芝诺悖论

芝诺悖论是说，假设有个人，要从A点到B点，是永远都到不了的，因为要从A到B，就必须经过之AB间的所有的点，但是根据数学的定义，A到B间的点是无穷多的，无穷多是不能被穷尽的，所以就没办法经过所有的点，这样就永远都不能到达B点。

有人用空间是不能被无限细分来反驳，我看是没理解芝诺悖论的本意，说空间是不能被无限细分，本身并不能被证明，它隐藏的含义是无穷大是不存在的，但是这样就得把无穷大的概念从数学中取消，就是说假设在一个虚拟的空间中，假设空间是可以被无限细分的，可以被分成无穷小，这样就可以被分成无穷多分，芝诺悖论就成立了。

在现有的物理和数学体系下，芝诺悖论是成立的，并不是芝诺悖论陈述了事实，而是现有的物理和数学体系本身就是建立在悖论上的，只是平时被忽略，芝诺悖论把它变得直观化了。

先看看点的概念，点是体积无穷小但是不为零的数学概念，是不是有点悖论的意味？人类对这类概念明显的无能为力，无穷大无穷小本来就很不好理解，他们的相互运算就更让人模糊了，人类给他们做了种种限定，但是常常顾此失彼。

一个点从A到B，就要经过中所有的点，但是怎样定义经过呢，要知道这可是一个无穷小经过另外一个无穷小。

假设从A到B的距离是5，那把他分成无穷多分，每分都是无穷小，那可以说无穷多个无穷小的总和是5。

假设从A到B的距离是10，那把他分成无穷多分，每分都是无穷小，那可以说无穷多个无穷小的总和是10.

对理论物理家来说，数学就是他们唯一的工具，但是这个工具实在不好用，物理问题转化成数学问题时就要牺牲很多东西，再反复推导运算，就会出现奇怪的结论，数学本身是很好的，很严谨的，但是有时为了物理不得不作些改动。

我想象中在现有的数学框架下想反驳芝诺悖论是不可能的，因为芝诺悖论就是数学自己的问题，除非把数学推翻重来，比如引入有限无穷小之类的概念，但是就更加自相矛盾，也太复杂，太屈从物理。

芝诺悖论的存在证明人类的局限性，不是坏事，也没阻挠物理数学的发展，自然就没人理它。

我才疏学浅，都是看了以下文章的启发，附录：

 

 

不務正業：試解芝諾悖论

 

要點：

1. 空間是個網格。

2. 物體存在於格中。

3. 物體移動是瞬時的.

 

芝諾悖论有很多，最典型的當屬龜兔賽跑。烏龜在前慢慢爬，兔子在後快快跑，但芝諾斷言，無論烏龜多慢，兔子多快，兔子永遠追不上烏龜。

芝諾緣何如此自信，公然違背人類最基本的常識？

芝諾的論證很間單：兔子要追上烏龜，先要追上半程。要追上半程，先要追上半程的半程，要追上半程的半程，先要追上要追上半程的半程的半程，，，依此類推，永遠沒完。

不牽涉高深的數學，物理，但查查 Wiki ，至今無人能解。

 

物理學反駁芝諾，計算兔子對烏龜的相對速度，輕易算出兔子絕對會追上烏龜。但相對速度只是個幌子，無關緊要。哪怕烏龜睡大覺，兔子也永遠追不上。有人把時空四維都用上，證明“阿奇里斯点必须历经（重合）先前的所有乌龟点后才能在同一时刻与乌龟点重合，也就是追上乌龟“是不可能。但哪怕兔子斜插抄近路，也永遠不可能趕上烏龜。

數學的方法是證明兔子與烏龜的距離 1/2，1/4，1/8。。。的總和 S＝1。也有人甚至更高深復雜的數學，什麼柯西收斂，復變函數都用上了，以爲解答了芝諾悖论，但也是搞錯題了。不過要理解他們錯在哪裡，卻不是那麼容易的，必須要從歷史上找一個哲學家來幫助。

 

人類歷史上最偉大的科學家是牛頓，這除了中國民科外，大概不會有人反對。牛頓發明的微積分是現代數學的最大成就，牛頓的力學是現代工程的基礎，理論為其後近兩百年的實驗一再證實，名符其實地被奉為宇宙的絕對真理。

“Nature and Nature's laws lay hid in night:

God said, Let Newton be! and all was light.”

但有個叫休漠的哲學家潑了冷水：太陽每個早上升起，並不表示明天早上也會升起。以前所有實驗都證實了並不代表下一個實驗還會證實。而實驗是無窮多的，只有下一個，沒有最後一個。牛頓力學再多實驗證據，都是有限的。我們無法做無限多的實驗，因此我們永遠也不能百分之百地確定它是絕對真理。

因爲休漠，有哲學思想的科學家們不得不承認，科學永遠不能趕走上帝。

 

芝諾的論證和休漠的論證是等同的。在人類的思維裡，兔子的步子可以無限可分的，沒有最小步，只有更小步，因而是無限多步。但兔子不可能走無限多步，所以它永遠不可能趕上烏龜，再多的時間也沒用。Mission infinite=mission impossible.。（有人稱為 supertask，但不夠準確）。這才是芝諾悖论的本質。計算極限，速度，時間都是 barking up the wrong tree。

 

現實中的兔子當然可以輕易趕上烏龜，芝諾悖论因此必然有解。對時空概念的修正是唯一的可能。最間單的修正就是空間不是連續的，因而不是無限可分的。但這個概念本身並不足以直接解釋芝諾悖论。如果以最小的空間單位來計步數，兔子比烏龜快，因而在同樣時間內兔子跨的步數必然比烏龜多。這必然導致如下問題：兔子烏龜一同起跑，當兔子跨了一步的時後，烏龜移動了多少距離？只能是比最小的空間單位更小的距離，但這是自相矛盾。

 

所以除了最小的空間單位，還需要修正其它的概念才能解決芝諾悖论。一個可能的修正概念是時間也只能有限分割。物體如果移動，在每一個最小時間單位就至少要移動最小的一步。但兔子比烏龜快，最小的時間單位裡移動不止一步，這必然導致一個問題：兔子走一步時花了多少時間？必然少於最小的時間單位，但這是自相矛盾。所以要保留空間最小單位，則不能有時間最小單位。

 

對人類時空概念做如下的修正才能解決芝諾悖论：

 

1. 空間是個 grid，每一格是一個最小的空間單位。

2. 物體存在於格中，完全靜止，紋絲不動。

3. 物體從一個格移動到另一個格是瞬時的，時間差 ＝0 （速度＝無窮大）。

 

（1）：這是兔子不用跨無窮多步的保證。

（2）：若物體在空間最小單位的一格中也有移動，就表示可以比格子空間最小單位更小的空間，自相矛盾。空間最小單位的概念必然導致物體在格中是完全靜止的。

（3）：為什麼是瞬時移動，而不能假設每移動到一格需要一段微小的時間？因若如此，必然導致：既然不能有最小時間單位，就必然可問在那段微小時間一半的時侯，物體移動了多少？只能小於一格了。但如上證明，小於一格的移動是不可能的。

 

用這三個修正概念，芝諾悖论就很容易解決了。兔子比烏龜快不是因爲它在格間移動的快，而是因爲它在每個格子裡的停留時間短。它不需要穿 過無窮多個格子了，自然可以趕上烏龜。 Mission finite ＝mission possible -> mission accomplished. 

 

最小空間單位是最基本的修正概念，但也最易理解。空間的 grid 結構可以說更與人類的直覺吻合，比如電視屏膜由pixels 組成的。但物體要麼完全靜止（2），要麼以瞬時移動（3）是與人類的直覺相反的，尤其是瞬時移動，表示速度是無窮大，怎麼可能？愛因斯坦對量子力學的最嚴厲批評就是它導致瞬時傳播（quantum entanglement），但這基本已為現代物理實驗證明。然而正如如休漠論證的，實驗再多，也不能給人類絕對的信心。芝諾悖论必然導致瞬時移動，僅需要一個兔子曾追上一只烏龜就足以證明了。

 

芝諾悖论逼迫人類修正時空概念，問題於是轉變成：最小的空間單位有多小？物體完全靜止又為何移動？瞬時移動如何實現？物理學家們能解答這些問題嗎？需要用到柯西極限，復變函數，四維時空嗎？也許這些才是上帝最後的奧秘？

 

 

 

 

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