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N(d1)可视为欧式买权价格对股票价格变动的敏感度，称为Delta C. 标的股价和欧式买权价值为同方向变动 ... 料，代入B-S公式中，反推估出的股票报酬波动度. 距到期日时间 ... B-S欧式卖权公式应用（续）：. -N(-d1)为避险比率. 券商在时点0时投资组合. B-S欧式卖权公式 .... 以年为单位且为了简化起见一般皆不剔除假日，亦即一周皆以7天计。 ...
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第十二章
Black & Scholes選擇權理論與應用
Binomial Model
內容介紹
Black & Scholes買權公式
Black & Scholes 買權公式變數選取
Black & Scholes 歐式賣權公式及其應用
投資組合保險
運用Excel 計算選擇權價值
有股利情況下，歐式選擇權Black & Scholes訂價公式
隱含波動度與Black & Scholes公式
二項樹狀模型
附錄:隱含波動度VBA程式碼
I. Black & Scholes 買權公式
簡介：
1. 1900年Louis Bachelier針對與買權有類似性質的
認股權證做評價，但股價有可能是負值
2. Black & Scholes歐式選擇權公式及之後的衍生
2007
1973
1900
Louis Bachelier: Theory of Speculation.
107 Years of Financial Economics
應用隨機過程於財務模型的研究最早開始於二十世紀初期，年青的法國數學家Bachelier(1900)在他30歲時的博士論文應用Brownian motion with drift來模擬股票價格
這比Albert Einstein在1905年提出其相同Brownian motion概念應用於描述分子運動並導出有名的熱力學偏微分方程式早了5年(同年1905年，Einstein也發表了著名的狹義相對論)
但Bachelier的模型因帶有負的股票價格可能性所以顯得不恰當。
2007
1973
1900
Fischer Black & Myron Scholes: The Pricing of Option Contracts and Corporate Liabilities.
Robert Merton: Theory of Rational Option Pricing.
Louis Bachelier: Theory of Speculation.
107 Years of Financial Economics
1923
1931
1950
1965
Wiener 給Brownian motion嚴謹數學定義
Kolmogorov 建立現代機率基礎
Itô 發展隨機計算理論
Samuelson提出 geometric Brownian motion市場模型
1998
LTCM危機
次級房貸信用危機
2007
1973
1900
Fischer Black & Myron Scholes: The Pricing of Option Contracts and Corporate Liabilities.
Robert Merton: Theory of Rational Option Pricing.
Louis Bachelier: Theory of Speculation.
1944
John von Neumann & Oskar Morgenstern:
Theory of Games and Economic Behaviour.
Work of Probabilists:
Levy,
Cramér,
Wiener,
Kolmogorov,
Doblin,
Khinchine,
Feller,
Itô.
107 Years of Financial Economics
2007
1973
1900
Louis Bachelier: Theory of Speculation.
107 Years of Financial Economics
1905
Einstein應用Brownian motion概念於描述分子運動
並導出有名的熱力學偏微分方程式,也發表了著名的狹義相對論
1970
1997
Samuelson- Nobel經濟學獎
Scholes 和 Merton 獲得1997年Nobel經濟學獎
1979
Harrison and Kreps
1983
Harrison and Pliska: martingale
QUANT
Commodity derivatives
delivery issues, cost of carry, changing weather,
changing regulations, incomplete markets,…
Credit derivatives
interest rates + credit indices; correlations; default and recovery modelling
Fixed-income derivatives
Why Students Of
Prof. El Karoui Are In Demand at Banks ?
French Math Teacher Covers Structure Of Derivatives;
Banks Clamor for ’Quants’
By CARRICK MOLLENKAMP and CHARLES FLEMING
March 9, 2006; Page A1,
The Wall Street Journal
http://www.finance-concepts.com/WallStreetJournal.html
"DEA d’El Karoui."
Rama Cont, a former student and now a research fellow at the Ecole Polytechnique, describes a degree with Ms. El Karoui’s name on it as
"the magic word that opened doors for young people."
"DEA d’El Karoui."
Nicole El Karoui
62 years old , a math professor in Paris. ... teaches skills required to create and price derivatives, the complex financial instruments based on stocks, bonds or loans.
Her only hands-on banking experience in her 38-year career was a six-month stint about two decades ago at a French retail bank.
She earns about $80,000, or about $95,000, a year as a professor, plus a smaller amount for consulting fees.
She drives around Paris in a small Renault.
The 75 or so students who take Ms. El Karoui‘s “Probability and Finance” course each year are avidly sought by recruiters(徵人).
French quant candidates know that Nicole El Karoui‘s name has real clout(影響).
Rama Cont, a former student, describes a degree with Ms. El Karoui's name on it as "the magic word that opened doors for young people."
The magic word that opened doors
for young people
“A résumé with her name on it is a shortcut because you don't need to train the person on the basics of derivatives."
---says Rachid Bouzouba,
head of European equity trading at the London office of Lehman Brothers Holdings Inc.
"DEA d’El Karoui."
Ms. El Karoui's graduates can expect to earn up to about $140,000 a year in their first job, including a bonus, once they complete an internship that constitutes part of her course.
After five years, they could be earning at least three times as much.
剛畢業$140,000 & 五年後三倍
一位26歲網友的分享—from US 加州
巴黎Ecole polytechnique這個學校的學生dominate 倫敦金融城quant領域！如果你要找quant職位，練好法語先。
法國人的金融數學絕對最厲害，不僅僅金融數學起源于法國，現在一些最新的數學研究都是一群法國數學家在做。 …
這得要提一下法國的銀行，BNP（巴黎銀行）， SG（興業銀行），CALYON（農業信貸銀行）都是市場的佼佼者。特別是前兩個，在衍生品領域領先其他bank，……，在derivatives研究方面，SG的equity， BNP的fixed income領先他們很多。
如果你听說一個 equity deri. quant來自SG,他肯定經常受到獵頭騷擾。
…………
………
http://blog.wenxuecity.com/blogview.php?date=200605&postID=5568#mark
由shilongkuang張貼 @ 2006-05-12 00:16:26
Black & Scholes 買權公式
基本假設：
1.資本市場是完美的，沒有稅或交易成本，股票價格上下限，
任何股票 可無限分割且無限賣空
2.股價過程符合對數常態分配，亦即股價取對數後為常態分配
3.無風險利率及股票報酬率的波動度常數
4.選擇權存續期間，股票不發放任何股利
5.歐式選擇權，只能在到期日時履約
6.標的股票不會違約
7.股價是連續的，不會有突發性股價跳空情況發生
17
Black-Scholes 模型之基本假設
【假設】：標的股票價格服從對數常態分配(Lognormal distribution)，其瞬間期望報酬率(μ)和瞬間波動性(σ)為固定之常數。
由假設，我們可以將標的股票的動態 過程表達如下式：
或
18
其中Z 滿足Wiener process，dZ 則為其於每單位時間dt 的變動量。
由統計特性得知，當標的股票之價格服從對數常態分配，則其報酬率將服從常態分配，而且時點0至時點T之股價報酬率分配可以寫成
或
19
【例】
假設某一股票其現在的價格為NTD40元，且年化期望報酬率為16%，年波動率為20%，那麼在95%信賴區間下，六個月後該股票的價格應會落在那一個區間內？
20
【解】
將給定的資料代入上式可得
ln ST ~ N [3.759, 0.141]
在95%信賴區間下，六個月後該股票的價格應會落在下面區間內
3.759– 1.96×0.141
故我們可得
32.55 < ST < 56.56
21
【假設】
不考慮交易成本及稅，且股票可以無限細小分割。
【假設】
假設標的股票在選擇權有效期間不發放現金股利 。
【假設】
證券交易屬連續交易型態。
22
【假設】
投資者可以無限制地以無風險利率進行借貸
【假設】
無風險利率是固定不變的常數
【假設】
經濟體系不存在無風險之套利機會
23
貨幣市場帳戶
所謂貨幣市場帳戶(Money Market Account)指的是投資人投資一塊錢於無風險性資產，經過一段時間後，經由複利過程其所獲取的本利和，我們可以用數學式將其表達如下：
介紹貨幣市場帳戶主要是因為我們將利用它來當風險性資產的計價標準(Numeraire) 。
24
平賭 (Martingale)
【平賭之定義】：
如果X0,X1,X2,…..代表一隨機過程，且下列條件滿足
對t=1, 2,…
那麼{ Xt }則稱之為平賭。
就財務領域的應用而言，若某一資產價格(或相對價格)滿足平賭特質，則意味著該價格為一無套利機會存在的價格。
25
Black-Scholes模型之推導
假設Black-Scholes模型對標的股票價格的描述如下：
若該標的股票價格以貨幣市場帳戶為計算單位，且其符合平賭特質，則存在一個機率分配或機率測度，使下式成立
26
這隱含著Black-Scholes模型對標的股票價格的描述可改寫成
dZ乃在機率測度P之下的隨機變數。反之，
乃在機率測度Q之下的隨機變數。
我們稱機率測度Q為風險中立之機率測度，而轉變過程稱之為改變機率測度(Change Measure) 。
27
圖：改變機率測度
Q
P
σ
σ
r
μ
改變機率測度
28
在風險中立的經濟社會中，所有風險性證券現在之均衡價格，皆可由該證券未來所產生的現金流量以無風利率加以折現而得 。
假設在時點0有一歐式買權，其履約價格為K，到期日為T，那麼它於到期日T之價格為
29
於風險中立之機率測度Q之下，該歐式買權於時點0的價格為
由上式我們就可以推導出Black-Scholes歐式買權訂價公式如下式：
30
其中
N(.)為一標準常態分配之累積機率密度函數。
利用賣權買權平價定理，即可推得對應的歐式賣權訂價公式如下式：
Black & Scholes 買權公式(續)
公式解析：
Black & Scholes歐式賣權公式及其應用
B-S歐式賣權公式：
將買權公式帶入買賣權平價公式
Black & Scholes歐式賣權公式及其應用（續）
B-S歐式賣權公式（續）：
左右兩塊面積一致
1- N(d1)
N(d1)
利用賣權買權平價定理，即可推得對應的歐式賣權訂價公式如下式：
B-S歐式買權應用：
歐式買權複製
透過現金與標的股票投資組合複製歐式買權，必須隨著股價與時間的變動不斷調整投資組合中股票與現金的數量，才能使複製的投資組合價值隨時和買權價值連動
I. Black & Scholes 買權公式 (續)
B-S歐式買權應用：
N(d1)為歐式買權價格對標的股票價格變動的敏感度
N(d1)可視為歐式買權價格對股票價格變動的敏感度，稱為Delta C
標的股價和歐式買權價值為同方向變動
I. Black & Scholes 買權公式(續)
B-S歐式買權應用：
N(d1)為避險比率
B-S歐式買權應用：
範例12-1：
券商發行10000張歐式買權，若此買權的N(d1)＝0.6，
券商需買入6000張股票做避險。
靜態避險
B-S歐式買權應用：
動態避險
Black & Scholes 買權公式(續)
B-S歐式買權應用：
股價很大時，歐式買權公式解趨近於歐式買權價格下限
股價非常大時，d1與d2都會變得非常大，使得N(d1)與N(d2)都會趨近於1，此時歐式買權為深度價內，因此當股價很大時，歐式買權價格將會非常貼近歐式買權價格下限
Black & Scholes買權公式變數選取
無風險利率：
1.一般選用到期日和選擇權到期日相近的政府公債或國庫
券之殖利率，作為無風險利率的替代變數。
2.使用B-S公式計算上，必須為年度化的利率觀點。
股票報酬率之波動度：
1.歷史波動度：採用此標的股票過去一段期間的歷史股
價，先求算其報酬率，再計算其股票報酬的歷史波動度。
2.隱含波動度：將目前選擇權市場價格，目前標的股價、
履約價格、無風險利率和距到期日時間等市場已知資
料，代入B-S公式中，反推估出的股票報酬波動度
距到期日時間
Black & Scholes歐式賣權公式及其應用（續）
B-S歐式賣權公式應用：
歐式賣權複製法--將歐式賣權看成賣空N(-d1)股之標的股票，並在放銀行存款K(1+r)-TN(-d2)元（或買入面額為K N(-d2)的零息政府公債）等兩種資產部位的投資組合
-N(-d1)為歐式買權價格對標的股票價格變動之敏感度–
-１≤ Deltap=-N(-d1) = N(d1)-1 ≤ 0
B-S歐式賣權公式應用（續）：
-N(-d1)為避險比率
券商在時點0時投資組合
B-S歐式賣權公式應用（續）：
個股賣權或台指（電子或金融）賣權價格求算
投資組合保險
為了防止股票部位價值跌破某一個水準，藉由在市場上買賣其他商品來從事避險策略
1.靜態投資組合保險(Static Portfolio Insurance)：
直接從選擇權市場中買入所欲避險股票之賣權避險
2.動態投資組合保險(Dynamic Portfolio Insurance)：
利用前面所提到的歐式賣權複製法，以間接方式用股票和現金(或政府債券)來複製一個買入賣權部位，這種模擬的賣權可以隨市場變化來調整其複製資產部位，以提高複製賣權報酬之效率
投資組合保險(續)
靜態投資組合保險：
動態投資組合保險：
運用EXCEL計算選擇權價值
決定標的股價、履約價格及距到期日時間
決定無風險利率
決定股票報酬率波動度
決定N(d1)及N(d2)
決定歐式買權價格
決定歐式賣權價格
範例12-6
有股利情況下，歐式選擇權 Black & Scholes定價公式
有股利情況下，歐式買權解
有股利情況下，歐式賣權解
有股利情況下，歐式選擇權
Black & Scholes定價公式（續）
有股利情況下，歐式買權避險比例
有股利情況下，歐式賣權避險比例
52
Delta值
所謂選擇權的Delta值，指的是用來測度標的股票價格微小變動時，其將如何影響選擇權的價格的一種指標。
就數學的角度而言，即是選擇權的價格對標的股票價格作偏微分所得到的值：
53
實務上Delta值是很重要的避險參考依據，經由Delta值計算避險部位，可達成所謂的Delta-Neutral的避險效果。
若要隨時達成Delta-Neutral的避險效果。則需要隨時依新的Delta值，來改變券商之避險部位，此即所謂的「動態避險」(Dynamic hedging)的觀念。
54
Gamma值
所謂選擇權的Gamma值，指的是用來測度選擇權的Delta值，隨著標的股票價格變動而變動的大小：
55
Gamma值可以供選擇權發行者決定Delta-neutral避險部位是否需要經常加以調整 。
唯有選擇權才有Gamma值，故選擇權發行者若要沖銷其Gamma風險，唯有利用另一個選擇權才行 。
56
Vega值
所謂選擇權的Vega值，指的是用來測度選擇權的價格，如何隨著標的股票的波動性的變動而變動的大小：
57
歐式買權、賣權的Vega值相等且為正，這表示標的股票價格之瞬間波動性越高，則歐式買權、賣權的權利金也隨之越大。
唯有選擇權才有Vega值，故選擇權發行者若要沖銷其Vega風險，唯有利用另一個選擇權才行 。
58
Theta值
所謂選擇權的Theta值，指的是用來測度選擇權的價格，如何隨著隨著時間的消逝而變動的大小：
59
歐式買權的Theta值為負，意味著隨著時間的消逝，歐式買權的價值(格)亦會隨之減少；歐式賣權的價格可能增加、減少或不變 。
由Black-Scholes之偏微分方程式 (附錄12-D)，可以得到歐式買權之Delta值、Gamma值和Theta值具有下列的等式關係：
60
Rho值
所謂選擇權的Rho值，指的是用來測度選擇權的價格，如何隨著隨著無風險利率外生變動而變動的大小：
歐式買權的Rho值為正；歐式賣權Rho值為負。
隱含波動度Black &Scholes公式
B-S公式問題探討：
B-S模型所得價格與市場實際報價有所偏誤，其原因大致有：
1.股價是對數常態分配假設
2.到期期限效果
3.跳躍效果(Jump)
4.固定波動度假設
（1）波動度的期間結構 （2）笑狀波福（volatility smile）
隱含波動度（implied volatility）：
隱含波動度越高，代表選擇權市場價格越高
VII.隱含波動度Black &Scholes公式
運用EXCEL來求解隱含波動度
範例12-7
63
Black-Scholes選擇權訂價模型相關參數之選定
年化之無風險利率
以國庫券、商業本票利率(CP rate)或附買回(RP rate)、附賣回(RS rate)利率作為替代品。
選擇權有效期間
以年為單位且為了簡化起見一般皆不剔除假日，亦即一週皆以7天計。
64
股票價格瞬間波動度的估計
歷史波動度(Historical volatility) 、隱含波動度(Implied volatility)
歷史波動度之估計
移動平均模式、高低價法、標準-高低收盤價法
隱含波動度之估計
將選擇權之市場價格直接代入Black-Scholes公式，來反推估計波動度。即
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）
二項樹狀模型下，股票價格可能路徑：
假設：
1.選擇權到期日為T
2.選擇權到期日前，標的資產均無發放股利
3.每一段期間長度等於Δt，共N期，且滿足N×Δt = T。
換言之，Δt = T / N
4.目前股價為 ，下一期的股價有p的機率上升變成
u ， 1-p的機率下降變成d
5.在每一個期間，股價上升或下降幅度均維持不變
66
假設目前時點為0，某一歐式選擇權(可為買權或賣權)其價格為f，其標的股票價格為S0，且其到期日為T，年化無風險利率為r。
假設一期之後，標的股票價格只有二種可能，一為從S0上漲至S0u，另一為從S0下跌至S0d，其中u(d)可以解釋為1+標的股票價格上漲之報酬率(1+標的股票價格下跌之報酬率)，而且u>1、d<1。同時以fu (fd)表示當標的股票價格上漲(下跌)時所對應之選擇權價格。
67
圖：一期二項式模型
S0
f
S0u
fu
S0d
fd
一期二項式模型
Binomial process given by 3 coin tosses
: stock price at time k
The coin tosses are independent
p is the probability of H
q=1-p is the probability of T
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
公式：
S(T) = uX dN-X S0
X= 1,2,…,N
X為一個二項分配，故S(T)等於uXdN-XS0的機率為
Prob[S(T)=uXdN-XS0]
=(N!/X!(N-X)!)PX(1-p)N-X , X= 1,2,…,N
範例12-8
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
風險中立機率與風險中立評價法觀念：
無風險資產概念，就是當投資人在短期間內持有此種資產，不論未來金融市場如何變化，一定可以在到期日時獲取事先約定的固定報酬率，此時該資產就是無風險資產，而事先約定的固定報酬率就是無風險利率。
二項樹概念
C0
p
1-p
Cu=Max(u S0-K, 0)=-Cu+H*uS0
Cd=Max(d S0-K, 0)=-Cd+H*dS0
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
由上述二項樹可得
-Cu+H*uS0=-Cd+H*dS0
即
–Cu+H×uS0 = –Cd+H×dS0 = (–C0+H×S0) ×
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
結合上下兩式得
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
若
則
故在機率q之下
機率q又稱為風險中立機率(Risk-Neutral Probability)，上述方法又稱風險中立評價法
Stock price
Call price
Risk Neutral
probability
- If
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
Cox、Ross、Rubinstein二項樹狀模型參數設定：
1.二項樹狀下股價期望報酬等於無風險利率
2.在短時間內，二項樹狀下股價報酬率波動度等於真實股
價報酬率波動度
3. u與d關係
三期二項樹狀模型下，歐式買權、歐式賣權、美式買權與美式賣權價值
範例12-10
76
圖：一期二項式模型
S0
f
S0u
fu
S0d
fd
一期二項式模型
77
在時點0建構一個無風險投資組合，包括買入Δ單位的標的股票，以及出售一單位的選擇權。
若標的股票的價格上漲，則此一投資組合在時點T的價值為：
若標的股票的價格下趺，則此一投資組合在時點T的價值為：
78
我們所建構的投資組合為無風險投資組合，所以上面二式的值必需相等，因此我們可以得到
或
由於該投資組合為無風險投資組合，故其現值為
79
在時點0我們建構此一無風險投資組合的成本為
為了防止套利機會存在，上列二式的值必須相等
於是我們可以求得該選擇權在時點0的價格為
80
其中
q值必介於0和1之間，故可以將它視為一個假想的機率值(Pseudo probability value)。
上述標的股票在風險中立之下 ，其在Ｔ時點的期望值會等於S0erT，即
81
上述一期之二項式模型中，標的股票其在Ｔ時點的期望值可以表達如下：
我們可由上列二式求得風險中立機率值為
所以上述的假想機率值事實上即為風險中立機率值。
82
二期暨多期二項式模型
建構一個路徑獨立(Path-independent tree)的二項式模型 指的是，不論股價先漲後跌，或先跌後漲，其結果股價都一樣。
二期模型和一期模型之差別在於每一期期間的大小，其為Δt=T/2而非一期模型之Δt=T 。
重覆並利用一期的訂價模式，可得
83
將上列前二式帶入第三式即可得
84
反覆上面程序，我們可以推得n期之二項式模型訂價公式，歐式買權評價公式
歐式賣權則為
85
【例】
假設某一歐式股票賣權，其標的股票現在價格為NTD50元，而其有效期間為二年，若履約價格為NTD52元，而年化之無風險利率為5%，且股價於每一期不是上漲20%就是下跌20%，如果使用一個二期之二項式訂價模型加以計算，則其價格應為多少？
86
【解】
本例中u=1.2、d=0.8，故我們可以建構一個二期的二項式樹
50
4.1923
二期二項式歐式賣權評價圖
60
1.4147
40
9.4636
72
0
48
4
32
20
87
每期標的股票價格上漲的機率為：
由二項式圖，我們可以計算得fuu=Max(52-72,0)=0, fud=Max(52-48,0)=4, fdd=Max(52-32,0)=20,有了這些數字我們即可以公式求得該歐式賣權的價格為
88
二項式模型評價美式選擇權
美式選擇權在任何時點都可以提早履約，因此利用二項式訂價模型來對美式選擇權作訂價時，在一期一期往後(backward)計算選擇權價格時，於每一結點必須檢查是否提早履約有利，亦即需要在每一結點比較提前履約時的選擇權價值和繼續持有該選擇權價值孰大。
89
【例】
同前例的資料，若該選擇權為美式賣權，則以二項式訂價模型來計算其價格時，其值應為多少？
50
5.0894
二期二項式美式賣權評價圖
60
1.4147
40
12
72
0
48
4
32
20
A
B
C
90
【解】
結點B之選擇權價值=Max{-8, 1.4147} =1.4147，此一結果代表在結點B選擇權持有人不會提早履約。
結點C之選擇權價值=Max{12, 9.4636} =12，此一結果則代表在結點C選擇權持有人會提早履約。
再利用公式即可以計算出該美式賣權的價格等於5.0894。
91
二項式選擇權訂價模型參數選定及收斂性之說明
在選定二項式選擇權訂價模型之參數時，我們希望由二項式選擇權訂價模型所計算出來的期望報酬率和波動性(變異數)。在Δt接近0時，會等於BS訂價模型中瞬間期望報酬率和瞬間波動性。亦即
92
為了建構一個路徑獨立的二項式選擇權訂價模型，我們加上下列的限制式
利用上列三個式子，我們可以決定二項式選擇權訂價模型的參數價u、d及q如下：
，
93
【例12-7】
標的價格100、履約價格110、無風險利率0.06、標的資產波動性0.2、距到期日1年，若該選擇權為歐式賣權，則以二項式訂價模型來計算其價格時，其值應為多少？
94
【解】
不同切割期數之u、d、p的變化
95
二項式模型收斂檢測圖
n
買權價格
QUANT
Commodity derivatives
delivery issues, cost of carry, changing weather,
changing regulations, incomplete markets,…
Credit derivatives
interest rates + credit indices; correlations; default and recovery modelling
Fixed-income derivatives
Why Students Of
Prof. El Karoui Are In Demand at Banks ?
French Math Teacher Covers Structure Of Derivatives;
Banks Clamor for ’Quants’
By CARRICK MOLLENKAMP and CHARLES FLEMING
March 9, 2006; Page A1,
The Wall Street Journal
http://www.finance-concepts.com/WallStreetJournal.html
"DEA d’El Karoui."
Rama Cont, a former student and now a research fellow at the Ecole Polytechnique, describes a degree with Ms. El Karoui’s name on it as
"the magic word that opened doors for young people."
"DEA d’El Karoui."
Nicole El Karoui
62 years old , a math professor in Paris. ... teaches skills required to create and price derivatives, the complex financial instruments based on stocks, bonds or loans.
Her only hands-on banking experience in her 38-year career was a six-month stint about two decades ago at a French retail bank.
She earns about $80,000, or about $95,000, a year as a professor, plus a smaller amount for consulting fees.
She drives around Paris in a small Renault.
The 75 or so students who take Ms. El Karoui‘s “Probability and Finance” course each year are avidly sought by recruiters(徵人).
French quant candidates know that Nicole El Karoui‘s name has real clout(影響).
Rama Cont, a former student, describes a degree with Ms. El Karoui's name on it as "the magic word that opened doors for young people."
The magic word that opened doors
for young people
“A résumé with her name on it is a shortcut because you don't need to train the person on the basics of derivatives."
---says Rachid Bouzouba,
head of European equity trading at the London office of Lehman Brothers Holdings Inc.
"DEA d’El Karoui."
Ms. El Karoui's graduates can expect to earn up to about $140,000 a year in their first job, including a bonus, once they complete an internship that constitutes part of her course.
After five years, they could be earning at least three times as much.
剛畢業$140,000 & 五年後三倍
一位26歲網友的分享—from US 加州
巴黎Ecole polytechnique這個學校的學生dominate 倫敦金融城quant領域！如果你要找quant職位，練好法語先。
法國人的金融數學絕對最厲害，不僅僅金融數學起源于法國，現在一些最新的數學研究都是一群法國數學家在做。 …
這得要提一下法國的銀行，BNP（巴黎銀行）， SG（興業銀行），CALYON（農業信貸銀行）都是市場的佼佼者。特別是前兩個，在衍生品領域領先其他bank，……，在derivatives研究方面，SG的equity， BNP的fixed income領先他們很多。
如果你听說一個 equity deri. quant來自SG,他肯定經常受到獵頭騷擾。
…………
………
http://blog.wenxuecity.com/blogview.php?date=200605&postID=5568#mark
由shilongkuang張貼 @ 2006-05-12 00:16:26
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N(d1)可视为欧式买权价格对股票价格变动的敏感度，称为Delta C. 标的股价和欧式买权价值为同方向变动 ... 料，代入B-S公式中，反推估出的股票报酬波动度. 距到期日时间 ... B-S欧式卖权公式应用（续）：. -N(-d1)为避险比率. 券商在时点0时投资组合. B-S欧式卖权公式 .... 以年为单位且为了简化起见一般皆不剔除假日，亦即一周皆以7天计。 ...
acade.must.edu.tw/upfiles/ADUpload/c23_downmul1244952598.ppt - 类似网页
第十二章
Black & Scholes選擇權理論與應用
Binomial Model
內容介紹
Black & Scholes買權公式
Black & Scholes 買權公式變數選取
Black & Scholes 歐式賣權公式及其應用
投資組合保險
運用Excel 計算選擇權價值
有股利情況下，歐式選擇權Black & Scholes訂價公式
隱含波動度與Black & Scholes公式
二項樹狀模型
附錄:隱含波動度VBA程式碼
I. Black & Scholes 買權公式
簡介：
1. 1900年Louis Bachelier針對與買權有類似性質的
認股權證做評價，但股價有可能是負值
2. Black & Scholes歐式選擇權公式及之後的衍生
2007
1973
1900
Louis Bachelier: Theory of Speculation.
107 Years of Financial Economics
應用隨機過程於財務模型的研究最早開始於二十世紀初期，年青的法國數學家Bachelier(1900)在他30歲時的博士論文應用Brownian motion with drift來模擬股票價格
這比Albert Einstein在1905年提出其相同Brownian motion概念應用於描述分子運動並導出有名的熱力學偏微分方程式早了5年(同年1905年，Einstein也發表了著名的狹義相對論)
但Bachelier的模型因帶有負的股票價格可能性所以顯得不恰當。
2007
1973
1900
Fischer Black & Myron Scholes: The Pricing of Option Contracts and Corporate Liabilities.
Robert Merton: Theory of Rational Option Pricing.
Louis Bachelier: Theory of Speculation.
107 Years of Financial Economics
1923
1931
1950
1965
Wiener 給Brownian motion嚴謹數學定義
Kolmogorov 建立現代機率基礎
Itô 發展隨機計算理論
Samuelson提出 geometric Brownian motion市場模型
1998
LTCM危機
次級房貸信用危機
2007
1973
1900
Fischer Black & Myron Scholes: The Pricing of Option Contracts and Corporate Liabilities.
Robert Merton: Theory of Rational Option Pricing.
Louis Bachelier: Theory of Speculation.
1944
John von Neumann & Oskar Morgenstern:
Theory of Games and Economic Behaviour.
Work of Probabilists:
Levy,
Cramér,
Wiener,
Kolmogorov,
Doblin,
Khinchine,
Feller,
Itô.
107 Years of Financial Economics
2007
1973
1900
Louis Bachelier: Theory of Speculation.
107 Years of Financial Economics
1905
Einstein應用Brownian motion概念於描述分子運動
並導出有名的熱力學偏微分方程式,也發表了著名的狹義相對論
1970
1997
Samuelson- Nobel經濟學獎
Scholes 和 Merton 獲得1997年Nobel經濟學獎
1979
Harrison and Kreps
1983
Harrison and Pliska: martingale
QUANT
Commodity derivatives
delivery issues, cost of carry, changing weather,
changing regulations, incomplete markets,…
Credit derivatives
interest rates + credit indices; correlations; default and recovery modelling
Fixed-income derivatives
Why Students Of
Prof. El Karoui Are In Demand at Banks ?
French Math Teacher Covers Structure Of Derivatives;
Banks Clamor for ’Quants’
By CARRICK MOLLENKAMP and CHARLES FLEMING
March 9, 2006; Page A1,
The Wall Street Journal
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"DEA d’El Karoui."
Rama Cont, a former student and now a research fellow at the Ecole Polytechnique, describes a degree with Ms. El Karoui’s name on it as
"the magic word that opened doors for young people."
"DEA d’El Karoui."
Nicole El Karoui
62 years old , a math professor in Paris. ... teaches skills required to create and price derivatives, the complex financial instruments based on stocks, bonds or loans.
Her only hands-on banking experience in her 38-year career was a six-month stint about two decades ago at a French retail bank.
She earns about $80,000, or about $95,000, a year as a professor, plus a smaller amount for consulting fees.
She drives around Paris in a small Renault.
The 75 or so students who take Ms. El Karoui‘s “Probability and Finance” course each year are avidly sought by recruiters(徵人).
French quant candidates know that Nicole El Karoui‘s name has real clout(影響).
Rama Cont, a former student, describes a degree with Ms. El Karoui's name on it as "the magic word that opened doors for young people."
The magic word that opened doors
for young people
“A résumé with her name on it is a shortcut because you don't need to train the person on the basics of derivatives."
---says Rachid Bouzouba,
head of European equity trading at the London office of Lehman Brothers Holdings Inc.
"DEA d’El Karoui."
Ms. El Karoui's graduates can expect to earn up to about $140,000 a year in their first job, including a bonus, once they complete an internship that constitutes part of her course.
After five years, they could be earning at least three times as much.
剛畢業$140,000 & 五年後三倍
一位26歲網友的分享—from US 加州
巴黎Ecole polytechnique這個學校的學生dominate 倫敦金融城quant領域！如果你要找quant職位，練好法語先。
法國人的金融數學絕對最厲害，不僅僅金融數學起源于法國，現在一些最新的數學研究都是一群法國數學家在做。 …
這得要提一下法國的銀行，BNP（巴黎銀行）， SG（興業銀行），CALYON（農業信貸銀行）都是市場的佼佼者。特別是前兩個，在衍生品領域領先其他bank，……，在derivatives研究方面，SG的equity， BNP的fixed income領先他們很多。
如果你听說一個 equity deri. quant來自SG,他肯定經常受到獵頭騷擾。
…………
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Black & Scholes 買權公式
基本假設：
1.資本市場是完美的，沒有稅或交易成本，股票價格上下限，
任何股票 可無限分割且無限賣空
2.股價過程符合對數常態分配，亦即股價取對數後為常態分配
3.無風險利率及股票報酬率的波動度常數
4.選擇權存續期間，股票不發放任何股利
5.歐式選擇權，只能在到期日時履約
6.標的股票不會違約
7.股價是連續的，不會有突發性股價跳空情況發生
17
Black-Scholes 模型之基本假設
【假設】：標的股票價格服從對數常態分配(Lognormal distribution)，其瞬間期望報酬率(μ)和瞬間波動性(σ)為固定之常數。
由假設，我們可以將標的股票的動態 過程表達如下式：
或
18
其中Z 滿足Wiener process，dZ 則為其於每單位時間dt 的變動量。
由統計特性得知，當標的股票之價格服從對數常態分配，則其報酬率將服從常態分配，而且時點0至時點T之股價報酬率分配可以寫成
或
19
【例】
假設某一股票其現在的價格為NTD40元，且年化期望報酬率為16%，年波動率為20%，那麼在95%信賴區間下，六個月後該股票的價格應會落在那一個區間內？
20
【解】
將給定的資料代入上式可得
ln ST ~ N [3.759, 0.141]
在95%信賴區間下，六個月後該股票的價格應會落在下面區間內
3.759– 1.96×0.141
故我們可得
32.55 < ST < 56.56
21
【假設】
不考慮交易成本及稅，且股票可以無限細小分割。
【假設】
假設標的股票在選擇權有效期間不發放現金股利 。
【假設】
證券交易屬連續交易型態。
22
【假設】
投資者可以無限制地以無風險利率進行借貸
【假設】
無風險利率是固定不變的常數
【假設】
經濟體系不存在無風險之套利機會
23
貨幣市場帳戶
所謂貨幣市場帳戶(Money Market Account)指的是投資人投資一塊錢於無風險性資產，經過一段時間後，經由複利過程其所獲取的本利和，我們可以用數學式將其表達如下：
介紹貨幣市場帳戶主要是因為我們將利用它來當風險性資產的計價標準(Numeraire) 。
24
平賭 (Martingale)
【平賭之定義】：
如果X0,X1,X2,…..代表一隨機過程，且下列條件滿足
對t=1, 2,…
那麼{ Xt }則稱之為平賭。
就財務領域的應用而言，若某一資產價格(或相對價格)滿足平賭特質，則意味著該價格為一無套利機會存在的價格。
25
Black-Scholes模型之推導
假設Black-Scholes模型對標的股票價格的描述如下：
若該標的股票價格以貨幣市場帳戶為計算單位，且其符合平賭特質，則存在一個機率分配或機率測度，使下式成立
26
這隱含著Black-Scholes模型對標的股票價格的描述可改寫成
dZ乃在機率測度P之下的隨機變數。反之，
乃在機率測度Q之下的隨機變數。
我們稱機率測度Q為風險中立之機率測度，而轉變過程稱之為改變機率測度(Change Measure) 。
27
圖：改變機率測度
Q
P
σ
σ
r
μ
改變機率測度
28
在風險中立的經濟社會中，所有風險性證券現在之均衡價格，皆可由該證券未來所產生的現金流量以無風利率加以折現而得 。
假設在時點0有一歐式買權，其履約價格為K，到期日為T，那麼它於到期日T之價格為
29
於風險中立之機率測度Q之下，該歐式買權於時點0的價格為
由上式我們就可以推導出Black-Scholes歐式買權訂價公式如下式：
30
其中
N(.)為一標準常態分配之累積機率密度函數。
利用賣權買權平價定理，即可推得對應的歐式賣權訂價公式如下式：
Black & Scholes 買權公式(續)
公式解析：
Black & Scholes歐式賣權公式及其應用
B-S歐式賣權公式：
將買權公式帶入買賣權平價公式
Black & Scholes歐式賣權公式及其應用（續）
B-S歐式賣權公式（續）：
左右兩塊面積一致
1- N(d1)
N(d1)
利用賣權買權平價定理，即可推得對應的歐式賣權訂價公式如下式：
B-S歐式買權應用：
歐式買權複製
透過現金與標的股票投資組合複製歐式買權，必須隨著股價與時間的變動不斷調整投資組合中股票與現金的數量，才能使複製的投資組合價值隨時和買權價值連動
I. Black & Scholes 買權公式 (續)
B-S歐式買權應用：
N(d1)為歐式買權價格對標的股票價格變動的敏感度
N(d1)可視為歐式買權價格對股票價格變動的敏感度，稱為Delta C
標的股價和歐式買權價值為同方向變動
I. Black & Scholes 買權公式(續)
B-S歐式買權應用：
N(d1)為避險比率
B-S歐式買權應用：
範例12-1：
券商發行10000張歐式買權，若此買權的N(d1)＝0.6，
券商需買入6000張股票做避險。
靜態避險
B-S歐式買權應用：
動態避險
Black & Scholes 買權公式(續)
B-S歐式買權應用：
股價很大時，歐式買權公式解趨近於歐式買權價格下限
股價非常大時，d1與d2都會變得非常大，使得N(d1)與N(d2)都會趨近於1，此時歐式買權為深度價內，因此當股價很大時，歐式買權價格將會非常貼近歐式買權價格下限
Black & Scholes買權公式變數選取
無風險利率：
1.一般選用到期日和選擇權到期日相近的政府公債或國庫
券之殖利率，作為無風險利率的替代變數。
2.使用B-S公式計算上，必須為年度化的利率觀點。
股票報酬率之波動度：
1.歷史波動度：採用此標的股票過去一段期間的歷史股
價，先求算其報酬率，再計算其股票報酬的歷史波動度。
2.隱含波動度：將目前選擇權市場價格，目前標的股價、
履約價格、無風險利率和距到期日時間等市場已知資
料，代入B-S公式中，反推估出的股票報酬波動度
距到期日時間
Black & Scholes歐式賣權公式及其應用（續）
B-S歐式賣權公式應用：
歐式賣權複製法--將歐式賣權看成賣空N(-d1)股之標的股票，並在放銀行存款K(1+r)-TN(-d2)元（或買入面額為K N(-d2)的零息政府公債）等兩種資產部位的投資組合
-N(-d1)為歐式買權價格對標的股票價格變動之敏感度–
-１≤ Deltap=-N(-d1) = N(d1)-1 ≤ 0
B-S歐式賣權公式應用（續）：
-N(-d1)為避險比率
券商在時點0時投資組合
B-S歐式賣權公式應用（續）：
個股賣權或台指（電子或金融）賣權價格求算
投資組合保險
為了防止股票部位價值跌破某一個水準，藉由在市場上買賣其他商品來從事避險策略
1.靜態投資組合保險(Static Portfolio Insurance)：
直接從選擇權市場中買入所欲避險股票之賣權避險
2.動態投資組合保險(Dynamic Portfolio Insurance)：
利用前面所提到的歐式賣權複製法，以間接方式用股票和現金(或政府債券)來複製一個買入賣權部位，這種模擬的賣權可以隨市場變化來調整其複製資產部位，以提高複製賣權報酬之效率
投資組合保險(續)
靜態投資組合保險：
動態投資組合保險：
運用EXCEL計算選擇權價值
決定標的股價、履約價格及距到期日時間
決定無風險利率
決定股票報酬率波動度
決定N(d1)及N(d2)
決定歐式買權價格
決定歐式賣權價格
範例12-6
有股利情況下，歐式選擇權 Black & Scholes定價公式
有股利情況下，歐式買權解
有股利情況下，歐式賣權解
有股利情況下，歐式選擇權
Black & Scholes定價公式（續）
有股利情況下，歐式買權避險比例
有股利情況下，歐式賣權避險比例
52
Delta值
所謂選擇權的Delta值，指的是用來測度標的股票價格微小變動時，其將如何影響選擇權的價格的一種指標。
就數學的角度而言，即是選擇權的價格對標的股票價格作偏微分所得到的值：
53
實務上Delta值是很重要的避險參考依據，經由Delta值計算避險部位，可達成所謂的Delta-Neutral的避險效果。
若要隨時達成Delta-Neutral的避險效果。則需要隨時依新的Delta值，來改變券商之避險部位，此即所謂的「動態避險」(Dynamic hedging)的觀念。
54
Gamma值
所謂選擇權的Gamma值，指的是用來測度選擇權的Delta值，隨著標的股票價格變動而變動的大小：
55
Gamma值可以供選擇權發行者決定Delta-neutral避險部位是否需要經常加以調整 。
唯有選擇權才有Gamma值，故選擇權發行者若要沖銷其Gamma風險，唯有利用另一個選擇權才行 。
56
Vega值
所謂選擇權的Vega值，指的是用來測度選擇權的價格，如何隨著標的股票的波動性的變動而變動的大小：
57
歐式買權、賣權的Vega值相等且為正，這表示標的股票價格之瞬間波動性越高，則歐式買權、賣權的權利金也隨之越大。
唯有選擇權才有Vega值，故選擇權發行者若要沖銷其Vega風險，唯有利用另一個選擇權才行 。
58
Theta值
所謂選擇權的Theta值，指的是用來測度選擇權的價格，如何隨著隨著時間的消逝而變動的大小：
59
歐式買權的Theta值為負，意味著隨著時間的消逝，歐式買權的價值(格)亦會隨之減少；歐式賣權的價格可能增加、減少或不變 。
由Black-Scholes之偏微分方程式 (附錄12-D)，可以得到歐式買權之Delta值、Gamma值和Theta值具有下列的等式關係：
60
Rho值
所謂選擇權的Rho值，指的是用來測度選擇權的價格，如何隨著隨著無風險利率外生變動而變動的大小：
歐式買權的Rho值為正；歐式賣權Rho值為負。
隱含波動度Black &Scholes公式
B-S公式問題探討：
B-S模型所得價格與市場實際報價有所偏誤，其原因大致有：
1.股價是對數常態分配假設
2.到期期限效果
3.跳躍效果(Jump)
4.固定波動度假設
（1）波動度的期間結構 （2）笑狀波福（volatility smile）
隱含波動度（implied volatility）：
隱含波動度越高，代表選擇權市場價格越高
VII.隱含波動度Black &Scholes公式
運用EXCEL來求解隱含波動度
範例12-7
63
Black-Scholes選擇權訂價模型相關參數之選定
年化之無風險利率
以國庫券、商業本票利率(CP rate)或附買回(RP rate)、附賣回(RS rate)利率作為替代品。
選擇權有效期間
以年為單位且為了簡化起見一般皆不剔除假日，亦即一週皆以7天計。
64
股票價格瞬間波動度的估計
歷史波動度(Historical volatility) 、隱含波動度(Implied volatility)
歷史波動度之估計
移動平均模式、高低價法、標準-高低收盤價法
隱含波動度之估計
將選擇權之市場價格直接代入Black-Scholes公式，來反推估計波動度。即
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）
二項樹狀模型下，股票價格可能路徑：
假設：
1.選擇權到期日為T
2.選擇權到期日前，標的資產均無發放股利
3.每一段期間長度等於Δt，共N期，且滿足N×Δt = T。
換言之，Δt = T / N
4.目前股價為 ，下一期的股價有p的機率上升變成
u ， 1-p的機率下降變成d
5.在每一個期間，股價上升或下降幅度均維持不變
66
假設目前時點為0，某一歐式選擇權(可為買權或賣權)其價格為f，其標的股票價格為S0，且其到期日為T，年化無風險利率為r。
假設一期之後，標的股票價格只有二種可能，一為從S0上漲至S0u，另一為從S0下跌至S0d，其中u(d)可以解釋為1+標的股票價格上漲之報酬率(1+標的股票價格下跌之報酬率)，而且u>1、d<1。同時以fu (fd)表示當標的股票價格上漲(下跌)時所對應之選擇權價格。
67
圖：一期二項式模型
S0
f
S0u
fu
S0d
fd
一期二項式模型
Binomial process given by 3 coin tosses
: stock price at time k
The coin tosses are independent
p is the probability of H
q=1-p is the probability of T
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
公式：
S(T) = uX dN-X S0
X= 1,2,…,N
X為一個二項分配，故S(T)等於uXdN-XS0的機率為
Prob[S(T)=uXdN-XS0]
=(N!/X!(N-X)!)PX(1-p)N-X , X= 1,2,…,N
範例12-8
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
風險中立機率與風險中立評價法觀念：
無風險資產概念，就是當投資人在短期間內持有此種資產，不論未來金融市場如何變化，一定可以在到期日時獲取事先約定的固定報酬率，此時該資產就是無風險資產，而事先約定的固定報酬率就是無風險利率。
二項樹概念
C0
p
1-p
Cu=Max(u S0-K, 0)=-Cu+H*uS0
Cd=Max(d S0-K, 0)=-Cd+H*dS0
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
由上述二項樹可得
-Cu+H*uS0=-Cd+H*dS0
即
–Cu+H×uS0 = –Cd+H×dS0 = (–C0+H×S0) ×
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
結合上下兩式得
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
若
則
故在機率q之下
機率q又稱為風險中立機率(Risk-Neutral Probability)，上述方法又稱風險中立評價法
Stock price
Call price
Risk Neutral
probability
- If
二項樹狀模型（Binominal Tree Model）(續)
Cox、Ross、Rubinstein二項樹狀模型參數設定：
1.二項樹狀下股價期望報酬等於無風險利率
2.在短時間內，二項樹狀下股價報酬率波動度等於真實股
價報酬率波動度
3. u與d關係
三期二項樹狀模型下，歐式買權、歐式賣權、美式買權與美式賣權價值
範例12-10
76
圖：一期二項式模型
S0
f
S0u
fu
S0d
fd
一期二項式模型
77
在時點0建構一個無風險投資組合，包括買入Δ單位的標的股票，以及出售一單位的選擇權。
若標的股票的價格上漲，則此一投資組合在時點T的價值為：
若標的股票的價格下趺，則此一投資組合在時點T的價值為：
78
我們所建構的投資組合為無風險投資組合，所以上面二式的值必需相等，因此我們可以得到
或
由於該投資組合為無風險投資組合，故其現值為
79
在時點0我們建構此一無風險投資組合的成本為
為了防止套利機會存在，上列二式的值必須相等
於是我們可以求得該選擇權在時點0的價格為
80
其中
q值必介於0和1之間，故可以將它視為一個假想的機率值(Pseudo probability value)。
上述標的股票在風險中立之下 ，其在Ｔ時點的期望值會等於S0erT，即
81
上述一期之二項式模型中，標的股票其在Ｔ時點的期望值可以表達如下：
我們可由上列二式求得風險中立機率值為
所以上述的假想機率值事實上即為風險中立機率值。
82
二期暨多期二項式模型
建構一個路徑獨立(Path-independent tree)的二項式模型 指的是，不論股價先漲後跌，或先跌後漲，其結果股價都一樣。
二期模型和一期模型之差別在於每一期期間的大小，其為Δt=T/2而非一期模型之Δt=T 。
重覆並利用一期的訂價模式，可得
83
將上列前二式帶入第三式即可得
84
反覆上面程序，我們可以推得n期之二項式模型訂價公式，歐式買權評價公式
歐式賣權則為
85
【例】
假設某一歐式股票賣權，其標的股票現在價格為NTD50元，而其有效期間為二年，若履約價格為NTD52元，而年化之無風險利率為5%，且股價於每一期不是上漲20%就是下跌20%，如果使用一個二期之二項式訂價模型加以計算，則其價格應為多少？
86
【解】
本例中u=1.2、d=0.8，故我們可以建構一個二期的二項式樹
50
4.1923
二期二項式歐式賣權評價圖
60
1.4147
40
9.4636
72
0
48
4
32
20
87
每期標的股票價格上漲的機率為：
由二項式圖，我們可以計算得fuu=Max(52-72,0)=0, fud=Max(52-48,0)=4, fdd=Max(52-32,0)=20,有了這些數字我們即可以公式求得該歐式賣權的價格為
88
二項式模型評價美式選擇權
美式選擇權在任何時點都可以提早履約，因此利用二項式訂價模型來對美式選擇權作訂價時，在一期一期往後(backward)計算選擇權價格時，於每一結點必須檢查是否提早履約有利，亦即需要在每一結點比較提前履約時的選擇權價值和繼續持有該選擇權價值孰大。
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【例】
同前例的資料，若該選擇權為美式賣權，則以二項式訂價模型來計算其價格時，其值應為多少？
50
5.0894
二期二項式美式賣權評價圖
60
1.4147
40
12
72
0
48
4
32
20
A
B
C
90
【解】
結點B之選擇權價值=Max{-8, 1.4147} =1.4147，此一結果代表在結點B選擇權持有人不會提早履約。
結點C之選擇權價值=Max{12, 9.4636} =12，此一結果則代表在結點C選擇權持有人會提早履約。
再利用公式即可以計算出該美式賣權的價格等於5.0894。
91
二項式選擇權訂價模型參數選定及收斂性之說明
在選定二項式選擇權訂價模型之參數時，我們希望由二項式選擇權訂價模型所計算出來的期望報酬率和波動性(變異數)。在Δt接近0時，會等於BS訂價模型中瞬間期望報酬率和瞬間波動性。亦即
92
為了建構一個路徑獨立的二項式選擇權訂價模型，我們加上下列的限制式
利用上列三個式子，我們可以決定二項式選擇權訂價模型的參數價u、d及q如下：
，
93
【例12-7】
標的價格100、履約價格110、無風險利率0.06、標的資產波動性0.2、距到期日1年，若該選擇權為歐式賣權，則以二項式訂價模型來計算其價格時，其值應為多少？
94
【解】
不同切割期數之u、d、p的變化
95
二項式模型收斂檢測圖
n
買權價格
QUANT
Commodity derivatives
delivery issues, cost of carry, changing weather,
changing regulations, incomplete markets,…
Credit derivatives
interest rates + credit indices; correlations; default and recovery modelling
Fixed-income derivatives
Why Students Of
Prof. El Karoui Are In Demand at Banks ?
French Math Teacher Covers Structure Of Derivatives;
Banks Clamor for ’Quants’
By CARRICK MOLLENKAMP and CHARLES FLEMING
March 9, 2006; Page A1,
The Wall Street Journal
http://www.finance-concepts.com/WallStreetJournal.html
"DEA d’El Karoui."
Rama Cont, a former student and now a research fellow at the Ecole Polytechnique, describes a degree with Ms. El Karoui’s name on it as
"the magic word that opened doors for young people."
"DEA d’El Karoui."
Nicole El Karoui
62 years old , a math professor in Paris. ... teaches skills required to create and price derivatives, the complex financial instruments based on stocks, bonds or loans.
Her only hands-on banking experience in her 38-year career was a six-month stint about two decades ago at a French retail bank.
She earns about $80,000, or about $95,000, a year as a professor, plus a smaller amount for consulting fees.
She drives around Paris in a small Renault.
The 75 or so students who take Ms. El Karoui‘s “Probability and Finance” course each year are avidly sought by recruiters(徵人).
French quant candidates know that Nicole El Karoui‘s name has real clout(影響).
Rama Cont, a former student, describes a degree with Ms. El Karoui's name on it as "the magic word that opened doors for young people."
The magic word that opened doors
for young people
“A résumé with her name on it is a shortcut because you don't need to train the person on the basics of derivatives."
---says Rachid Bouzouba,
head of European equity trading at the London office of Lehman Brothers Holdings Inc.
"DEA d’El Karoui."
Ms. El Karoui's graduates can expect to earn up to about $140,000 a year in their first job, including a bonus, once they complete an internship that constitutes part of her course.
After five years, they could be earning at least three times as much.
剛畢業$140,000 & 五年後三倍
一位26歲網友的分享—from US 加州
巴黎Ecole polytechnique這個學校的學生dominate 倫敦金融城quant領域！如果你要找quant職位，練好法語先。
法國人的金融數學絕對最厲害，不僅僅金融數學起源于法國，現在一些最新的數學研究都是一群法國數學家在做。 …
這得要提一下法國的銀行，BNP（巴黎銀行）， SG（興業銀行），CALYON（農業信貸銀行）都是市場的佼佼者。特別是前兩個，在衍生品領域領先其他bank，……，在derivatives研究方面，SG的equity， BNP的fixed income領先他們很多。
如果你听說一個 equity deri. quant來自SG,他肯定經常受到獵頭騷擾。
…………
………
http://blog.wenxuecity.com/blogview.php?date=200605&postID=5568#mark
由shilongkuang張貼 @ 2006-05-12 00:16:26
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