BS 期权隐含的波动性>actual波动性, OTM even worse!

15.433投资学
第11节：股票期权
第2部分：经验证据
2003年春
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Black Scholes模型
股价服从几何布朗运动。转换成离散时间后，股价服从随机游动：
这个模型暗示，在时间段内股票收益服从正态分布的，标准差为。
市场是动态完全的。期权是多余的，且可以通过利用无风险收益r和标的股价S进行动态套期保值来复制。
对执行价格为K，期限T的看涨期权的Black Scholes公式为：
这依赖于当日的股价S0，标的股票的波动性和无风险收益率。
http://www.core.org.cn/NR/rdonlyres/Sloan-School-of-Management/15-433InvestmentsSpring2003/5D01421E-78BE-4A6D-8E50-8758E6A5596D/0/1543311equityoption2.pdf


Black Scholes公式的含义
由不同协议价格K和期限T的期权隐含的Black Scholes波动性可以是相同的。也应该不随时间变化。
期权隐含的波动性应该与标的股票市场观测到的波动性水平是一致的。
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股票和期权的时间序列
图1：在哪里发生波动了？
图2：在哪里发生波动了？
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反对Black Scholes的证据
Black Scholes显示波动性不随时间变化。
期权市场隐含的波动性一般要高于直接从标的股票市场上观测到的波动性。
在任何一天，不同的K和T的期权（看涨期权和看跌期权）都表现出某种形式的“微笑”：
1048698; OTM看跌期权比ATM期权和OTM看涨期权有更高的隐含波动性。
1048698; 这种“微笑”模式在短期旧期权中更明显。
1048698; 远期期权隐含的波动性与短期期权隐含的波动性是不同的。
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恒定波动性的假设
波动性不是恒定的事实可以从标的股票市场和期权市场中看出来。
实际上，波动性本身就是一个随机过程，例如，令，一种流行的随机波动模型为：
某些经验性的“规律”：
1． 波动性是随机的
2． 波动性是持久的
3． 波动性是均值的
4． 波动性与标的股价是负相关的
对每项规律，你能提供期权市场的相关检验证据么？
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无跳跃假设
股票价格经历突然跳水的事实可以从标的股票市场和期权市场上看出（为什么？）
Black Scholes公式中价格是连续的：
当我们将时间段缩短至0时，波动性成分同时缩短到0。
在1976年，Black Scholes公式提出3年后，Bob Merton又提出了一种跳跃型的扩展。
你可以提供一种期权市场上显示标的股票价格负向跳跃的相关经验证据么？
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完全市场假设
尽管Black Scholes公式中没有作出明显假设，但市场对标的股票和无风险帐户来说是动态完整的。
直观印象是只有唯一的不确定性来源（同布朗运动相关），这可以由标的股票的价格完全反映出来。
如果除了布朗运动外标的股票还存在其它的跳跃风险，那市场就不再是完整的。
如果股票的波动性自身也有随机波动，对此我们也有同样的直观感觉。
在上述两种情况下，投资者对附加的不确定来源的厌恶性可以通过期权价格表现出来。
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对跳跃的恐惧
期权市场，尤其实OTM看跌期权，为投资者提供了唯一的表达他们对负价格跳跃厌恶的机会。
该OTM看跌期权的市场价格不仅反映了这样跳跃的概率和大小，而且反映了投资者对这种跳跃的厌恶程度。
这种对负跳跃风险的厌恶和对负偏度的厌恶势密切相关的。
同可以得知Black Scholes隐含波动一样，从OTM看跌期权中也可以得到负跳跃的概率和大小。
我们发现期权隐含的跳跃风险要比直接从股票市场上发现的大很多（Jun Pan 2001），这是为什么呢？
9
小结
Black Scholes模型为我们提供了一种用公式表达期权价格的有力框架。
Black Scholes公式为我们衡量不同市场情况下期权价格的灵敏度提供了有力工具。
对期权交易者，这种灵敏度指标同呼吸空气一样重要。
从标的股票市场和期权市场上可以得到很多的证据来表明Black Scholes公式的假设过于简化。
本节中，我们考察了随机波动的影响、价格跳跃和对价格跳跃的恐惧。
要点：
BKM 21章
可能题型：概念检验1－8，标21.3、21.4，p.732问题7、10、13、14、34、22
10
下节问题
阅读：
1048698; BKM 14章
1048698; Kritzman（1993）
股票跟债券的主要区别是什么？
为什么人们相信债券比股票更安全？查阅Wall Street Journal，感受一下股价和债券价格日变化百分率。