http://72.14.253.160/search?q=cache:6rCqVr0mRRMJ:www.se.cuhk.edu.hk/~seg8107/lecturnotes/editunit1chinese.pdf+%22%E8%B5%8C%E5%8D%9A%E6%94%B6%E7%9B%8A%22+%E4%BF%A1%E6%81%AFji&hl=zh-CN&ct=clnk&cd=3&gl=cn&st_usg=ALhdy295JZvTOQRz0i16ol528LBp1dQ-Qg
决策方法第一单元：不确定条件下的决策要素8226; 即便有很多不确定性，我们还是需要做决策（或者做出选择）。8226; 决策的结果不仅由决策者的行动决定而且也由“自然状态”决定。8226; 让c(x,s)表示在自然状态为s，决策者采取的行动为x时的结果。8226; 1.有以下两个可选择方案，你选择哪个？A.确定得到250RMB;B.以26%的机会获得1000RMB，以74%的机会什么都拿不到。2.有以下两个可选择方案，你选择哪个？A.确定输掉750RMB;B.以75%的机会输掉1000RMB，以25%的机会什么都不失去。8226; 圣.彼得堡矛盾：假定玩一个投掷一个正反两面出现概率都是1/2的硬币游戏，直到第n次出现正面为止。如果第n次出现正面，投掷硬币的人会得到$2n。玩这个游戏的期望收益是多少？要玩这个游戏，你愿意付多少钱？1
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8226; 期望值准则不总是有效！我们需要使用期望效用理论。8226; 决策问题的基本要素：1. 决策者可能采取的行动集,(1,...,x,...,X);2. 问题的可能状态集,(1,...,s,...,S);3. 对于所有x和s组合，相应的结果函数c(x,s)。4. 表示决策者对现实世界状态s可能发生的主观概率函数π(s)；5. 用以衡量决策者对不同结果偏好的基本效用函数（或偏好衡量函数）v(c)。8226; 好的决策总是对一个特定的决策者做出的：– 即便具有相同的信息集，不同的决策者有不同的概率分布函数。概率分布函数是主观的。2
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– 即便有同样的财富，不同决策者总对结果有不同的偏好衡量函数。效用函数是主观的。8226; 当知识不完备时，我们在决策理论中总假定对于主观概率和效用函数的赋值是明确的。8226; 两种类型的决策：最终行动与信息行动。– 最终行动：基于决策者当前知识能导致最终结果的行动。– 信息行动：在做最终行动前关于是否需提高决策者的信息以及怎样提高决策者的信息的决策。8226; 在课程学习中我们认为概率是一种简单的确信。– 一般说来，在可能状态范围上面相对“紧凑”的概率分布表明更强的主观确信，而更“稀松”的概率分布则表明更多的怀疑。– 一般说来决策者具备越多的知识，决策也会做得越好。– 在最终行动前越多的先验怀疑，则额外信息的获取（信息行动）也越重要。3
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8226; 效用函数与期望效用准则– 效用与结果直接相关而与行动间接相关。– 让v(c)表示定义在结果上的偏好衡量函数，让U(x)表示定义在行动上的效用函数。– 在确定性情况下的行动是在不同的结果中选取，而不确定性情况下的行动则是在不同的结果分布(cx1,cx2,...,cxs)中选取，这里cxs是c(x,s)的简写。– 冯.纽曼和摩根斯坦（1944）的“期望效用准则”：U(x) = π1v(cx1) + π2v(cx2) + ... + πsv(cxs)这里π = (π1,π2,...,πs)是状态概率，并且∑si=1πi= 1.8226; 期望效用准则可行的充要条件是v(c)函数能通过对结果赋予“基数”效用来决定。– 基数变量是可以量化的变量。– 不管怎么平行变换基数变量，不同基数变量间的相对大小不变。4
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1-π8727;=1/2π8727;=1/2(π8727;)(m) (C*) (M)25005001000V(C)CVFigure 1: 偏好衡量函数8226; 我们假定决策者能给出一个基数效用：i）让x和y表示两种可能的结果。决策者只能处于以下三种情况中的一种：x 8827; y （决策者偏好x），或者x 8826; y （决策者偏好y）,或者x 8764; y（决策者对x和y的偏好无差异）。ii）让x，y和z表示三种可能的结果。不存在闭环以至于x 8827; y 8827; z 8827; x。8226; 给定一个序数效用比例，现在问题变成如何基化该比例。– 假定结果是决策者可能获得的收入。让m表示最坏的可能结果并且赋予其效用值v(m) = 0。5
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让M表示最好的可能结果，并且赋予其效用值v(M) = 1。– 用彩票参考技术来构造效用偏好衡量函数：对任何给定在m 与M之间的值c8727;，考虑这样的选择，确定性得到c8727;和一个赌博游戏以概率π得到M以及以概率1-π得到m。调整π的取值使得决策者对于以上两种选择感觉到无差异时把这时的π记做π8727;。无差异性导致v(c8727;) = π8727;v(M) + (1 8722; π8727;)v(m) = π8727;– 只要决策者由基数偏好比例出发，以上用来衡量效用的彩票参考技术能被应用到结果c是更一般结果的情况下（而不必仅仅是一种收入的形式）。8226; 效用函数提供了（i）对结果或者不确定性事件的一种排序;（ii）一种对不同结果偏好程度大小的衡量。让x和y表示两种可能的结果。1. x 8827; y （决策者偏好x）当且仅当v(x) > v(y)。6
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2. x 8826; y （决策者偏好y）当且仅当v(x) < v(y)。3. x 8764; y（决策者对x和y的偏好无差异）当且仅当v(x) = v(y)。8226; 如果v(c)是一个偏好衡量函数，那么对任何的常数α和正常数β，v(c) = α + βv(c)也是一个有效的偏好衡量函数。8226; 在不确定情况下选择一个最好的行动也就是选择一个最大化期望效用函数的行动。8226; 效用函数公理– 8827;表示强偏好，而8764;表示偏好无差异。– (x,z;π,1 8722; π)表示一种以概率π得到x，以概率1 - π得到z的彩票。– 如果x 8827; z，那么(x,z;π1,18722;π1) 8827; (x,z;π2,18722;π2) 当且仅当π1> π2。– 无补充性：如果 x 8764; y,那么： (x,z;π,1 8722; π) 8764; (y,z;π,1 8722; π)如果 x 8827; y,7
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1-π2彩票1-ππ2MmMmπ1-π1π彩票彩票Figure 2: 复合彩票的树形图那么： (x,z;π,1 8722; π) 8827; (y,z;π,1 8722; π)– 可替换性：如果c18764; (M,m;π1,18722;π1)，那么(c1,c2;π,18722;π)8764; ((M,m;π1,1 8722; π1),c2;π,1 8722; π)。– 基于可替换性准则，任何复杂的彩票都可以被简化到只有两个状态的最简单的形式，一个产生最好的结果，一个产生最坏的结果。8226; 期望货币价值（EMV）：假定有一个不确定事件可以概率πi获得xi，i = 1，2，...，n。该不确定事件的EMV等于∑ni=1πixi。8226; 确定性等值（CE）：假定有一个不确定事件可8
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以概率πi获得xi，满足下面式子的q被称作该不确定事件的确定性等值。v(q) =n∑i=1πiv(xi)换句话说，决策者对于确定得到q和加入不确定事件没有感觉到差异：不确定事件的期望效用＝确定性等值的效用8226; 当决策者当前的财富不一样的时候，偏好可能发生改变。例子：一个具有效用函数v(x) = lnx的决策者，面临以下两个选择。这里x是他的总财富：– A：以0.2的概率赢$10,000以及以0.8的概率赢$1,000。– B：以0.9的概率赢$3,000以及以0.1的概率输$2,000。1. 如果该决策者当前有$2,500的财富，他将会选择方案A，这是因为U(A) = 0.2v(12,500) + 0.8v(3,500) = 8.415> U(B) = 0.9v(5,500) + 0.1v(500) = 8.373– A的CE值：v8722;1(8.415) - 2500 = 2014.289
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– B的CE值：v8722;1(8.373) - 2500 = 1828.602. 如果该决策者当前有$5,000的财富，他将会选择方案B，这是因为U(A) = 0.2v(15,000) + 0.8v(6,000) = 8.883< U(B) = 0.9v(8,000) + 0.1v(3,000) = 8.889– A的CE值：v8722;1(8.883) - 5000 = 2208.38– B的CE值：v8722;1(8.889) - 5000 = 2251.763. 如果该决策者当前有$10,000的财富，他将会选择方案A，这是因为U(A) = 0.2v(20,000) + 0.8v(11,000) = 9.4254> U(B) = 0.9v(13,000) + 0.1v(8,000) = 9.4244– A的CE值：v8722;1(9.4254) - 10,000 = 2399.36– B的CE值：uv8722;1(9.4244) - 10,000 = 2386.97为什么在不同的財富下會选择不同方案A 或B？8226; 风险态度：1. 如果决策者从不认为任何不确定性事件优于其EMV，也就是该决策者的CE值总是小于EMV值时，那么该决策者是风险厌恶的。（如果决10
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VC10007505002500V (C)1KTJHRYNWLV2 (C)V3 (C)Figure 3: 面对风险的态度11
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策者偏好确定性的结果而不是偏好数学期望与之等值的不确定性结果，那么该决策者是风险厌恶的。）2. 如果决策者认为每一个不确定性事件都比其EMV要好，也就是该决策者的CE值总是大于EMV值时，那么该决策者是风险爱好的。（如果决策者不偏好确定性的结果而偏好数学期望与之等值的不确定性结果，那么该决策者是风险爱好的。）3. 如果决策者总是用EMV来衡量每一个不确定性事件，也就是该决策者的CE值总是等于EMV值，那么该决策者是风险中性的。（如果决策者对确定性的结果与数学期望与之等值的不确定性结果具有无差异的偏好，那么该决策者是风险中性的。）8226; 风险态度与效用函数的关系：1. 如果决策者的效用函数是凹的，那么他/她是风险厌恶的（曲线开口向下）。2. 如果决策者的效用函数是凸的，那么他/她是风险爱好的（曲线开口向上）。3. 如果决策者的效用函数是线性的，那么他/她12
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是风险中性的。8226; “公平博弈”用来描述数学期望为0的未来不确定性事件。8226; 风险厌恶的人会拒绝“公平博弈”游戏；风险爱好的人会接受“公平博弈”游戏；风险中性的人对“公平博弈”偏好无差异。8226; 风险价值 = EMV - CE8226; 例子：假定一个人的效用函数是v = w1/2，他的总财富是$250,000，其中$160,000是他房屋的价值。他房屋遭受火灾损毁的概率为10% 。参加火灾保险保障其房屋受火灾损毁时他能得到赔偿。他愿意为此付出最大的费用（也叫保费）是多少？决策理论在保险市场中的应用8226; 假定在任何时刻t，两种可能的状态s1和s2之一发生。这里s1是正常的状态，而s2是意外事故发生的状态。8226; wi表示决策者在状态si的财富，i = 1,2。13
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8226; 决策者的效用函数为v(w)，它与状态无关。8226; 效用函数是财富的增函数。→ v > 0。8226; 假定决策者是风险厌恶的。→ v < 0。8226; 状态s1发生的概率是π1。8226; 决策者想最大化的期望效用函数是U = π1v(w1) + (1 8722; π1)v(w2)8226; w18722; w2平面上的无差异曲线：U = π1v(w1) + (1 8722; π1)v(w2) = 常数决策者在无差异曲线上的任何两点的偏好都一样。8226; 无差异曲线有负斜率。dw2dw1= 8722;π11 8722; π1v (w1)v (w2)< 014
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w1w2UIUIUI I011842;4462;13459;乘12651;13459;Figure 4: 保险市场的无差异曲线15
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8226; 当决策者是风险厌恶时，无差异曲线是凸的，d(w2)2d2w1=π11 8722; π1[8722;v (w1)v (w2)+v (w1)[v (w2)]2v (w2)dw2dw1] > 08226; w18722; w2平面上的45度直线被称作确定线 （财富不因现实生活中状态改变而改变）。8226; 在确定线上，不同的无差异曲线有相同的斜率，8722;π118722;π1。8226; 保费：为了免遭风险的损失，决策者愿意付出的最大费用＝决策者从(w1,w2)移动到与之效用值相同的确定线上的点所付出的费用。8226; 保险政策：– 如果事故发生，被保险方得到赔偿。– 如果事故不发生，被保险方损失保费。8226; 假定一个保险公司为$1的保费提供价值为$a的保险。8226; 如果一个保险合同的期望利润为0，那么该保险交易是公平的，16
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(1 8722; π1)a 8722; π1= 0i.e.,a =π11 8722; π18226; 决策者的预算线以斜率8722;π118722;π1穿过他/她当前的位置(w1,w2))，w2=w28722;π11 8722; π1(w18722; w1)8226; 公平保费比决策者愿意付出的最大费用(保费)要小。风险条件下最优决策的比较统计量8226; 个体在风险情况下的最优决策与其风险态度紧密相关。8226; 我们必须考虑风险态度如何随着财富的变化。17
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8226; 决策者的绝对风险厌恶系数：A(c) =8722;v (c)v (c)8226; 当且仅当函数A(c)是增（减）函数的时候，决策者表现出对绝对风险厌恶的增加（减少)。18
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特定的效用函数8226; 风险承担与指数效用函数假定决策者相信其效用可以由指数效用函数表达：U(x) = 1 8722; e8722;x/R参数R被称作决定风险厌恶效用函数的风险承担。R值越大，指数效用函数越平坦；R值越小，指数效用函数越凹（或者说更加风险厌恶）。– 如何确定R的值？考虑如下赌博问题：以0.5的概率赢得$Y ，以及以0.5的概率输掉$Y/2。风险承担R近似等于在所有你宁愿参加该赌博而不愿意放弃该赌博的Y 值中的最大者。假定收益的期望值和方差分别是µ和σ2。那么，当效用函数是指数形式时。CE ≈ µ 8722;0.5σ2R19
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8226; 递减的风险厌恶与对数效用函数如果一个决策者显示出递减的风险厌恶偏好，那么在赌博收益中加入一常量值时风险价值是递减的。换句话说，递减的风险厌恶意味着你钱越多，你对打赌越无所谓。如果U(x) = lnx，那么我们有如下的表格，50-50期望 确定 风险赌博置于 值 等值 价值10, 4025 20.00 5.0020,5035 31.62 3.3830,6045 42.43 2.5740,7055 52.92 2.0820
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8226; 常数风险厌恶与对数效用函数如果决策者对于一个赌博的风险价值不依赖于其持有的初始财富，那么我们说该决策者具有常数风险厌恶。换句话说，具有常数风险厌恶系数的决策者只对博弈本身感兴趣而不考虑其本身具有的财富。如果一个决策者为常数风险厌恶，那么其效用函数是以下形式：U(x) = 1 8722; e8722;x/R如果R = 35，那么我们有以下表格：50-50期望 确定 风险赌博置于 值 等值 价值10, 4025 21.88 3.1220, 5035 31.88 3.1230, 6045 41.88 3.1240, 7055 51.88 3.1221
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8226; 捐赠效应：财富的增加必定使得至少有一个状态t的最优消费量增加。8658; 从风险承担基本定理：π1v (c1)P1=π2v (c2)P2= ... =πSv (cS)PS= λ可知, 如决策者风险厌恶，λ将下降。8658; 当ct增加时，对于每一个s = t的状态，cs也会增加。8658;更进一步，在绝对风险厌恶递减（递增）的假定下，任何两个不同状态的最优消费量差的绝对值，|c8727;t8722; c8727;s|增加（减少）。8226; “纯替代效应”：假定状态s的消费价格Ps上涨，那么它对其消费量cs有负面影响而对其他所有t = s的ct有正面影响。22
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C1NL0C2C*5078;3342;13459;45011842;4462;13459;BDNÿLÿE3E1E2C**'CCCFigure 5: 财富效应23
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8226; 随机占优：是一种特定的条件，在该条件下能断定由一消费向量决定的未来预期比另外一种好。– 给定以下两个概率分布函数：F(c) = Prob{732;c110877; c}G(c) = Prob{732;c210877; c}– 定义。一阶随机占优：如果对所有的c，F(c) 10877;G(c) 且不等式对某些特定的区间严格成立，那么我们说分布F一阶随机占优G。– 排序定理I。对所有单调递增，分段可微函数v(c)，如果F一阶随机占优G，那么EF{v(c)} > EG{v(c)}– 定义。二阶随机占优。如果对于所有的c，∫c8722;∞F(r)dr 10877;∫c8722;∞G(r)dr且不等式至少在某一个特定区间严格成立，那么我们说分布F二阶随机占优分布G。– 排序定理II。对所有单调递增，分段可微的凹函数v(c)，如果F 二阶随即占优G，那么EF{v(c)} > EG{v(c)}24
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CCG(C)H(C)F(C)01Figure 6: 一阶和二阶随机占优25
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VV( )V( )01)(VF)(VHPFigure 7: 概率分布和期望值26
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风险承担：个体的最优决策基本分析8226; 不确定条件下个体的最优行动－“风险承担的最优性”－包括选择未来预期x ≡ (c,π) ≡(c1,...,cS,π1,...,πS) 这里cs是状态相关的结果而πs为状态概率。8226; 在不含信息行动的情况下，π 是常数，唯一的决策变量是c。8226; 风险承担的最优性：两状态情况下的基本分析– c18722; c2平面上的无差异曲线：U ≡ π1v(c1) + π2v(c2), 这里 π1+ π2= 1描述了所有具有相同偏好的不同c18722; c2组合的集合。– 注意到v是一个增函数。那么，随着U的增加，无差异曲线簇往右上方移动。– 消费的边际替代率：M(c1,c2) ≡ 8722;dc2dc1|U=常数≡π1v (c1)π2v (c2)27
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45C^2N’L’C2C2NLC1C1C*CCU1U2U3U4Figure 8: 个人最优28
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– 无差异曲线具有负斜率：dc2dc1= 8722;π1π2v (c1)v (c2)< 0– c18722; c2上的45度线被称作确定线（财富不因现实生活的状态改变而改变）。– 沿着确定线，所有无差异曲线具有相同的斜率，i.e.，dc2dc1= 8722;π1π2– 由于d(c2)2d2c1=π1π2[8722;v (c1)v (c2)+v (c1)[v (c2)]2v (c2)dc2dc1]当决策者是风险厌恶时，无差异曲线是凸的；当决策者是风险爱好时，无差异曲线是凹的。– 对于c18722; c2组合有相同数学期望的直线是：π1c1+ π2c2=c ← 常数29
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– 当决策者是风险厌恶时，他对拥有确定收入c比拥有其它任何具有相同数学期望的c18722;c2组合要偏好。– 以Pi表示状态i时的单位收入价格. 不同状态下的收入ci可以根据其价格比例进行交易。– 预算线：P1c1+ P2c2=P ← 常数– 在有限预算的条件下最大化期望效用，我们有以下无差异曲线切线条件：π1v (c1)π2v (c2)=P1P2在个体风险承担最优准则下，不同状态下的最优拥有量使得边际效用的概率加权比率与状态价格的比率相同。– 推广到S个状态。最优风险承担的基本定理：π1v (c1)P1=π2v (c2)P2= ... =πSv (cS)PS在个体风险承担最优准则下，单位收入的期望效用（加权概率）在所有状态都相等。30
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8226; 风险厌恶（具有凸的无差异曲线）导致分散的投资组合。而风险爱好（具有凹的无差异曲线）导致集中的投资组合。31
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这里q1和q2是持有的两种资产的数量，而¯W是决策者具有的财富。– 投资组合的或有收入：(c1,c2) = q1(z11,z12) + q2(z21,z22)= κ1(¯W/PA1)(z11,z12) + κ2(¯W/PA2)(z21,z22)这里κ1+ κ2= 1– 求解maxκ1,κ2U = π1v(c1) + π2v(c2)subject to κ1+ κ2= 1有以下一阶最优条件：∑sπsv (cs)z1sPA1=∑sπsv (cs)z2sPA2在最优条件时，决策者在每一种资产上都有相同的期望边际效用。– 资产市场的风险承担定理：∑sπsv (cs)z1sPA1=∑sπsv (cs)z2sPA2= ... =∑sπsv (cs)zAsPAA33
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CEC*C2C1Y’YCUFigure 10: 生产风险的承担8226; 风险承担最优性：生产机会– 为了在市场上做出考虑风险的决策，有时也有必要通过生产的调整来减少风险。– 假定生产机会限制为F(y1,y2) = 0。那么最优性条件为8706;F/8706;y18706;F/8706;y2= 8722;dy2dy1|F= 8722;dc2dc1|U=π1v (c1)π2v (c2)34
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CEC2C1Y’C*MM’Y*YFigure 11: 生产与消费风险的承担– 决策者生产与消费的最优条件：8722;dy2dy1|F=P1P2= 8722;dc2dc1|U状态相关的效用– 有时候个人的效用函数v(c)会与现实生活的状态相关。– 我们扩展效用函数到具有形式v(c,h)，这里c仍然表示结果而h则表示相应的状态。35
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Cl=1/2CCdClVVl( C) =V(C,0)Vd( C)=V(C,0)d=1/2Figure 12: 状态相关的效用－互补的偏好36
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– 状态相关效用下的风险决策：π1v (c1,h1)Ph1=π2v (c2,h2)Ph2选择收入均值与标准差的组合– 我们已经把不确定条件下的决策描述成从未来可能的行动或收益x = (c1,...,cS;π1,...,πS)中进行选择－包含现实生活中每个状态的或有消费以及状态置信的概率分布。– 还有一种在金融理论与实践中被证实很有效的风险下决策的方法: 均值-方差法。– 该方法假定，对任何个体而言，任何未来收入的概率分布能被两个统计量：收入的均值与方差有效表示。– 我们假定决策者偏好更高的平均收入，由µ(c)表示；以及偏好更少的收入变动，由标准差σ(c)表示。– 当我们把U = Ev(c)转换成仅仅是µ(c)和σ(c)的函数时，有一些信息被丢失。这样做的道理37
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)(cσ''µ)(cµ0'=σ''σ''µH*N‘‘N‘KUIUIUI IFigure 13: 无风险与有风险资产的组合38
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是什么？– 在Ec = µ对v(c)进行泰勒展开：v(c) = v(µ) +v (µ)1!(c 8722; µ) +v (µ)2!(c 8722; µ)2+v (µ)3!(c 8722; µ)3+ ...U = Ev(732;c) = v(µ)+v (µ)2!+v (µ)3!E(c8722;µ)3+...8727; 如果v(c) = K0+K1c8722;12K2c2，那么U = K0+K1µ 8722;12K2(µ2+ σ2)。然而，二次函数v(c)在经济上应用存在不少问题。8727; 中心极限定理表明，任何N个随机变量只要不完全相关，那么随着N的增大，N个随机变量之和将趋于正态分布。正态分布能被其均值与方差完全刻画。基于中心极限定理，采用正态分布作为近似是很多问题的通用作法。8727; 三阶距E(c 8722; µ)3是倾斜度的衡量：如果一个分布的两个“尾巴”是对称的，那么其斜度为0；如果分布的“左尾”是肥胖的而“右尾”是廋长的，那么其斜度是正的；如果恰恰相反，那么其斜度是负的。现实生活中对正斜度的偏好表明个体的现实投资组合通常没有很好的对称分39
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布。8727; 虽然均值－方差方法有这样那样的问题，但是由于它只要求分布的首两阶距，它仍然不失为一种管理上的好的近似方法。– 以732;za表示持有单位资产a产生的收益。定义µa= E(732;za)σa= [E(732;za8722; µa)2]1/2σab= E[(732;za8722; µa)(732;zb8722; µb)]– 考虑对每一种资产，a = 1, ..., A含有qa单位的投资组合，其均值与方差可由以下式子给出µ =A∑a=1qaµaσ = [A∑a=1A∑b=1(qaσabqb)]1/2= [A∑a=1A∑b=1(qaσaρabσbqb)]1/2这里ρab=σabσaσb是732;za与732;zb之间的相关系数。– 共同基金定理。如果个人的偏好是倾向于大的µ和小的σ，并且如果存在单一无风险资产以及一些风险资产，那么在均衡情况下资产的价格将使得每一个人都愿意买相同比率的风险资产。40
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σµN‘H*GN‘‘N‘‘‘DFNUIUIUI IFigure 14: 共同基金定理41
决策方法第一单元：不确定条件下的决策要素8226; 即便有很多不确定性，我们还是需要做决策（或者做出选择）。8226; 决策的结果不仅由决策者的行动决定而且也由“自然状态”决定。8226; 让c(x,s)表示在自然状态为s，决策者采取的行动为x时的结果。8226; 1.有以下两个可选择方案，你选择哪个？A.确定得到250RMB;B.以26%的机会获得1000RMB，以74%的机会什么都拿不到。2.有以下两个可选择方案，你选择哪个？A.确定输掉750RMB;B.以75%的机会输掉1000RMB，以25%的机会什么都不失去。8226; 圣.彼得堡矛盾：假定玩一个投掷一个正反两面出现概率都是1/2的硬币游戏，直到第n次出现正面为止。如果第n次出现正面，投掷硬币的人会得到$2n。玩这个游戏的期望收益是多少？要玩这个游戏，你愿意付多少钱？1
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8226; 期望值准则不总是有效！我们需要使用期望效用理论。8226; 决策问题的基本要素：1. 决策者可能采取的行动集,(1,...,x,...,X);2. 问题的可能状态集,(1,...,s,...,S);3. 对于所有x和s组合，相应的结果函数c(x,s)。4. 表示决策者对现实世界状态s可能发生的主观概率函数π(s)；5. 用以衡量决策者对不同结果偏好的基本效用函数（或偏好衡量函数）v(c)。8226; 好的决策总是对一个特定的决策者做出的：– 即便具有相同的信息集，不同的决策者有不同的概率分布函数。概率分布函数是主观的。2
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– 即便有同样的财富，不同决策者总对结果有不同的偏好衡量函数。效用函数是主观的。8226; 当知识不完备时，我们在决策理论中总假定对于主观概率和效用函数的赋值是明确的。8226; 两种类型的决策：最终行动与信息行动。– 最终行动：基于决策者当前知识能导致最终结果的行动。– 信息行动：在做最终行动前关于是否需提高决策者的信息以及怎样提高决策者的信息的决策。8226; 在课程学习中我们认为概率是一种简单的确信。– 一般说来，在可能状态范围上面相对“紧凑”的概率分布表明更强的主观确信，而更“稀松”的概率分布则表明更多的怀疑。– 一般说来决策者具备越多的知识，决策也会做得越好。– 在最终行动前越多的先验怀疑，则额外信息的获取（信息行动）也越重要。3
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8226; 效用函数与期望效用准则– 效用与结果直接相关而与行动间接相关。– 让v(c)表示定义在结果上的偏好衡量函数，让U(x)表示定义在行动上的效用函数。– 在确定性情况下的行动是在不同的结果中选取，而不确定性情况下的行动则是在不同的结果分布(cx1,cx2,...,cxs)中选取，这里cxs是c(x,s)的简写。– 冯.纽曼和摩根斯坦（1944）的“期望效用准则”：U(x) = π1v(cx1) + π2v(cx2) + ... + πsv(cxs)这里π = (π1,π2,...,πs)是状态概率，并且∑si=1πi= 1.8226; 期望效用准则可行的充要条件是v(c)函数能通过对结果赋予“基数”效用来决定。– 基数变量是可以量化的变量。– 不管怎么平行变换基数变量，不同基数变量间的相对大小不变。4
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1-π8727;=1/2π8727;=1/2(π8727;)(m) (C*) (M)25005001000V(C)CVFigure 1: 偏好衡量函数8226; 我们假定决策者能给出一个基数效用：i）让x和y表示两种可能的结果。决策者只能处于以下三种情况中的一种：x 8827; y （决策者偏好x），或者x 8826; y （决策者偏好y）,或者x 8764; y（决策者对x和y的偏好无差异）。ii）让x，y和z表示三种可能的结果。不存在闭环以至于x 8827; y 8827; z 8827; x。8226; 给定一个序数效用比例，现在问题变成如何基化该比例。– 假定结果是决策者可能获得的收入。让m表示最坏的可能结果并且赋予其效用值v(m) = 0。5
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让M表示最好的可能结果，并且赋予其效用值v(M) = 1。– 用彩票参考技术来构造效用偏好衡量函数：对任何给定在m 与M之间的值c8727;，考虑这样的选择，确定性得到c8727;和一个赌博游戏以概率π得到M以及以概率1-π得到m。调整π的取值使得决策者对于以上两种选择感觉到无差异时把这时的π记做π8727;。无差异性导致v(c8727;) = π8727;v(M) + (1 8722; π8727;)v(m) = π8727;– 只要决策者由基数偏好比例出发，以上用来衡量效用的彩票参考技术能被应用到结果c是更一般结果的情况下（而不必仅仅是一种收入的形式）。8226; 效用函数提供了（i）对结果或者不确定性事件的一种排序;（ii）一种对不同结果偏好程度大小的衡量。让x和y表示两种可能的结果。1. x 8827; y （决策者偏好x）当且仅当v(x) > v(y)。6
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2. x 8826; y （决策者偏好y）当且仅当v(x) < v(y)。3. x 8764; y（决策者对x和y的偏好无差异）当且仅当v(x) = v(y)。8226; 如果v(c)是一个偏好衡量函数，那么对任何的常数α和正常数β，v(c) = α + βv(c)也是一个有效的偏好衡量函数。8226; 在不确定情况下选择一个最好的行动也就是选择一个最大化期望效用函数的行动。8226; 效用函数公理– 8827;表示强偏好，而8764;表示偏好无差异。– (x,z;π,1 8722; π)表示一种以概率π得到x，以概率1 - π得到z的彩票。– 如果x 8827; z，那么(x,z;π1,18722;π1) 8827; (x,z;π2,18722;π2) 当且仅当π1> π2。– 无补充性：如果 x 8764; y,那么： (x,z;π,1 8722; π) 8764; (y,z;π,1 8722; π)如果 x 8827; y,7
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1-π2彩票1-ππ2MmMmπ1-π1π彩票彩票Figure 2: 复合彩票的树形图那么： (x,z;π,1 8722; π) 8827; (y,z;π,1 8722; π)– 可替换性：如果c18764; (M,m;π1,18722;π1)，那么(c1,c2;π,18722;π)8764; ((M,m;π1,1 8722; π1),c2;π,1 8722; π)。– 基于可替换性准则，任何复杂的彩票都可以被简化到只有两个状态的最简单的形式，一个产生最好的结果，一个产生最坏的结果。8226; 期望货币价值（EMV）：假定有一个不确定事件可以概率πi获得xi，i = 1，2，...，n。该不确定事件的EMV等于∑ni=1πixi。8226; 确定性等值（CE）：假定有一个不确定事件可8
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以概率πi获得xi，满足下面式子的q被称作该不确定事件的确定性等值。v(q) =n∑i=1πiv(xi)换句话说，决策者对于确定得到q和加入不确定事件没有感觉到差异：不确定事件的期望效用＝确定性等值的效用8226; 当决策者当前的财富不一样的时候，偏好可能发生改变。例子：一个具有效用函数v(x) = lnx的决策者，面临以下两个选择。这里x是他的总财富：– A：以0.2的概率赢$10,000以及以0.8的概率赢$1,000。– B：以0.9的概率赢$3,000以及以0.1的概率输$2,000。1. 如果该决策者当前有$2,500的财富，他将会选择方案A，这是因为U(A) = 0.2v(12,500) + 0.8v(3,500) = 8.415> U(B) = 0.9v(5,500) + 0.1v(500) = 8.373– A的CE值：v8722;1(8.415) - 2500 = 2014.289
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– B的CE值：v8722;1(8.373) - 2500 = 1828.602. 如果该决策者当前有$5,000的财富，他将会选择方案B，这是因为U(A) = 0.2v(15,000) + 0.8v(6,000) = 8.883< U(B) = 0.9v(8,000) + 0.1v(3,000) = 8.889– A的CE值：v8722;1(8.883) - 5000 = 2208.38– B的CE值：v8722;1(8.889) - 5000 = 2251.763. 如果该决策者当前有$10,000的财富，他将会选择方案A，这是因为U(A) = 0.2v(20,000) + 0.8v(11,000) = 9.4254> U(B) = 0.9v(13,000) + 0.1v(8,000) = 9.4244– A的CE值：v8722;1(9.4254) - 10,000 = 2399.36– B的CE值：uv8722;1(9.4244) - 10,000 = 2386.97为什么在不同的財富下會选择不同方案A 或B？8226; 风险态度：1. 如果决策者从不认为任何不确定性事件优于其EMV，也就是该决策者的CE值总是小于EMV值时，那么该决策者是风险厌恶的。（如果决10
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VC10007505002500V (C)1KTJHRYNWLV2 (C)V3 (C)Figure 3: 面对风险的态度11
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策者偏好确定性的结果而不是偏好数学期望与之等值的不确定性结果，那么该决策者是风险厌恶的。）2. 如果决策者认为每一个不确定性事件都比其EMV要好，也就是该决策者的CE值总是大于EMV值时，那么该决策者是风险爱好的。（如果决策者不偏好确定性的结果而偏好数学期望与之等值的不确定性结果，那么该决策者是风险爱好的。）3. 如果决策者总是用EMV来衡量每一个不确定性事件，也就是该决策者的CE值总是等于EMV值，那么该决策者是风险中性的。（如果决策者对确定性的结果与数学期望与之等值的不确定性结果具有无差异的偏好，那么该决策者是风险中性的。）8226; 风险态度与效用函数的关系：1. 如果决策者的效用函数是凹的，那么他/她是风险厌恶的（曲线开口向下）。2. 如果决策者的效用函数是凸的，那么他/她是风险爱好的（曲线开口向上）。3. 如果决策者的效用函数是线性的，那么他/她12
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是风险中性的。8226; “公平博弈”用来描述数学期望为0的未来不确定性事件。8226; 风险厌恶的人会拒绝“公平博弈”游戏；风险爱好的人会接受“公平博弈”游戏；风险中性的人对“公平博弈”偏好无差异。8226; 风险价值 = EMV - CE8226; 例子：假定一个人的效用函数是v = w1/2，他的总财富是$250,000，其中$160,000是他房屋的价值。他房屋遭受火灾损毁的概率为10% 。参加火灾保险保障其房屋受火灾损毁时他能得到赔偿。他愿意为此付出最大的费用（也叫保费）是多少？决策理论在保险市场中的应用8226; 假定在任何时刻t，两种可能的状态s1和s2之一发生。这里s1是正常的状态，而s2是意外事故发生的状态。8226; wi表示决策者在状态si的财富，i = 1,2。13
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8226; 决策者的效用函数为v(w)，它与状态无关。8226; 效用函数是财富的增函数。→ v > 0。8226; 假定决策者是风险厌恶的。→ v < 0。8226; 状态s1发生的概率是π1。8226; 决策者想最大化的期望效用函数是U = π1v(w1) + (1 8722; π1)v(w2)8226; w18722; w2平面上的无差异曲线：U = π1v(w1) + (1 8722; π1)v(w2) = 常数决策者在无差异曲线上的任何两点的偏好都一样。8226; 无差异曲线有负斜率。dw2dw1= 8722;π11 8722; π1v (w1)v (w2)< 014
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w1w2UIUIUI I011842;4462;13459;乘12651;13459;Figure 4: 保险市场的无差异曲线15
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8226; 当决策者是风险厌恶时，无差异曲线是凸的，d(w2)2d2w1=π11 8722; π1[8722;v (w1)v (w2)+v (w1)[v (w2)]2v (w2)dw2dw1] > 08226; w18722; w2平面上的45度直线被称作确定线 （财富不因现实生活中状态改变而改变）。8226; 在确定线上，不同的无差异曲线有相同的斜率，8722;π118722;π1。8226; 保费：为了免遭风险的损失，决策者愿意付出的最大费用＝决策者从(w1,w2)移动到与之效用值相同的确定线上的点所付出的费用。8226; 保险政策：– 如果事故发生，被保险方得到赔偿。– 如果事故不发生，被保险方损失保费。8226; 假定一个保险公司为$1的保费提供价值为$a的保险。8226; 如果一个保险合同的期望利润为0，那么该保险交易是公平的，16
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(1 8722; π1)a 8722; π1= 0i.e.,a =π11 8722; π18226; 决策者的预算线以斜率8722;π118722;π1穿过他/她当前的位置(w1,w2))，w2=w28722;π11 8722; π1(w18722; w1)8226; 公平保费比决策者愿意付出的最大费用(保费)要小。风险条件下最优决策的比较统计量8226; 个体在风险情况下的最优决策与其风险态度紧密相关。8226; 我们必须考虑风险态度如何随着财富的变化。17
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8226; 决策者的绝对风险厌恶系数：A(c) =8722;v (c)v (c)8226; 当且仅当函数A(c)是增（减）函数的时候，决策者表现出对绝对风险厌恶的增加（减少)。18
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特定的效用函数8226; 风险承担与指数效用函数假定决策者相信其效用可以由指数效用函数表达：U(x) = 1 8722; e8722;x/R参数R被称作决定风险厌恶效用函数的风险承担。R值越大，指数效用函数越平坦；R值越小，指数效用函数越凹（或者说更加风险厌恶）。– 如何确定R的值？考虑如下赌博问题：以0.5的概率赢得$Y ，以及以0.5的概率输掉$Y/2。风险承担R近似等于在所有你宁愿参加该赌博而不愿意放弃该赌博的Y 值中的最大者。假定收益的期望值和方差分别是µ和σ2。那么，当效用函数是指数形式时。CE ≈ µ 8722;0.5σ2R19
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8226; 递减的风险厌恶与对数效用函数如果一个决策者显示出递减的风险厌恶偏好，那么在赌博收益中加入一常量值时风险价值是递减的。换句话说，递减的风险厌恶意味着你钱越多，你对打赌越无所谓。如果U(x) = lnx，那么我们有如下的表格，50-50期望 确定 风险赌博置于 值 等值 价值10, 4025 20.00 5.0020,5035 31.62 3.3830,6045 42.43 2.5740,7055 52.92 2.0820
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8226; 常数风险厌恶与对数效用函数如果决策者对于一个赌博的风险价值不依赖于其持有的初始财富，那么我们说该决策者具有常数风险厌恶。换句话说，具有常数风险厌恶系数的决策者只对博弈本身感兴趣而不考虑其本身具有的财富。如果一个决策者为常数风险厌恶，那么其效用函数是以下形式：U(x) = 1 8722; e8722;x/R如果R = 35，那么我们有以下表格：50-50期望 确定 风险赌博置于 值 等值 价值10, 4025 21.88 3.1220, 5035 31.88 3.1230, 6045 41.88 3.1240, 7055 51.88 3.1221
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8226; 捐赠效应：财富的增加必定使得至少有一个状态t的最优消费量增加。8658; 从风险承担基本定理：π1v (c1)P1=π2v (c2)P2= ... =πSv (cS)PS= λ可知, 如决策者风险厌恶，λ将下降。8658; 当ct增加时，对于每一个s = t的状态，cs也会增加。8658;更进一步，在绝对风险厌恶递减（递增）的假定下，任何两个不同状态的最优消费量差的绝对值，|c8727;t8722; c8727;s|增加（减少）。8226; “纯替代效应”：假定状态s的消费价格Ps上涨，那么它对其消费量cs有负面影响而对其他所有t = s的ct有正面影响。22
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C1NL0C2C*5078;3342;13459;45011842;4462;13459;BDNÿLÿE3E1E2C**'CCCFigure 5: 财富效应23
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8226; 随机占优：是一种特定的条件，在该条件下能断定由一消费向量决定的未来预期比另外一种好。– 给定以下两个概率分布函数：F(c) = Prob{732;c110877; c}G(c) = Prob{732;c210877; c}– 定义。一阶随机占优：如果对所有的c，F(c) 10877;G(c) 且不等式对某些特定的区间严格成立，那么我们说分布F一阶随机占优G。– 排序定理I。对所有单调递增，分段可微函数v(c)，如果F一阶随机占优G，那么EF{v(c)} > EG{v(c)}– 定义。二阶随机占优。如果对于所有的c，∫c8722;∞F(r)dr 10877;∫c8722;∞G(r)dr且不等式至少在某一个特定区间严格成立，那么我们说分布F二阶随机占优分布G。– 排序定理II。对所有单调递增，分段可微的凹函数v(c)，如果F 二阶随即占优G，那么EF{v(c)} > EG{v(c)}24
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CCG(C)H(C)F(C)01Figure 6: 一阶和二阶随机占优25
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VV( )V( )01)(VF)(VHPFigure 7: 概率分布和期望值26
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风险承担：个体的最优决策基本分析8226; 不确定条件下个体的最优行动－“风险承担的最优性”－包括选择未来预期x ≡ (c,π) ≡(c1,...,cS,π1,...,πS) 这里cs是状态相关的结果而πs为状态概率。8226; 在不含信息行动的情况下，π 是常数，唯一的决策变量是c。8226; 风险承担的最优性：两状态情况下的基本分析– c18722; c2平面上的无差异曲线：U ≡ π1v(c1) + π2v(c2), 这里 π1+ π2= 1描述了所有具有相同偏好的不同c18722; c2组合的集合。– 注意到v是一个增函数。那么，随着U的增加，无差异曲线簇往右上方移动。– 消费的边际替代率：M(c1,c2) ≡ 8722;dc2dc1|U=常数≡π1v (c1)π2v (c2)27
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45C^2N’L’C2C2NLC1C1C*CCU1U2U3U4Figure 8: 个人最优28
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– 无差异曲线具有负斜率：dc2dc1= 8722;π1π2v (c1)v (c2)< 0– c18722; c2上的45度线被称作确定线（财富不因现实生活的状态改变而改变）。– 沿着确定线，所有无差异曲线具有相同的斜率，i.e.，dc2dc1= 8722;π1π2– 由于d(c2)2d2c1=π1π2[8722;v (c1)v (c2)+v (c1)[v (c2)]2v (c2)dc2dc1]当决策者是风险厌恶时，无差异曲线是凸的；当决策者是风险爱好时，无差异曲线是凹的。– 对于c18722; c2组合有相同数学期望的直线是：π1c1+ π2c2=c ← 常数29
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– 当决策者是风险厌恶时，他对拥有确定收入c比拥有其它任何具有相同数学期望的c18722;c2组合要偏好。– 以Pi表示状态i时的单位收入价格. 不同状态下的收入ci可以根据其价格比例进行交易。– 预算线：P1c1+ P2c2=P ← 常数– 在有限预算的条件下最大化期望效用，我们有以下无差异曲线切线条件：π1v (c1)π2v (c2)=P1P2在个体风险承担最优准则下，不同状态下的最优拥有量使得边际效用的概率加权比率与状态价格的比率相同。– 推广到S个状态。最优风险承担的基本定理：π1v (c1)P1=π2v (c2)P2= ... =πSv (cS)PS在个体风险承担最优准则下，单位收入的期望效用（加权概率）在所有状态都相等。30
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8226; 风险厌恶（具有凸的无差异曲线）导致分散的投资组合。而风险爱好（具有凹的无差异曲线）导致集中的投资组合。31
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这里q1和q2是持有的两种资产的数量，而¯W是决策者具有的财富。– 投资组合的或有收入：(c1,c2) = q1(z11,z12) + q2(z21,z22)= κ1(¯W/PA1)(z11,z12) + κ2(¯W/PA2)(z21,z22)这里κ1+ κ2= 1– 求解maxκ1,κ2U = π1v(c1) + π2v(c2)subject to κ1+ κ2= 1有以下一阶最优条件：∑sπsv (cs)z1sPA1=∑sπsv (cs)z2sPA2在最优条件时，决策者在每一种资产上都有相同的期望边际效用。– 资产市场的风险承担定理：∑sπsv (cs)z1sPA1=∑sπsv (cs)z2sPA2= ... =∑sπsv (cs)zAsPAA33
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CEC*C2C1Y’YCUFigure 10: 生产风险的承担8226; 风险承担最优性：生产机会– 为了在市场上做出考虑风险的决策，有时也有必要通过生产的调整来减少风险。– 假定生产机会限制为F(y1,y2) = 0。那么最优性条件为8706;F/8706;y18706;F/8706;y2= 8722;dy2dy1|F= 8722;dc2dc1|U=π1v (c1)π2v (c2)34
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CEC2C1Y’C*MM’Y*YFigure 11: 生产与消费风险的承担– 决策者生产与消费的最优条件：8722;dy2dy1|F=P1P2= 8722;dc2dc1|U状态相关的效用– 有时候个人的效用函数v(c)会与现实生活的状态相关。– 我们扩展效用函数到具有形式v(c,h)，这里c仍然表示结果而h则表示相应的状态。35
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Cl=1/2CCdClVVl( C) =V(C,0)Vd( C)=V(C,0)d=1/2Figure 12: 状态相关的效用－互补的偏好36
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– 状态相关效用下的风险决策：π1v (c1,h1)Ph1=π2v (c2,h2)Ph2选择收入均值与标准差的组合– 我们已经把不确定条件下的决策描述成从未来可能的行动或收益x = (c1,...,cS;π1,...,πS)中进行选择－包含现实生活中每个状态的或有消费以及状态置信的概率分布。– 还有一种在金融理论与实践中被证实很有效的风险下决策的方法: 均值-方差法。– 该方法假定，对任何个体而言，任何未来收入的概率分布能被两个统计量：收入的均值与方差有效表示。– 我们假定决策者偏好更高的平均收入，由µ(c)表示；以及偏好更少的收入变动，由标准差σ(c)表示。– 当我们把U = Ev(c)转换成仅仅是µ(c)和σ(c)的函数时，有一些信息被丢失。这样做的道理37
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)(cσ''µ)(cµ0'=σ''σ''µH*N‘‘N‘KUIUIUI IFigure 13: 无风险与有风险资产的组合38
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是什么？– 在Ec = µ对v(c)进行泰勒展开：v(c) = v(µ) +v (µ)1!(c 8722; µ) +v (µ)2!(c 8722; µ)2+v (µ)3!(c 8722; µ)3+ ...U = Ev(732;c) = v(µ)+v (µ)2!+v (µ)3!E(c8722;µ)3+...8727; 如果v(c) = K0+K1c8722;12K2c2，那么U = K0+K1µ 8722;12K2(µ2+ σ2)。然而，二次函数v(c)在经济上应用存在不少问题。8727; 中心极限定理表明，任何N个随机变量只要不完全相关，那么随着N的增大，N个随机变量之和将趋于正态分布。正态分布能被其均值与方差完全刻画。基于中心极限定理，采用正态分布作为近似是很多问题的通用作法。8727; 三阶距E(c 8722; µ)3是倾斜度的衡量：如果一个分布的两个“尾巴”是对称的，那么其斜度为0；如果分布的“左尾”是肥胖的而“右尾”是廋长的，那么其斜度是正的；如果恰恰相反，那么其斜度是负的。现实生活中对正斜度的偏好表明个体的现实投资组合通常没有很好的对称分39
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布。8727; 虽然均值－方差方法有这样那样的问题，但是由于它只要求分布的首两阶距，它仍然不失为一种管理上的好的近似方法。– 以732;za表示持有单位资产a产生的收益。定义µa= E(732;za)σa= [E(732;za8722; µa)2]1/2σab= E[(732;za8722; µa)(732;zb8722; µb)]– 考虑对每一种资产，a = 1, ..., A含有qa单位的投资组合，其均值与方差可由以下式子给出µ =A∑a=1qaµaσ = [A∑a=1A∑b=1(qaσabqb)]1/2= [A∑a=1A∑b=1(qaσaρabσbqb)]1/2这里ρab=σabσaσb是732;za与732;zb之间的相关系数。– 共同基金定理。如果个人的偏好是倾向于大的µ和小的σ，并且如果存在单一无风险资产以及一些风险资产，那么在均衡情况下资产的价格将使得每一个人都愿意买相同比率的风险资产。40
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σµN‘H*GN‘‘N‘‘‘DFNUIUIUI IFigure 14: 共同基金定理41
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