（二）数学之美
数学，美在无形，又美在有形。她就像天都峰上望西施，是3D型的。具体地讲，数学，美在思维，美在抽象，美在结构，美在自然。
数学思维之美，如天马行空，却又长缨在握。这在前面的例子里已略有所见，而大家对5岁的高斯脱口算出从1加到100的事，也是耳熟能详。我这里再举两例。
[例六]：
101人参加淘汰制的乒乓球单打比赛。问一共要举行多少场比赛，才能决出冠军？
普通做法是，101分成两半等于50 (100/2=50，有一人轮空）；50再折半为25…如此分下去，最后结果是：50+25+13+6+3+2+1=100（场）。
这种分析正确。但如果把问题放大，说有10001人参赛呢？再用上述方法就麻烦了。现在换一个角度想，假设你是那个冠军。那你一定淘汰了所有与你相遇的选手。因此，可以把这些选手的比赛次数全记在你的头上。而这些选手，也是淘汰了所有与他相遇的选手后才与你相遇的，所以，他们比赛的次数就等于他们实际的比赛次数，加上被他们淘汰的选手的比赛次数。如此循环下去，就清楚了：求总的比赛次数，就等于说，你是赵云，与这100名高手一一相遇，又全将他们一一挑翻。所以，答案就是100场。同理，当扩展为10001人比赛时，答案就是1万场。
[例七]：
开数学年会那天，来了编号为1号，2号，3号等等无穷多位数学大师。会址附近有一个九星级宾馆，有编号为1号，2号，3号等等无穷多个房间。因此，每位数学大师各自住在自己的编号所对应的房间，大师一个不余，房间也一个不剩。这不成问题。巧的是，黑旋风这厮也赶来凑热闹，并且犟牛一头，横竖要住进那宾馆。但没有一个大师愿意搬出，怎么办，为难之际，店老板聪明的女儿一看，来了一蟀锅，说，这好办。叫第1号大师挪到第2号房，第2大师挪到第3房，依次类推，每位大师依然各住一间房，而第1号房，还真的空出来了。
数学抽象的美，在高数中比比皆是(如测度论，拓扑学) ，我这里用下个简单的例子说明。
你可能觉得全体整数（即，0，±1，±2，±3，等等直到无穷）太复杂，想把它们简单分类。怎么分？数学家说，好办。把所有2的倍数归成一类，把所有不是2的倍数归成另一类，如此，全体整数就只成了两类：2的倍数类和2的非倍数类；而且，可在这两类中各找一典型代表，即0和1。这样一来，在数学家的眼里，全体整数其实就两数：0和1。你也许觉得这不过是数学游戏而已，其实不然，在现实生活中，我们常常做这样的归类。比方说，坛子里有各种年龄、各种性格的人（包括孩子、学生、青年人、中年人和老人），但归纳起来，就两种人：左派和右派（早几天，不是还有人想统计人数吗？）。你可能说，我既不是左派，也不是右派。那好，用3来分割整数（集），则出现三类：0，1，和2（即3的余数为0，为1和为2这三类）。如果还要细分成极左，左，中间，右和极右等等，则只要将3改成4，或5，或6等等就行了。而数学的分支---抽象代数（又叫近世代数），也可以和这个分类结构联系起来。
数学结构的美，在于她简洁，规律和统一。
用文字来描述勾股定理，也许说了半天，别人还是稀里糊涂。画个图，写个公式，完了。
从杨辉三角中，你会看到对称的美。当然，你也会惊讶，用富有规律性的泰勒展开，就能非常漂亮地逼近一条曲线。而解析几何里的椭圆，双曲线，抛物线，都可以统一在一个二次方程里，并且，还可以形象地用图形来表示---用不同的角度去切两个对顶的锥体，所得截口就会分别形成那三个图形，因此也就理解了为什么把它们统一称作圆锥曲线(见下图)。
数学美在自然
这句话的意思是，大自然的美丽，许多都和数学有关(都可用数学来描述) 。
你肯定注意到了，有些人的身材真漂亮。但你注意过没，有经验的报幕员，常常不站在舞台的中央，而是站在偏左(或偏右)一侧？你也想没想过，要是把你手中的信用卡换成正方形的，感觉会怎样？
这些，都和数学上一个叫做黄金分割比的数有关(这个数通常记为大写希腊字符Φ。它是一个无理数，
，即Φ略等于1.618)。黄金分割比Φ和圆周率π（也是一无理数，略等于3.142），欧拉数e（还是一无理数，略等于2.718）一起，为三个著名的数学常数(事实上，有两个公式把这三个数联系起来，这让我们再次看到数学统一的美)。下面，我先谈Φ的枯燥的代数性质，后谈它的美学实例。
不论是无意的自然之为，还是有意的人为，上面的那些现象，都给人以美感。数学家们发现，某种特殊的比例关系，常悦人耳目。而大自然中的许多现象，的确都遵循或接近这种比例关系。这种特殊的比例关系就是，将一线段分成长短不一的两截，如果全线段长与较长的那一段的比，恰好等于较长的那一段与较短的那一段的比，则感觉很美(见下图)。
换成数学语言就是：令 a/b = x，则有：
解上述一元二次方程，求得其正根为：
这个数告诉我们，长宽之比为1.618比1的长方形看起来最舒服。这就是为什么你喜欢长的，而不是方的信用卡的原因了。
有趣的是，黄金分割比Φ的倒数(记为小写希腊字符φ，
)
等于黄金分割比Φ-1，即 1 .618 – 1 =0.618，它是大Φ的孪生姐妹，是较长的那一段a与全长(a+b)的比(从而实质上也是黄金分割比) ，它所对应的点就是上面那个线段的截口，所以我称小φ为黄金分割点(谈线段分割，用小于1的φ；谈矩形的长宽比，用大于1的Φ) 。
我们知道，无理数是不能用(整)分数表示的。但是，注意到Φ的两个性质(请参考那个一元二次方程*)：
1）
因此，可将上式写成：
2）
也就是说，
这里很有趣地看到，利用级数，可以把有理数和无理数，有穷和无穷联系起来。
你可能觉得上面谈的这一切都枯燥无味，那么来看一看黄金分割比在实际生活中的应用吧。从小到只有几纳米的DNA螺旋结构，到硕大无比的星系，从音乐，建筑，美术，摄影构图，到动植物造型，最后到人体本身，都可找到黄金分割比的影子。为省时间，我这里就只贴图证明。
(帕特农神庙---长宽比为1.618的矩形，俗称黄金矩形)
(DNA双螺旋结构的一链，长宽比为 3.4纳米:2.1纳米 = 34:21≈ 1.619 ≈ Ф)
(鹦鹉螺---近似黄金对数螺线，见下面关于螺线的那一段解释)
(螺旋星系)
(蒙拉丽莎画像---黄金三角形和黄金矩形)
(断壁的维纳斯---看看有多少黄金分割比)
坛子里的MM们大概最希望她们的身材为小φ(即0.618) 了，就像我一样。不过，如果我的这个0.618是个反序的呢(即上半身是0.618，下半身是0.382。看看，我这里又用到了数学的排列，即顺序原理) ，呵呵，岂不成了芙蓉姐姐？现在，大家也知道我为什么称6月18日是美丽的日子了。而我也注意到，端午节有许多年都是在618前后。让志洁行廉称物芳的屈子，落在唯美的黄金分割点上，这或许是天意吧。
让我们再来看一看潇洒飘逸的(对数)螺线。
它的特点是，每转四分之一圈，螺距就扩大到1.618倍。注意它与阿基米德螺线(比如我们以前常用的蚊香)不一样，阿线是等距展开，而对数螺线则是加速展开。
大家注意没有，上面那条螺线，我是通过在那些不断变大的正方形内画1/4圆弧而得到的。这些变大的正方形有什么特点呢？它们的边长构成一个特殊的数列：
{0，1，1，2，3，5，8，13，21，等等}
看出规律来没？从第三项起，任一项是其前面紧相邻的两项的和(事实上，我正是这样添加正方形的) 。写成(递归形式的) 通项公式就是：Fn = Fn-1 + Fn-2 (n≥3) 。
上述数列，就是大名鼎鼎的菲波那契数列(Fibonacci)。它源自中世纪意大利著名的数学家菲波那契(1170-1250) 提出的一个问题：一对成年兔子(雌雄各一只) 每个月产一对小兔(雌雄各一只) ，每对小兔需要一个月才长成成年兔子。如果第一个月没有兔子，第二哥月开始出现一对小兔(雌雄各一只) ，问以后的每个月，兔子对数的总数是多少？答案就是上面谈到的那个数列(建议大家考一考孩子们) 。
菲波那契数列有什么特点呢？随着n的增大，虽然取值是越变越大，但相邻两项的比值，却越来越接近黄金分割比Ф(即1.618，事实上，这个比值的极限就是Ф) 。而且，可以证明：
上面这个公式给出了菲波那契数列的直接表示法(即不用它的前一项或前两项来表示) 。有趣的是，Ф是一个无理数，通过进行幂次方的组合，结果变成了一个有理数，而且还是正整数。嘿嘿，有理和无理，就在不经意之中完成了乾坤大挪移。
菲波那契数列在自然界中广泛存在。从植物花瓣的分布数目，到向日葵蕊和绿花菜的展开，再到前面提到过的DNA链的长宽数(34x21) ，都基本选择菲波那契数目。哪怕是我们打麻将，不也习惯以二五八做将吗？
(近似菲波那契数列分布，呈螺线展开的绿花菜)
数学，美在无形，又美在有形。她就像天都峰上望西施，是3D型的。具体地讲，数学，美在思维，美在抽象，美在结构，美在自然。
数学思维之美，如天马行空，却又长缨在握。这在前面的例子里已略有所见，而大家对5岁的高斯脱口算出从1加到100的事，也是耳熟能详。我这里再举两例。
[例六]：
101人参加淘汰制的乒乓球单打比赛。问一共要举行多少场比赛，才能决出冠军？
普通做法是，101分成两半等于50 (100/2=50，有一人轮空）；50再折半为25…如此分下去，最后结果是：50+25+13+6+3+2+1=100（场）。
这种分析正确。但如果把问题放大，说有10001人参赛呢？再用上述方法就麻烦了。现在换一个角度想，假设你是那个冠军。那你一定淘汰了所有与你相遇的选手。因此，可以把这些选手的比赛次数全记在你的头上。而这些选手，也是淘汰了所有与他相遇的选手后才与你相遇的，所以，他们比赛的次数就等于他们实际的比赛次数，加上被他们淘汰的选手的比赛次数。如此循环下去，就清楚了：求总的比赛次数，就等于说，你是赵云，与这100名高手一一相遇，又全将他们一一挑翻。所以，答案就是100场。同理，当扩展为10001人比赛时，答案就是1万场。
[例七]：
开数学年会那天，来了编号为1号，2号，3号等等无穷多位数学大师。会址附近有一个九星级宾馆，有编号为1号，2号，3号等等无穷多个房间。因此，每位数学大师各自住在自己的编号所对应的房间，大师一个不余，房间也一个不剩。这不成问题。巧的是，黑旋风这厮也赶来凑热闹，并且犟牛一头，横竖要住进那宾馆。但没有一个大师愿意搬出，怎么办，为难之际，店老板聪明的女儿一看，来了一蟀锅，说，这好办。叫第1号大师挪到第2号房，第2大师挪到第3房，依次类推，每位大师依然各住一间房，而第1号房，还真的空出来了。
数学抽象的美，在高数中比比皆是(如测度论，拓扑学) ，我这里用下个简单的例子说明。
你可能觉得全体整数（即，0，±1，±2，±3，等等直到无穷）太复杂，想把它们简单分类。怎么分？数学家说，好办。把所有2的倍数归成一类，把所有不是2的倍数归成另一类，如此，全体整数就只成了两类：2的倍数类和2的非倍数类；而且，可在这两类中各找一典型代表，即0和1。这样一来，在数学家的眼里，全体整数其实就两数：0和1。你也许觉得这不过是数学游戏而已，其实不然，在现实生活中，我们常常做这样的归类。比方说，坛子里有各种年龄、各种性格的人（包括孩子、学生、青年人、中年人和老人），但归纳起来，就两种人：左派和右派（早几天，不是还有人想统计人数吗？）。你可能说，我既不是左派，也不是右派。那好，用3来分割整数（集），则出现三类：0，1，和2（即3的余数为0，为1和为2这三类）。如果还要细分成极左，左，中间，右和极右等等，则只要将3改成4，或5，或6等等就行了。而数学的分支---抽象代数（又叫近世代数），也可以和这个分类结构联系起来。
数学结构的美，在于她简洁，规律和统一。
用文字来描述勾股定理，也许说了半天，别人还是稀里糊涂。画个图，写个公式，完了。
从杨辉三角中，你会看到对称的美。当然，你也会惊讶，用富有规律性的泰勒展开，就能非常漂亮地逼近一条曲线。而解析几何里的椭圆，双曲线，抛物线，都可以统一在一个二次方程里，并且，还可以形象地用图形来表示---用不同的角度去切两个对顶的锥体，所得截口就会分别形成那三个图形，因此也就理解了为什么把它们统一称作圆锥曲线(见下图)。
数学美在自然
这句话的意思是，大自然的美丽，许多都和数学有关(都可用数学来描述) 。
你肯定注意到了，有些人的身材真漂亮。但你注意过没，有经验的报幕员，常常不站在舞台的中央，而是站在偏左(或偏右)一侧？你也想没想过，要是把你手中的信用卡换成正方形的，感觉会怎样？
这些，都和数学上一个叫做黄金分割比的数有关(这个数通常记为大写希腊字符Φ。它是一个无理数，
，即Φ略等于1.618)。黄金分割比Φ和圆周率π（也是一无理数，略等于3.142），欧拉数e（还是一无理数，略等于2.718）一起，为三个著名的数学常数(事实上，有两个公式把这三个数联系起来，这让我们再次看到数学统一的美)。下面，我先谈Φ的枯燥的代数性质，后谈它的美学实例。不论是无意的自然之为，还是有意的人为，上面的那些现象，都给人以美感。数学家们发现，某种特殊的比例关系，常悦人耳目。而大自然中的许多现象，的确都遵循或接近这种比例关系。这种特殊的比例关系就是，将一线段分成长短不一的两截，如果全线段长与较长的那一段的比，恰好等于较长的那一段与较短的那一段的比，则感觉很美(见下图)。
换成数学语言就是：令 a/b = x，则有：
解上述一元二次方程，求得其正根为：
这个数告诉我们，长宽之比为1.618比1的长方形看起来最舒服。这就是为什么你喜欢长的，而不是方的信用卡的原因了。
有趣的是，黄金分割比Φ的倒数(记为小写希腊字符φ，
)等于黄金分割比Φ-1，即 1 .618 – 1 =0.618，它是大Φ的孪生姐妹，是较长的那一段a与全长(a+b)的比(从而实质上也是黄金分割比) ，它所对应的点就是上面那个线段的截口，所以我称小φ为黄金分割点(谈线段分割，用小于1的φ；谈矩形的长宽比，用大于1的Φ) 。
我们知道，无理数是不能用(整)分数表示的。但是，注意到Φ的两个性质(请参考那个一元二次方程*)：
1）
因此，可将上式写成：
2）
也就是说，
这里很有趣地看到，利用级数，可以把有理数和无理数，有穷和无穷联系起来。
你可能觉得上面谈的这一切都枯燥无味，那么来看一看黄金分割比在实际生活中的应用吧。从小到只有几纳米的DNA螺旋结构，到硕大无比的星系，从音乐，建筑，美术，摄影构图，到动植物造型，最后到人体本身，都可找到黄金分割比的影子。为省时间，我这里就只贴图证明。
(帕特农神庙---长宽比为1.618的矩形，俗称黄金矩形)
(DNA双螺旋结构的一链，长宽比为 3.4纳米:2.1纳米 = 34:21≈ 1.619 ≈ Ф)
(鹦鹉螺---近似黄金对数螺线，见下面关于螺线的那一段解释)
(螺旋星系)
(蒙拉丽莎画像---黄金三角形和黄金矩形)
(断壁的维纳斯---看看有多少黄金分割比)
坛子里的MM们大概最希望她们的身材为小φ(即0.618) 了，就像我一样。不过，如果我的这个0.618是个反序的呢(即上半身是0.618，下半身是0.382。看看，我这里又用到了数学的排列，即顺序原理) ，呵呵，岂不成了芙蓉姐姐？现在，大家也知道我为什么称6月18日是美丽的日子了。而我也注意到，端午节有许多年都是在618前后。让志洁行廉称物芳的屈子，落在唯美的黄金分割点上，这或许是天意吧。
让我们再来看一看潇洒飘逸的(对数)螺线。
它的特点是，每转四分之一圈，螺距就扩大到1.618倍。注意它与阿基米德螺线(比如我们以前常用的蚊香)不一样，阿线是等距展开，而对数螺线则是加速展开。
大家注意没有，上面那条螺线，我是通过在那些不断变大的正方形内画1/4圆弧而得到的。这些变大的正方形有什么特点呢？它们的边长构成一个特殊的数列：
{0，1，1，2，3，5，8，13，21，等等}
看出规律来没？从第三项起，任一项是其前面紧相邻的两项的和(事实上，我正是这样添加正方形的) 。写成(递归形式的) 通项公式就是：Fn = Fn-1 + Fn-2 (n≥3) 。
上述数列，就是大名鼎鼎的菲波那契数列(Fibonacci)。它源自中世纪意大利著名的数学家菲波那契(1170-1250) 提出的一个问题：一对成年兔子(雌雄各一只) 每个月产一对小兔(雌雄各一只) ，每对小兔需要一个月才长成成年兔子。如果第一个月没有兔子，第二哥月开始出现一对小兔(雌雄各一只) ，问以后的每个月，兔子对数的总数是多少？答案就是上面谈到的那个数列(建议大家考一考孩子们) 。
菲波那契数列有什么特点呢？随着n的增大，虽然取值是越变越大，但相邻两项的比值，却越来越接近黄金分割比Ф(即1.618，事实上，这个比值的极限就是Ф) 。而且，可以证明：
上面这个公式给出了菲波那契数列的直接表示法(即不用它的前一项或前两项来表示) 。有趣的是，Ф是一个无理数，通过进行幂次方的组合，结果变成了一个有理数，而且还是正整数。嘿嘿，有理和无理，就在不经意之中完成了乾坤大挪移。
菲波那契数列在自然界中广泛存在。从植物花瓣的分布数目，到向日葵蕊和绿花菜的展开，再到前面提到过的DNA链的长宽数(34x21) ，都基本选择菲波那契数目。哪怕是我们打麻将，不也习惯以二五八做将吗？
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