B-S 公式中的 N(d1) 一般稱為避險比率

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選擇權在賺什麼錢


選擇權價格 ＝ F (標的價格、標的波動率、履約價格、無風險利率、距到期日時間)


trade 指數漲跌
trade 波動率的變化
trade 不同履約價的價值
trade 不同到期日的價值






敏感度分析及避險策略


　買權敏感度分析

　賣權敏感度分析

　delta中立避險策略

　delta-gamma中立避險策略

　加入vega及theta的中立避險策略







Sensitive Analysis


Delta（價格風險）

gamma（凸性風險）

vega（波動性風險）

theta（時間消逝風險）

rho（利率風險）

每個估計量都代表在其他條件不變的

情況下某種訂價變數發生變動所造成

的選擇權價值變動量







買權敏感度分析


delta

Delta 是標的物價格變動的敏感度，

是用來衡量選擇權標的物價格變動對

選擇權價格的影響







Black-Scholes 公式的解析


N(d1)為避險比率

B-S 公式中的 N(d1) 一般稱為避險比率

(hedge ratio)或對沖率，或delta

N(d1)＝


其中，61508;C：買權變動的大小

　61508;S：股價變動的大小







Black-Scholes 公式的解析


N(d1)不固定

B-S公式中的N(d1)不是固定的，會隨著股價

的上漲而上升，隨著股價下跌而下降

N(d1) 為切線斜率

N(d1) 是買權和股價關係圖形之切線斜率，

因為股價變動引起買權變動的大小之比

例　　，數學式的意義就是切線的斜率。







股價、買權價值及避險比率







Delta 值的兩項重要解釋


第一項解釋是直接來自於 Delta 指標的定

義：它是權利金 / 標的資產價格的斜率


第二項解釋是：以標的資產規避選擇權風

險時， Delta 代表應該使用的避險比率







Delta 值的幾個重要觀念


一般而言

Delta 值在buy-call的情況下其值介於0～1

Delta 值在buy-put的情況下其值介於0～ -1

Delta 值在sell-call的情況下其值介於0～ -1

Delta 值在sell-put的情況下其值介於0～1


in-the-money的選擇權其Delta 絕對值大於0.5

at-the-money的選擇權其Delta 絕對值約等於0.5

out-of-the-money的選擇權其Delta 絕對值小於0.5







Delta 值的幾個重要觀念


此外

愈是處於in-the-money的選擇權其權利金斜率愈大，

故其Delta值也就愈大

反之

愈是處於out-of-the-money的選擇權其權利金斜率愈

小，故其Delta值也就愈小

最後

欲接近到期日之選擇權，其Delta值就愈接近極端值

換言之，愈接近到期日

處於in-the-money的選擇權其Delta值將愈接近1.0

處於out-of-the-money的選擇權其Delta值將愈接近0







Delta 值的幾個重要觀念


Delta 值的多空方向

Call Put

Buy ＋ －

Sell － ＋


對於契約條件完全相同的Call與Put他們的

Delta 絕對值加總之和等於一







不同股價下之 delta







　不同到期期間之 delta







買權敏感度分析(1)


指數、外匯、期貨選擇權的delta

股價指數買權的 delta 為 ，

外匯買權的 delta 為 ，

而期貨買權的 delta 為 。

、 、 分別為股利率、國外及國內

無風險利率

投資組合 delta







例 題 一


設某一個投資組合內包括買進1000股大華04中環及3000股大信04中環，同時賣空中環股票2000股。假設過了一天，中環股票上漲1元，請問該投資組合損益為何（假設大華04和大信04的delta分別為0.77及0.62）？







解 答


由公式 求出投資組合 delta：



其中， 、 、 分別為大華04、大信04及中環股票的delta，已知， ， ， 所以投資組合delta


，因此當股價上漲1元時，投資組合價值大約上漲630元；股價下跌1元時，投資組合價值大約下跌630元。







買權敏感度分析（2）


Gamma

Gamma 是用來衡量 delta 的敏感度，也就是當股

價變動時，避險比率delta變動的情況



指數、外匯、期貨選擇權的gamma

指數選擇權的 gamma 為 ，而外匯擇

權的 gamma 為 ，期貨選擇權的

Gamma 為







Gamma值的幾個重要觀念


一般而言

多頭選擇權的 Gamma 值通常為正值

空頭選擇權的 Gamma 值通常為負值

在任一時點上

at-the-money或near-the-money之選擇權其時

間價值最大，delta 值最不穩定且gamma 值最大

而愈接近到期日

in-，at-，及out-of-the-money選擇權之趨勢將

愈來愈明顯；其中near-the-money選擇權之

gamma 值會增加，而in-或out-of-the-money選

擇權之gamma 值將變小







Gamma值的幾個重要觀念


delta 值之穩定性

近 期 遠 期

at- 或 高而凸性漸增 中等但凸性漸增

near-the-money

in- 或 低而凸性漸增 中等但凸性漸減

out-of-the-money


凸性對選擇權之買方有利

而對選擇權之賣方不利


Why ???







不同股價下之 gamma







不同到期期間之 gamma







買權敏感度分析（3）


Vega (v)

Vega 或稱 kappa 是用來衡量標的價格

波動度改變對選擇權價格的影響








Vega值的幾個重要觀念


對於變異性之敏感度

低的變異性下 高的變異性下

at- 或 相同的敏感度 相同的敏感度

near-the-money

in- 或 相當敏感

out-of-the-money 敏感度＝ near-money的數量


Call 其 Vega 值通常為正數

Put 其 Vega 值通常為負數







不同股價下之 vega







不同到期期間之 vega







買權敏感度分析（4）


rho

rho 是用來衡量無風險利率變動對

選擇權價格的影響







　不同股價下之 rho







不同到期期間之 rho







買權敏感度分析（5）


theta

theta 是用來衡量到期期限變動對選擇權價格的影響








不同股價下之 theta







買權敏感度分析（6）


履約價格對選擇權價格的影響






歐式買權







不同到期期間之 theta







不同K下之買權敏感度( )







例 題 2


假設中原認購權證的 delta 為0.62， gamma 為0.015， vega為19.37，theta 為15.717，rho 為13.714，求

(1)當股價上漲2元

(2)σ由52%上升到54%

(3)經過兩天後

(4) r 由6%上升為8%時，認購權證各上漲或

下跌多少?

(5)當股價上漲2元時，delta 上漲多少？







解 答


(1)股價上漲2元，則權證大約上升

2 61620; delta=2 61620; 0.62 ≒ 1.24元

(2)σ上升2%，則權證上升

2% 61620; vega=2 61620; 19.37/100=0.39元

(3)經過二天後，則權證下跌

261620;theta=2 61620; 15.717/365 ≒ 0.086元

(4)利率上漲2%，則權證上升

2% 61620; rho=2% 61620; 13.714/100 61504; 0.28元







解 答 （續）


(5) 股價上升2元時，delta 將上漲：

2 ×gamma＝2 61620; 0.015 ≒ 0.03，亦即delta由0.62增加為0.65。在求算中，vega、rho均定義成每上升一單位時買權上升的幅度，因此換算成每 1% 的σ或 r 的變動，需再除以100。而theta 是以年變動為單位，所以求算一天時，需除以365天。








買權敏感度分析（7）


lambda ( )

Lambda 是用來衡量當股價變動1%時，選

擇權價格變動多少%。



買權波動度彈性

買權時間彈性

買權利率彈性







不同股價買權的價格彈性







不同到期期限買權之價格彈性







例 題 3


根據市場認購權證資料得知，某權證的 delta 為0.77，權證價格為19元，標的股股價為70.5元，如果該標的股股價上升 1%，那麼認購權證應該上漲多少%？







解 答


先求出認購權證的



所以當股價上升 1% 時，認購權證大約上漲

2.86%。







例 題 4


同例題2，已知中原企業股價為70.5

元，其所發行之權證價格為11.5元，

距到期日還有189天，求各變數對買權

的彈性







解 答


(1)買權價格彈性為 或




(2)買權波動度彈性為

或


(3)買權時間彈性為

或



(4)買權利率彈性為

或







部位風險衡量


Delta Gamma Vega Theta

Buy Call ＋ ＋ ＋ －

Sell Put － － － ＋

Buy Put － ＋ ＋ －

Sell Put ＋ － － ＋







賣權敏感度分析


1.賣權delta

歐式賣權delta

2.賣權gamma

歐式賣權gamma

3.賣權vega(kappa)

歐式賣權vega(kappa)








賣權敏感度分析（1）


4.賣權rho

歐式賣權rho

5.賣權theta

歐式賣權theta


6.







Delta 中立避險策略


在B-S理論推導時假設賣出一口買權，買

入 delta 的股票，短時間內，該投資組

合的價值不受股價變動的影響，也就是

所謂的 delta 中立(delta-neutral)情形

V = －N × C ＋ NS × S







例 題 5


假設某券商發行1000股中原企業的認購

權證，已知權證的delta為0.62，則需

同時買入多少股中原企業股票來達到

Delta 中立避險呢（認購權證價格為

11.5元，股價為70.5元）？







解 答


要達到delta中立，則投資組合delta需為

0，即：


因為認購權證的 delta = 0.62，

則 ，所以應該買入約 620股

的中原企業股票來達到 delta 中立的避險

效果。而避險投資組合的價值或投資成本為

元







Delta 中立避險的損益
賣空買權、買入股票







Delta 中立避險損益
買入買權、賣空股票







Delta 中立避險與 gamma 風險







例 題 6


假設其他條件跟例題3和例題4一樣，但是券商另外要規避 gamma 風險，即 delta-gamma 中立避險，假設中原企業認購權證之價格、delta、gamma、vega 分別為8.4、0.757、0.028及7.021，則券商需買入多少中原企業權證及中原企業股票來達到 delta-gamma 中立避險？







加入 vega 及 theta 的
中立避險策略


delta-gamma-vega 中立避險

delta-gamma-theta 中立避險







選擇權的避險


Delta避險—以股票現貨投資人的觀點來看


例如：12月1日時，某投資人協議將在五個月後購買聲寶股票30萬股，隔年5月15日到期履約價格為15元，聲寶股票買權Delta為0.5381，則避險比率為

1/0.5381=1.8584

因此為了規避5月交割的價格風險，投資人需買進558張5月到期的買權

30061620;1.8584=557.52≒558







選擇權的避險


0.4941


0.5381


Delta


(1.13-0.95)×1000×558 =-$100,400


0.95


1.13


聲寶

買權


(15.19-14.88)×300,000=

$93,000


14.88


15.10


聲寶

現股


損益


12月5日

行情


12月1日

行情


Delta避險—12月5日的行情如下:







選擇權的避險


買權的Delta值由原先的0.5381下降為

0.4941，因此避險比率也應作調整，新的

比率應為 1/0.4941=2.0239

也就是607張買權(=300 ×2.0239)

因此該投資人需再買進49張5月15日到期

的買權(607-558=49)