如果一个过程是Pr可测的就被称为可料过程。实际上就是指在t时刻的值是严格依赖于t时刻以前的信息的。***因为：连续适应过程8658;RCLL 过程8658;循序可测过程8658;可测过程因此可料过程和可选过程必然是循序可测过程，所以上面的σ-域之间有以下嵌套关系：],0[ TBFPMOpPr8855;8834;8834;8834;**nielsen17 543定义 10．1．3 假定),0[)(∞∈ttS是滤波空间{}F,,,PF8486;上的一个适应过程，如果：1)),0[,)(∞∈∞
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