EAD 找工的三个问题

我绿卡申请走的是遥遥无期的EB3。 最近公司搞外包，我跟全组一起被laidoff， 目前还在上班，公司说我们随时可以走，但是最迟是7月份。

面试了一家公司，事先告诉他们我是EAD卡。 第三轮面试后一个星期，新公司人事总监找我要valid labor certification. 我找给我办绿卡的律师行（旧公司雇的-我还是在职雇员，说‘旧公司’以示区别新公司）要，他们说我们公司政策是不提供，但是可以给我labor certification 上的job deion. 我找了公司人事他们说不能给我破例（中间他们忽悠了我一下，浪费了几天时间）。 四天后，我拿到job deion马上给新公司人事发过去，这又过了三天了，对方人事还没有回音。

我的问题是：1）这个labor certification是不是新公司必需的？ 要是的话我再去找现在公司磨磨去。
2）最后一轮面试都过去两个星期了，我有点儿心急。 想找新公司的人事问问进展，会不会显得追得太急了？ 注：两家都是大公司。
3）如果我七月前找不到工作，是不是8月份就要回国？ 我自己其实不在意在哪里，只是因为我儿子也在我的绿卡申请上，能给他办个绿卡多个选择是我的心愿。

多谢大家的指教！