数学史上，欧拉（Leonhard Eule, 1707-1783）是最多产，最传奇的数学家，没有之一。
瑞士的巴塞尔(Basel, Switzerland)是莱茵河畔一座美丽城市。300年前，这座城里有一数学世家，就是伯努利家族(Bernolli). 伯努利兄弟几人都是鼎鼎大名的世界级数学家。这时，城里降生了一位未来的数学巨匠---欧拉。
青年的欧拉，聪明勤奋，博闻强记，凡事过目不忘。13岁他进入巴塞尔大学，拜师约翰.伯努利(Johann Bernolli)门下。16岁硕士毕业。从此，欧拉的研究成果就如“井喷”般一个接一个的出现在世界上。欧拉是幸运的，上帝赐他超人的天赋；欧拉又是不幸的，他青年时就失去一只眼睛，64岁双目失明。然而，无论是青年，中年，还是老年；无论是健全，还是变成盲人；他的成果，源源不断，无论数量，还是质量，丝毫不减，令人惊叹。鞠躬尽瘁，死而后已，说的正是欧拉。
这篇小小的科普文章，本人选了欧拉的三个公式。通过它们，一起来欣赏与体会，欧拉出神入化的洞察力，精巧的构思，不拘一格的解决问题的能力，和简洁漂亮的结果。
欧拉第一公式 (Euler’s Identity，1748年)
eix = cos x + i sin x
这里，i 是复数， i2 = -1。
特别地，让 x = π, 那么，上面公式就变为：
eiπ + 1 = 0
这公式被称为最漂亮的公式，因为它简单，更因为它给出了世界上最重要的五个数的关系： 0 代表着加法的中心，1代表乘法的中心，i代表着复数的出发点，e 代表着微积分的平衡点，π代表着几何。
我们看看欧拉是怎么发现的这公式的：1748年的一天，欧拉玩着下面几个泰勒级数 (Taylor Series)
他忽发奇想，在 ex 的泰勒级数中，把实变量x换成ix 会怎么样呢？ 它变成下面这样子：
整理重组一下，
比较上面sinx 和cosx 的泰勒级数，这就得到了欧拉第一公式。
欧拉第二公式 （The Basel Problem 1734年）
1644年，一位意大利数学家Mengoli 提了这么一个问题：
之后的九十年间，许多世界级数学家尝试解决这个问题，包括微积分发明人之一的莱布尼兹(Leibnitz), 伯努利兄弟们。他们只能计算一些近似值，完全不知道怎样去找精确解。经过许多次失败，欧拉的师叔贾可比. 伯努利(Jakob Bernoulli)对数学界恳求：“各位同事，各位高人，如果有人能发现这个问题的解，并且告诉我们，将不胜感激。”因此，这个问题称之为巴塞尔问题。
还真有高人。不是别人，正是他的师侄欧拉。1734年，28岁的欧拉找到了答案。阅读欧拉的工作，不仅惊讶于结果的精美，更惊讶方法的巧妙别致却并不复杂，人们不禁会说：“看上去没那么难，我也应该可以做出来，可是为什么就是没有想到呢？”
让我们看看欧拉怎么解决这个问题的吧。重温一下我们在前面见到的泰勒级数：
我们把它看作无穷项的多项式，它的所有零点是：x=0,±π,±2π,±3π,…. 根据多项式根与因式分解的关系，有下面的式子：
所以，
比较两边展开式 x3 的系数，
稍作简化就得到欧拉第二公式。
欧拉第三公式 （1737年）
其实这公式一点都没错。我们先从最简单的无穷几何级数开始：
对它两边求导数，
赋值x = -1, 那么，
设 S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ….;
2S = 2 + 4 + 6 + 8…..;
所以，
S - 2*2S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +…
根据 (***),
这就得到了欧拉第三公式。
如果你受过严格的数学训练，一定会说：“错了！ x 不可以等于-1，因为级数在那里是发散的。”然而， 欧拉毕竟是欧拉，他知道怎样让思想自由地冲破理论的束缚去发现世界的奥秘。当然，这个公式是可以用严格的数学方法推导证明的，这就要用到欧拉首先发现的著名的欧拉-黎曼(Bernhard Riemann, 1826 – 1866) zeta 函数：
这个函数只在 s>1 时收敛。然而，欧拉将它光滑地延拓到实数轴上，后来黎曼将它延拓到复数平面。延拓后，
这就是之前的欧拉第三公式。
这古怪的公式到底有什么用呢？物理学玻色子弦理论 (Bosonic String Theory) 用欧拉第三公式计算出宇宙时空的维数是26 (25维空间加1维时间 )。如果引入超对称(supersymmetry), 时空的维数将减少为10维 (9维空间加1维时间 )。
欧拉的时代已经过去两百多年了。现在，人们关注的是瑞士的达沃斯(Davos), 那里常常政要云集，才俊汇聚，光彩眩目一时。永恒的，却是200多公里外的巴塞尔所飘出的欧拉之气息，激励着一代代探索者。
更多我的博客文章>>>
