（三）数学的不完美---数学史上的三次危机
严谨规范、仙风入骨的数学也有不完美之处？的确如此，有数学史上三次危机作证。
第一次数学危机源于存在不可公度的量，发生在公元前500年的希腊，以希伯索斯（Hippasus）悖论为代表。
当时，以数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）为首的学派崇尚数学，认为万物皆数，万物皆有公度。皆有公度的意思是说，任一物体的长度，是另一物体的长度的整数倍或分数倍，也就是说，可用另一物体的长度来表示。而那个当成尺子的物体的长度是自己的1倍，所以，任意两个物体都可通比，即皆有公度（注1）。这个结论，从直观上说应该是对的，也是合情合理的。比如，5辆马车长=16个城门宽，那么，马车和城门的长度比就是5:16或1:16/5(即一马车长=16/5个城门宽)。又比如，1.23个鞋长=5.67鞋宽，则鞋长和鞋宽之比=1.23/5.67=123/567=41/189=1/(189/41)。另一方面，该学派证明了著名的毕达哥拉斯定理（即勾股定理。据说，兴奋无比的毕达哥拉斯为此宰百牛而贺，故有“百牛定理”之称）。而正是后者这支矛刺穿了万物皆有公度这面看似坚不可摧的盾。因为毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度，是无法公度的量。如此一来，该学派无法自圆其说。这太不可思议，太无理了（这也是后来称这个新的数为无理数的原因），因为它直接动摇了万物皆(分)数这一理念。但是，这个对角线长是一实实在在的量，而推理也百分之百正确，那么，你必须承认，你的理念有错。所以，你不得不妥协，不得不退一步。于是，一种新的数，无理数，诞生了。这貌似后退的一步，其实是海阔天空的一步，是向前迈进了一大步。数学的基石，非但没有动摇，反而更坚实，也就为以后的发展，打下了更加宽厚的基础。
第二次数学危机源自关于无穷小量的争论，发生在17世纪的牛顿时期，以贝克莱（George Berkeley）悖论为代表。
无穷小，直观理解就是无限接近0的量，或者说要多小，就有多小的量。发明了微积分的牛顿，把无穷小量的概念，通过不严谨的求极限方法，用在了求导数和具体的物理问题上，比如求瞬时速度。但是贝克莱主教却给这一研究狠狠一击。他说，这个幽灵般的无穷小，你一会儿说它不是零(比如说当它是分母时)，一会儿又说它是零(比如说当它是一单独的分量时)。那么它到底是，还是不是呢[注2]？你这种推导，不是自相矛盾吗？你老是嘲笑我们神学家，原来你自己也是翻手为云，覆手为雨，比我们神学家还神啊。主教的攻击，虽然目的是维护神学，但切中要害。怎么办？回避是徒劳的，也不符合数学家们的性格，只有应战。一大批数学家门以接力方式，不懈研究，终于在十九世纪下叶建立起严谨、完整的实数理论，为极限论和微积分（包括它们的应用）提供了坚实的数学基础，从而也就彻底解决了第二次数学危机。
第三次数学危机源于集合论矛盾，发生在19世纪末、20世纪初，以罗素（Bertrand Russell）悖论为代表[注3]。
由康托尔（Georg Cantor）创立的集合论，是现代数学的基础。但罗素提出的理发师悖论，向这一理论提出了震撼性的挑战。这个悖论是，村里的理发师立了一规矩，他要给，也只给村里不给自己理发的人理发。那么，谁给理发师理发呢？假定理发师不给自己理发，那么根据规矩，不给自己理发的人(这时，这个人也就是理发师自己)，必须让理发师理发，这与假定不符。假定理发师给自己理发，那么根据规矩，他只给村里不给自己理发的人理发，换句话说，凡属自己给自己理发的人，理发师是不会给他理发的。因此，理发师不能给自己理发。这也与假定不符。这样一来，理发师既必须给自己理发，又不能给自己理发，不管怎样，都是矛盾的。
这第三次数学危机，使数学家们认识到，数学系统，并不完美，必须给她加以适当的条件限制，或是规范化和公理化，才能使其完备一致，而避免诸如罗素悖论的发生。有趣的是，由此形成的三大主流学派（包括直观派，逻辑派和公理派）关于数学的哲学思考的争论，直到今天，仍在继续……
看来，追求和谐，而不是追求完美；接受挑战，而不是回避挑战，不失为人之道。
最后，请大家做几个数学题（不需要多少数学知识，只有最后一题是高数题，但从前面的贴子里可找到提示）。你要是做不出，不妨让孩子们试试，看看是否象一个电视节目展示的：你能不能比过小学5年级的他们？
1)一个算术题---漆屋顶。单独做，哥哥用4天，弟弟用6天。俩人合做，要用几天，(我多次用此题考可爱的洋朋友，赌啤酒，常赢，屡试不爽。)
2)一个几何题---前面谈到了黄金分割比，现在，请你用圆规和无刻度的直尺，找出一条线段的黄金分割点。
3)算术和几何题已各有一个，这次做个三角文字游戏：三角几何共八角，三角三角，几何几何。
4)再做一个几何题---重分边界。甲和乙各有一块地，却以一条折线为边界。请问，如何公平地重新划线，使边界变为一直线（即使新边界像“工”字中的那一竖）。
5)玩一个折纸游戏，也就是大家熟悉的莫比乌斯带：我们知道，一个没有洞的闭合纸圈有正，反两个面。一只蚂蚁要从正面爬到反面去，必须爬过边界(即正，反面的交界线)才行。现在请你设计这样的一个纸圈，让蚂蚁不用翻过边界就能爬到反面去(即可否做一个只有一面的纸圈)。又：如果沿着这个纸圈的中央剪一圈，问剪得的结果是什么？把所得结果再沿中线剪一圈，结果又是什么？两个圈？一个圈？两个套在一起的圈？还是什么别的。
6)朝山敬香只有一道。唐僧早上6：00从山下自卑亭出发，走走停停，于下午6：00到达山顶大庙。修行数日后，也是早上6：00从山顶大庙出发，停停走走，刚好在下午6：00到达山下自卑亭。如果不管日期，请证明在这山道上，一定有一点，唐僧是在同一时刻经过的。
7)做一个真正的中国奥赛题(记不清是哪一年的了)---在边长为1的正方形中，有9个点。证明，一定可从中找出3个点，使得由该3点组成的三角形的面积不超过1/4。
8)在前面的贴子里谈到过李逵住店的事。如果来了不止一个，而是几个李逵，我想大家肯定立马就找到了解决办法。现在的问题是，来了编号是1号，2号，等等直到无穷多号的李逵，这可怎么办好？
[注1]：皆有公度的代数含义就是：任何数都可用既约分数（即分子分母没有公约数的分数）来表示。然而，用反证法可证明，√2是无法表示成既约分数的。
[注2]：以x平方求导为例：
(x^2)'= lim[(x+∆x)^2-x^2]/∆x = lim(2x*∆x/∆x+∆x^2/∆x) 这里∆x ≠ 0，所以可以约分而划掉，从而：
(x^2)'=lim(2x+∆x) 这里令∆x = 0来求极限，即 ∆x = 0, 所以 (x^2)'=2x.
[注3]理发师悖论是罗素悖论的一个通俗说明。罗素用数学的集合论语言，构造了一个特殊的二重集合（即以集合为元素的集合），结果发现，这个特殊的集合既要属于它自己，又不能属于它自己。
严谨规范、仙风入骨的数学也有不完美之处？的确如此，有数学史上三次危机作证。
第一次数学危机源于存在不可公度的量，发生在公元前500年的希腊，以希伯索斯（Hippasus）悖论为代表。
当时，以数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）为首的学派崇尚数学，认为万物皆数，万物皆有公度。皆有公度的意思是说，任一物体的长度，是另一物体的长度的整数倍或分数倍，也就是说，可用另一物体的长度来表示。而那个当成尺子的物体的长度是自己的1倍，所以，任意两个物体都可通比，即皆有公度（注1）。这个结论，从直观上说应该是对的，也是合情合理的。比如，5辆马车长=16个城门宽，那么，马车和城门的长度比就是5:16或1:16/5(即一马车长=16/5个城门宽)。又比如，1.23个鞋长=5.67鞋宽，则鞋长和鞋宽之比=1.23/5.67=123/567=41/189=1/(189/41)。另一方面，该学派证明了著名的毕达哥拉斯定理（即勾股定理。据说，兴奋无比的毕达哥拉斯为此宰百牛而贺，故有“百牛定理”之称）。而正是后者这支矛刺穿了万物皆有公度这面看似坚不可摧的盾。因为毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度，是无法公度的量。如此一来，该学派无法自圆其说。这太不可思议，太无理了（这也是后来称这个新的数为无理数的原因），因为它直接动摇了万物皆(分)数这一理念。但是，这个对角线长是一实实在在的量，而推理也百分之百正确，那么，你必须承认，你的理念有错。所以，你不得不妥协，不得不退一步。于是，一种新的数，无理数，诞生了。这貌似后退的一步，其实是海阔天空的一步，是向前迈进了一大步。数学的基石，非但没有动摇，反而更坚实，也就为以后的发展，打下了更加宽厚的基础。
第二次数学危机源自关于无穷小量的争论，发生在17世纪的牛顿时期，以贝克莱（George Berkeley）悖论为代表。
无穷小，直观理解就是无限接近0的量，或者说要多小，就有多小的量。发明了微积分的牛顿，把无穷小量的概念，通过不严谨的求极限方法，用在了求导数和具体的物理问题上，比如求瞬时速度。但是贝克莱主教却给这一研究狠狠一击。他说，这个幽灵般的无穷小，你一会儿说它不是零(比如说当它是分母时)，一会儿又说它是零(比如说当它是一单独的分量时)。那么它到底是，还是不是呢[注2]？你这种推导，不是自相矛盾吗？你老是嘲笑我们神学家，原来你自己也是翻手为云，覆手为雨，比我们神学家还神啊。主教的攻击，虽然目的是维护神学，但切中要害。怎么办？回避是徒劳的，也不符合数学家们的性格，只有应战。一大批数学家门以接力方式，不懈研究，终于在十九世纪下叶建立起严谨、完整的实数理论，为极限论和微积分（包括它们的应用）提供了坚实的数学基础，从而也就彻底解决了第二次数学危机。
第三次数学危机源于集合论矛盾，发生在19世纪末、20世纪初，以罗素（Bertrand Russell）悖论为代表[注3]。
由康托尔（Georg Cantor）创立的集合论，是现代数学的基础。但罗素提出的理发师悖论，向这一理论提出了震撼性的挑战。这个悖论是，村里的理发师立了一规矩，他要给，也只给村里不给自己理发的人理发。那么，谁给理发师理发呢？假定理发师不给自己理发，那么根据规矩，不给自己理发的人(这时，这个人也就是理发师自己)，必须让理发师理发，这与假定不符。假定理发师给自己理发，那么根据规矩，他只给村里不给自己理发的人理发，换句话说，凡属自己给自己理发的人，理发师是不会给他理发的。因此，理发师不能给自己理发。这也与假定不符。这样一来，理发师既必须给自己理发，又不能给自己理发，不管怎样，都是矛盾的。
这第三次数学危机，使数学家们认识到，数学系统，并不完美，必须给她加以适当的条件限制，或是规范化和公理化，才能使其完备一致，而避免诸如罗素悖论的发生。有趣的是，由此形成的三大主流学派（包括直观派，逻辑派和公理派）关于数学的哲学思考的争论，直到今天，仍在继续……
看来，追求和谐，而不是追求完美；接受挑战，而不是回避挑战，不失为人之道。
最后，请大家做几个数学题（不需要多少数学知识，只有最后一题是高数题，但从前面的贴子里可找到提示）。你要是做不出，不妨让孩子们试试，看看是否象一个电视节目展示的：你能不能比过小学5年级的他们？
1)一个算术题---漆屋顶。单独做，哥哥用4天，弟弟用6天。俩人合做，要用几天，(我多次用此题考可爱的洋朋友，赌啤酒，常赢，屡试不爽。)
2)一个几何题---前面谈到了黄金分割比，现在，请你用圆规和无刻度的直尺，找出一条线段的黄金分割点。
3)算术和几何题已各有一个，这次做个三角文字游戏：三角几何共八角，三角三角，几何几何。
4)再做一个几何题---重分边界。甲和乙各有一块地，却以一条折线为边界。请问，如何公平地重新划线，使边界变为一直线（即使新边界像“工”字中的那一竖）。
5)玩一个折纸游戏，也就是大家熟悉的莫比乌斯带：我们知道，一个没有洞的闭合纸圈有正，反两个面。一只蚂蚁要从正面爬到反面去，必须爬过边界(即正，反面的交界线)才行。现在请你设计这样的一个纸圈，让蚂蚁不用翻过边界就能爬到反面去(即可否做一个只有一面的纸圈)。又：如果沿着这个纸圈的中央剪一圈，问剪得的结果是什么？把所得结果再沿中线剪一圈，结果又是什么？两个圈？一个圈？两个套在一起的圈？还是什么别的。
6)朝山敬香只有一道。唐僧早上6：00从山下自卑亭出发，走走停停，于下午6：00到达山顶大庙。修行数日后，也是早上6：00从山顶大庙出发，停停走走，刚好在下午6：00到达山下自卑亭。如果不管日期，请证明在这山道上，一定有一点，唐僧是在同一时刻经过的。
7)做一个真正的中国奥赛题(记不清是哪一年的了)---在边长为1的正方形中，有9个点。证明，一定可从中找出3个点，使得由该3点组成的三角形的面积不超过1/4。
8)在前面的贴子里谈到过李逵住店的事。如果来了不止一个，而是几个李逵，我想大家肯定立马就找到了解决办法。现在的问题是，来了编号是1号，2号，等等直到无穷多号的李逵，这可怎么办好？
[注1]：皆有公度的代数含义就是：任何数都可用既约分数（即分子分母没有公约数的分数）来表示。然而，用反证法可证明，√2是无法表示成既约分数的。
[注2]：以x平方求导为例：
(x^2)'= lim[(x+∆x)^2-x^2]/∆x = lim(2x*∆x/∆x+∆x^2/∆x) 这里∆x ≠ 0，所以可以约分而划掉，从而：
(x^2)'=lim(2x+∆x) 这里令∆x = 0来求极限，即 ∆x = 0, 所以 (x^2)'=2x.
[注3]理发师悖论是罗素悖论的一个通俗说明。罗素用数学的集合论语言，构造了一个特殊的二重集合（即以集合为元素的集合），结果发现，这个特殊的集合既要属于它自己，又不能属于它自己。
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