本想在6月18号这个美丽的日子里上帖，但没抓紧，拖到今天(有点长，先贴一篇)。
前一段读过名为“玄野”的网友批评奥数班的帖子。我的看法是，各级中小学，全办奥数班固然不对，但对有兴趣，又有天赋的孩子，还是可行的，因为奥赛思维灵活，不拘一格，既谐趣，又严谨，是训练思维，陶冶性情的方法之一。不过，我这篇贴子的目的不是要辩论奥赛班的是非，而是想通过聊天，来激起大家（尤其是孩子们）对数学的兴趣。
打算谈三个问题：算术的优缺点，数学的美，数学的不完美。
（一）算术的优缺点
先看例子。
[例一]：哥哥和弟弟共有468个苹果。哥哥比弟弟多40个。问哥哥和弟弟各有多少个?
如果用代数法，设哥哥有X个，弟弟有Y个，列一个二元一次方程组来求解，肯定可求出，但费时间，也有点抽象。
对于不会用代数法的小学生，怎么求呢？可以这样做：要是两个人一样多，则每人234个(468的一半)。现在哥哥比弟弟多40个，那么，哥哥的苹果数一定是这相等的数目(234)加上多出的一半(40除以2)，即234+20=254个，而弟弟的苹果数则是这相等的数目(234)减去多出的一半(40/2)，即234-20=214个，完了。这样的算术解法，又快又直观，的确比代数法好。
类似的，让我们来看看“玄野”列的一道题。
[例二]：A班和B班人数一样多，并且A班女生比B班男生多8个，A班和B班全体男生占全部学生的2/5，求全体学生人数。
自然，还是可通过建立联立方程组来求解。但聪明的小学生会这样想：
因为A班和B班人数一样多，那么，由A班女生比B班男生多8个这个条件，可推出B班女生就比A班男生多8个，所以，全体女生比全体男生多16个(8+8)。又知道全体男生占全部学生的2/5，则全体女生占全部学生的3/5，因此女生比男生多1/5（3/5-2/5）。也就是说，全体的1/5是16，从而，全体必等于16/(1/5)=80。列成小学的算式就是：
算术法除了主要适用求解相对简单的数学问题外，它的两大优点(一是快，二是直观)，也是它的两大不足。
怎么讲呢？就题论题，算术法是快（其实，它的快实质上也是解方程，只不过省略了中间步骤，而直接列出答案），但不易归纳和推广。试看“玄野”列的另一道题。
[例三]：哥哥和弟弟各有一些CD。若哥哥把自己的1张CD给弟弟，则两人变得一样多。若弟弟把自己的1张给哥哥，则哥哥的CD是弟弟的2倍。问哥哥和弟弟各有多少张CD?
用算术法，可以很快找到答案：哥哥7张，弟弟5张。
但是如果把题目变一下，说不是给1张，而是给5张呢？用算术法就得重新计算。更进一步的，如果再变为是给8张，并且是成为5倍呢？随着题目的变化和难度的加大，用算术法解题，就渐感吃力。此时，抽象的代数法却可一劳永逸地解决问题，而且还可以回答，何时有解，何时无解[注1]。
让我们回顾一下有关国际象棋的故事。
[例四] ：国王打算奖赏发明了国际象棋的宰相。谦卑的宰相提了个小小的要求：请在8x8的方格棋盘的第一格，赏1粒米，在第2格赏2粒，第3格赏4粒等等，也就是说，每格里的米粒数是前一格的米粒数的两倍，直到赏满64个格子。问：国王能否满足宰相的要求？
这个问题，用算术法求解不容易，而用代数法，则是牛刀小试，手到擒来。
它是一个公比为2的等比数列求和问题。设：
将该式左右两边同乘以2得：
将这个新的式子与原式相减得：
所以，
这个数有多大呢？或者说，总共要多少粒米呢？如果你将米粒紧放在一起，垒成一个宽1米，高1米的墙，然后从地球到太阳，摆一个来回(即以2个天文单位，约等于3亿公里为长，构成一长方体) ，那么，这个数(1后跟19个零)，比这些米粒的总和还要大。呵呵，漫说古老的王国会破产，就是现今地球，也要赊帐。我把上面的求解公式，故意写成：
那是因为，用同样的方法，可知：
q为公比， a1为首项，n为项数。有了这个通项公式，任何等比数列的求和问题就迎刃而解了。
第二，算术法直观，却不一定严谨，因而也就不一定正确。请看：
[例五]：你有1，2，等等直到100这100个数，我只有2，4，6等等直到100这50个双数(即偶数)。那么，我的数目（即50个数）当然少于你的数目（即100个数），因为我只是你的一部分，而部分小于总体。这不成问题。直观推广一下，如你有1，2，3，等等无穷多个不间断(即连续的)的正整数，而我有2，4，6，等等无穷多个不间断的正双数。现在问，谁拥有的数目多呢？
想当然地，我们会说，前者比后者多，因为总体大于部分呀。呵呵，我这里暂不给答案，大家可参考另一个本质相同的例子（见例七）而自己作答。
再来看几个和直觉相悖的问题。
我们知道，一个(正)数越大，它的倒数就越小。比如说3大于2，那么1/3就小于1/2。随着这个数变得无限大，它的倒数就会变得无限小(即无限接近0) ，例如，10的倒数是0.1，而10000的倒数则只有0.0001 。
[问题1]：
与那个米粒总和S64(即2^64-1) 相比，谁大？
[问题2]：如果把问题1的偶数项变号，请问，
等于什么？
[问题3]：如果把问题2里一些数的顺序调整一下，那么，
又会是什么？
[注1]: 弟弟的CD张数=
(a为让出数，b为倍数) ，哥哥的CD张数=弟弟的CD张数+2a。这两个式子都有清楚的物理含义，请大家自己思考和解释。
前一段读过名为“玄野”的网友批评奥数班的帖子。我的看法是，各级中小学，全办奥数班固然不对，但对有兴趣，又有天赋的孩子，还是可行的，因为奥赛思维灵活，不拘一格，既谐趣，又严谨，是训练思维，陶冶性情的方法之一。不过，我这篇贴子的目的不是要辩论奥赛班的是非，而是想通过聊天，来激起大家（尤其是孩子们）对数学的兴趣。
打算谈三个问题：算术的优缺点，数学的美，数学的不完美。
（一）算术的优缺点
先看例子。
[例一]：哥哥和弟弟共有468个苹果。哥哥比弟弟多40个。问哥哥和弟弟各有多少个?
如果用代数法，设哥哥有X个，弟弟有Y个，列一个二元一次方程组来求解，肯定可求出，但费时间，也有点抽象。
对于不会用代数法的小学生，怎么求呢？可以这样做：要是两个人一样多，则每人234个(468的一半)。现在哥哥比弟弟多40个，那么，哥哥的苹果数一定是这相等的数目(234)加上多出的一半(40除以2)，即234+20=254个，而弟弟的苹果数则是这相等的数目(234)减去多出的一半(40/2)，即234-20=214个，完了。这样的算术解法，又快又直观，的确比代数法好。
类似的，让我们来看看“玄野”列的一道题。
[例二]：A班和B班人数一样多，并且A班女生比B班男生多8个，A班和B班全体男生占全部学生的2/5，求全体学生人数。
自然，还是可通过建立联立方程组来求解。但聪明的小学生会这样想：
因为A班和B班人数一样多，那么，由A班女生比B班男生多8个这个条件，可推出B班女生就比A班男生多8个，所以，全体女生比全体男生多16个(8+8)。又知道全体男生占全部学生的2/5，则全体女生占全部学生的3/5，因此女生比男生多1/5（3/5-2/5）。也就是说，全体的1/5是16，从而，全体必等于16/(1/5)=80。列成小学的算式就是：
算术法除了主要适用求解相对简单的数学问题外，它的两大优点(一是快，二是直观)，也是它的两大不足。
怎么讲呢？就题论题，算术法是快（其实，它的快实质上也是解方程，只不过省略了中间步骤，而直接列出答案），但不易归纳和推广。试看“玄野”列的另一道题。
[例三]：哥哥和弟弟各有一些CD。若哥哥把自己的1张CD给弟弟，则两人变得一样多。若弟弟把自己的1张给哥哥，则哥哥的CD是弟弟的2倍。问哥哥和弟弟各有多少张CD?
用算术法，可以很快找到答案：哥哥7张，弟弟5张。
但是如果把题目变一下，说不是给1张，而是给5张呢？用算术法就得重新计算。更进一步的，如果再变为是给8张，并且是成为5倍呢？随着题目的变化和难度的加大，用算术法解题，就渐感吃力。此时，抽象的代数法却可一劳永逸地解决问题，而且还可以回答，何时有解，何时无解[注1]。
让我们回顾一下有关国际象棋的故事。
[例四] ：国王打算奖赏发明了国际象棋的宰相。谦卑的宰相提了个小小的要求：请在8x8的方格棋盘的第一格，赏1粒米，在第2格赏2粒，第3格赏4粒等等，也就是说，每格里的米粒数是前一格的米粒数的两倍，直到赏满64个格子。问：国王能否满足宰相的要求？
这个问题，用算术法求解不容易，而用代数法，则是牛刀小试，手到擒来。
它是一个公比为2的等比数列求和问题。设：
将该式左右两边同乘以2得：
将这个新的式子与原式相减得：
所以，
这个数有多大呢？或者说，总共要多少粒米呢？如果你将米粒紧放在一起，垒成一个宽1米，高1米的墙，然后从地球到太阳，摆一个来回(即以2个天文单位，约等于3亿公里为长，构成一长方体) ，那么，这个数(1后跟19个零)，比这些米粒的总和还要大。呵呵，漫说古老的王国会破产，就是现今地球，也要赊帐。我把上面的求解公式，故意写成：
那是因为，用同样的方法，可知：
q为公比， a1为首项，n为项数。有了这个通项公式，任何等比数列的求和问题就迎刃而解了。
第二，算术法直观，却不一定严谨，因而也就不一定正确。请看：
[例五]：你有1，2，等等直到100这100个数，我只有2，4，6等等直到100这50个双数(即偶数)。那么，我的数目（即50个数）当然少于你的数目（即100个数），因为我只是你的一部分，而部分小于总体。这不成问题。直观推广一下，如你有1，2，3，等等无穷多个不间断(即连续的)的正整数，而我有2，4，6，等等无穷多个不间断的正双数。现在问，谁拥有的数目多呢？
想当然地，我们会说，前者比后者多，因为总体大于部分呀。呵呵，我这里暂不给答案，大家可参考另一个本质相同的例子（见例七）而自己作答。
再来看几个和直觉相悖的问题。
我们知道，一个(正)数越大，它的倒数就越小。比如说3大于2，那么1/3就小于1/2。随着这个数变得无限大，它的倒数就会变得无限小(即无限接近0) ，例如，10的倒数是0.1，而10000的倒数则只有0.0001 。
[问题1]：
与那个米粒总和S64(即2^64-1) 相比，谁大？
[问题2]：如果把问题1的偶数项变号，请问，
等于什么？
[问题3]：如果把问题2里一些数的顺序调整一下，那么，
又会是什么？
[注1]: 弟弟的CD张数=
(a为让出数，b为倍数) ，哥哥的CD张数=弟弟的CD张数+2a。这两个式子都有清楚的物理含义，请大家自己思考和解释。
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