http://www.mega-zone.org/asp/shooting/article.asp?id=192
大凡学过初等物理的人都会知道空间这个概念。在一般的眼光中，空间就如牛顿当年所想所说，是大大小小的时间上演的舞台，“绝对的空间，就其本性而言，是与外界任何事物无关永远是相同的和不动的。相对空间是绝对空间的可动部分或者量度”（摘自《牛顿自然哲学著作选》27页），就是一块空出来的地方供各路神仙大展其能，绝对空间（和绝对时间）完全可以与外界事物没有关系的独立存在 。但是这个观点作为一个概念来讲，是无法给与空间的性质以完好解释的，没有一个精确的定义则无法很好的研究，不过在牛顿和伽利略力学的框架下，空间这个舞台只是在幕后出谋划策，一个模模糊糊的“空间”的概念，似乎并不影响力学三定律发挥它的作用。
直到爱因斯坦出现，情况变得有点不对劲了，不管是狭义还是广义相对论，他都告诉我们，空间并不是傻呵呵的一成不变的大木头架子，静静的注视着这个宇宙；而是非常积极主动的在和这个世界进行着交互，对物质的运动和存在都及时地做出反应。爱因斯坦的出现，让空间活动了起来，使得我们的一切活动都和空间互相作用。正如他所说，“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”。所以空间（当然包括时间，不过这不是今天的主题）的性质不再隐藏在幕后，而需要实实在在的进入到方程中来，为运动方程的解负责。
那么，问题出来了。要研究空间的性质，可究竟什么是空间呢？他有哪些属性？属性之间有什么关联？
其实，早在物理学家认识到空间的多样性和可变性之前，数学家们早已开始研究各式各样的空间了。我们知道，物理数学不分家。物理理论要靠数学工具来进行表达，所以对于空间这个物理实体，也需要在数学上有对应的概念，这样才能使用各类数学工具来对其进行分析和研究。那么空间在数学上是怎么定义的呢？其实非常简单，空间，就是一个集合以及附加在其上的各类属性。
对，空间的本体其实就是一个集合。比如{1，2，3}，比如R，比如{爸爸，妈妈}，这就是三个空间的本体。但是光有本体还不够，因为集合本身的属性少得可怜，对于一个赤裸裸的集合，就说{1，2，3}，我们只能讲得出，他有三个元素这么一个性质，没有性质，也就没有什么研究头，所以数学家们想方设法的给集合添加一系列的性质，让他们变得复杂起来，于是就可以在性质的基础上进行推导，于是就可以得到很多新的性质和定理，以此来骗取国家津贴并养家糊口。
当然事情并没有这么无聊，很多空间的性质都是在大量现有的概念的基础上抽提出来，加以概括而形成的。相信大家都学过向量或者叫矢量这种东西，就是一串有序数列咯，比如平面坐标就可以表示成拥有两个分量的向量，例如[2，3]，[21，4]，[0，0]之类的。向量有向量加法（各分量相加），数乘法（与每个分量相乘），并且加法对于数乘有分配律：a(X+Y)=aX+aY，加法有结合律，交换率，乘法有交换率等等一系列的性质。于是，把所有n维矢量（就是有n个分量的矢量）的集合看作一个空间的本体，之上的这一系列性质和那两个运算看作附加条件，我们就得到了一个n维的矢量空间。这个空间就比较有趣了，通过研究这种空间，我们得到了诸如基底，维数，线性相关，线性变换，直到子空间，商空间等等一系列的概念。
然而矢量空间并不是终点，因为我们发现，有很多很多概念虽然没有像通常意义下的矢量一样，是明显的用有序数列来表示，但是它们之间却满足和矢量相同的那一系列性质。例如5阶多项式，通过定义多项式加法和数乘法，我们发现，这两个运算和矢量空间中对矢量的那两个运算具有完全相同的性质，而且我们甚至发现，每一个5阶多项式可以和一个5维向量一一对应起来，那么也就是说，一个由5阶多项式和多项式加法，数乘法组成的这么一个实体和5维矢量空间具有相同的结构和性质。那么，通过研究5维向量空间得到的一系列结论，可以在对应的前提下照搬过来。
一般来讲，这种具有相同的结构和性质，换言之在一定的运算下具有一一对应的性质的两个集合我们叫做同构，同构就几乎是一模一样的代名词了。因此，我们可以把5阶多项式看作向量，而把它的集合外加加法和数乘法看作一个和矢量空间相同的空间。而像这样的空间还有很多很多，我们统称之为线性空间。
所谓线性空间，其实就是一个集合，再加上定义在元素之间的加法，和一个数乘集合元素的数乘法，并且这个加法和数乘法要满足一系列的性质（正如上面在描述矢量空间时所讲的性质），那么所有这一切就成为一个线性空间，集合的元素就是线性空间的元素，也称作向量/矢量。我们可以证明，只要满足这些性质，这个集合中的元素就可以和某一个维数的矢量空间一一对应起来，因此这个集合中的元素的表现就和矢量完全相同，通过研究矢量空间，我们就可以得到任何一个线性空间的性质。
对于不同的空间来讲，定义在其本体集合上的附加条件可以千奇百怪，各式各样。下面我们介绍度量空间。这个度量空间的概念，其实还是要从在Rn（额，Rn就是有n个实数元素的向量集合）说起。
我们已经知道Rn加上它里面的运算是一个向量空间，也是一个线性空间。不过这个和我们现在要说的事情无关。我们要在上面定义一种新的运算，这个运算是个二元运算，或者通常看成二元函数d:Rn*Rn->R，也就是一个函数，两个参数都是Rn中的元素，函数值是一个非负实数。而对于这个函数，我们也有一定的附加条件，这里是三个：
1.d(x,y)>0且d(x,y)=0<=>x=y
2.d(x,y)=d(y,x)
3.d(x,z)
不过这也仅仅是一个特例而已，还有一个例子就是所有定义域为[0，1]的实值函数组成的集合，加上一个函数d: d(f，g)＝max｛|f（x）－g（x）|｝这也是一个度量空间。还有希尔伯特空间，是定义在无穷维向量上的度量空间，距离的定义是一般距离函数的无限版本。
综上，一个集合A，再加上满足上面三条定律的一个A*A->R的一个运算，就构成了一个度量空间。我们最早提到的那个由Rn组成的度量空间， 把n带入3的话，就是一个对于牛顿所描述的空间的最接近的表述，也就是所谓平直空间，说的更学究一点就是传说中的欧几里德空间。
所以，R3本身并不代表平直的欧几里的空间，也就是说，虽然他的元素可以和现实空间中的点对应起来，但是这并不能表述“平直”这个性质，只有在上面加上一个度量的定义，形成度量空间，我们才能正确的描述什么叫做“平直”。通过度量这一定义，我们就可以定义很多概念，包括，开集，紧致，连续，以至微分等等一系列对于分析，几何非常基本的概念。如果我们不使用平常的这个度量，而使用一些比较奇怪的度量，那么就可以得到所谓椭圆空间和抛物线空间，对应的是球面上的几何和双曲抛物面的几何，在那里，两点之间最短的就不是所谓直线，空间也不是平直的，三角形内角和或者大于180或者小于180，有些没有平行线，有些有很多平行线，等等不一而足。所有这一切都因为度量的不同。
广义相对论中所讲的时空的弯曲之类的其实就是集合上面的这个（某种更加精准和复杂的）度量的改变，并不是什么很神秘的事情。
当然度量空间并不是终点。通过将度量定义在微分层次上，也就是通过定义曲率，我们可以得到黎曼空间。通过在线性空间中定义内积的性质，我们得到内积空间。通过在集合上定义开集的性质，我们得到拓扑空间。通过对拓扑空间局部性质的限定，我们可以得到拓扑流形（也是某种空间，只不过叫了流形这个名字）。把这些东西混混在一起，就得到了我们微分几何所研究的微分流形以及黎曼流形，也就是广义相对论的基础，也是现代物理学不二的重要基础。但是不论怎么炫，根本来讲，这些什么空间啦，流形啦，都是一个集合，再加上附加在这个集合上的一些定义和条件，所组成的这么一个实体。
下面列一列一些常见而神秘的概念：
拓扑空间：一个集合A
一个定义，开集：集合A的某些子集组成一个集合S，S中的任意两个元素之间的交仍然属于S，S中任意多个元素之间的并属于S，A和空集属于S。那么，S中的每一个元素（也就是A的某些子集）就叫做开集。
由以上集合A和定义在其上的子集的集合S组成拓扑空间。
拓扑中间中的领域：拓扑空间A中某个元素a的领域为包含a的那些开集。
豪斯朵夫空间：若拓扑空间A中任意两个元素都至少各存在一个领域，这两个领域不相交，那么这个拓扑空间就叫做豪斯朵夫空间。
流形：对一个豪斯朵夫空间中每一个点都存在一个领域和欧氏空间同胚（连续可逆的双射），则称之为流形。
大凡学过初等物理的人都会知道空间这个概念。在一般的眼光中，空间就如牛顿当年所想所说，是大大小小的时间上演的舞台，“绝对的空间，就其本性而言，是与外界任何事物无关永远是相同的和不动的。相对空间是绝对空间的可动部分或者量度”（摘自《牛顿自然哲学著作选》27页），就是一块空出来的地方供各路神仙大展其能，绝对空间（和绝对时间）完全可以与外界事物没有关系的独立存在 。但是这个观点作为一个概念来讲，是无法给与空间的性质以完好解释的，没有一个精确的定义则无法很好的研究，不过在牛顿和伽利略力学的框架下，空间这个舞台只是在幕后出谋划策，一个模模糊糊的“空间”的概念，似乎并不影响力学三定律发挥它的作用。
直到爱因斯坦出现，情况变得有点不对劲了，不管是狭义还是广义相对论，他都告诉我们，空间并不是傻呵呵的一成不变的大木头架子，静静的注视着这个宇宙；而是非常积极主动的在和这个世界进行着交互，对物质的运动和存在都及时地做出反应。爱因斯坦的出现，让空间活动了起来，使得我们的一切活动都和空间互相作用。正如他所说，“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”。所以空间（当然包括时间，不过这不是今天的主题）的性质不再隐藏在幕后，而需要实实在在的进入到方程中来，为运动方程的解负责。
那么，问题出来了。要研究空间的性质，可究竟什么是空间呢？他有哪些属性？属性之间有什么关联？
其实，早在物理学家认识到空间的多样性和可变性之前，数学家们早已开始研究各式各样的空间了。我们知道，物理数学不分家。物理理论要靠数学工具来进行表达，所以对于空间这个物理实体，也需要在数学上有对应的概念，这样才能使用各类数学工具来对其进行分析和研究。那么空间在数学上是怎么定义的呢？其实非常简单，空间，就是一个集合以及附加在其上的各类属性。
对，空间的本体其实就是一个集合。比如{1，2，3}，比如R，比如{爸爸，妈妈}，这就是三个空间的本体。但是光有本体还不够，因为集合本身的属性少得可怜，对于一个赤裸裸的集合，就说{1，2，3}，我们只能讲得出，他有三个元素这么一个性质，没有性质，也就没有什么研究头，所以数学家们想方设法的给集合添加一系列的性质，让他们变得复杂起来，于是就可以在性质的基础上进行推导，于是就可以得到很多新的性质和定理，以此来骗取国家津贴并养家糊口。
当然事情并没有这么无聊，很多空间的性质都是在大量现有的概念的基础上抽提出来，加以概括而形成的。相信大家都学过向量或者叫矢量这种东西，就是一串有序数列咯，比如平面坐标就可以表示成拥有两个分量的向量，例如[2，3]，[21，4]，[0，0]之类的。向量有向量加法（各分量相加），数乘法（与每个分量相乘），并且加法对于数乘有分配律：a(X+Y)=aX+aY，加法有结合律，交换率，乘法有交换率等等一系列的性质。于是，把所有n维矢量（就是有n个分量的矢量）的集合看作一个空间的本体，之上的这一系列性质和那两个运算看作附加条件，我们就得到了一个n维的矢量空间。这个空间就比较有趣了，通过研究这种空间，我们得到了诸如基底，维数，线性相关，线性变换，直到子空间，商空间等等一系列的概念。
然而矢量空间并不是终点，因为我们发现，有很多很多概念虽然没有像通常意义下的矢量一样，是明显的用有序数列来表示，但是它们之间却满足和矢量相同的那一系列性质。例如5阶多项式，通过定义多项式加法和数乘法，我们发现，这两个运算和矢量空间中对矢量的那两个运算具有完全相同的性质，而且我们甚至发现，每一个5阶多项式可以和一个5维向量一一对应起来，那么也就是说，一个由5阶多项式和多项式加法，数乘法组成的这么一个实体和5维矢量空间具有相同的结构和性质。那么，通过研究5维向量空间得到的一系列结论，可以在对应的前提下照搬过来。
一般来讲，这种具有相同的结构和性质，换言之在一定的运算下具有一一对应的性质的两个集合我们叫做同构，同构就几乎是一模一样的代名词了。因此，我们可以把5阶多项式看作向量，而把它的集合外加加法和数乘法看作一个和矢量空间相同的空间。而像这样的空间还有很多很多，我们统称之为线性空间。
所谓线性空间，其实就是一个集合，再加上定义在元素之间的加法，和一个数乘集合元素的数乘法，并且这个加法和数乘法要满足一系列的性质（正如上面在描述矢量空间时所讲的性质），那么所有这一切就成为一个线性空间，集合的元素就是线性空间的元素，也称作向量/矢量。我们可以证明，只要满足这些性质，这个集合中的元素就可以和某一个维数的矢量空间一一对应起来，因此这个集合中的元素的表现就和矢量完全相同，通过研究矢量空间，我们就可以得到任何一个线性空间的性质。
对于不同的空间来讲，定义在其本体集合上的附加条件可以千奇百怪，各式各样。下面我们介绍度量空间。这个度量空间的概念，其实还是要从在Rn（额，Rn就是有n个实数元素的向量集合）说起。
我们已经知道Rn加上它里面的运算是一个向量空间，也是一个线性空间。不过这个和我们现在要说的事情无关。我们要在上面定义一种新的运算，这个运算是个二元运算，或者通常看成二元函数d:Rn*Rn->R，也就是一个函数，两个参数都是Rn中的元素，函数值是一个非负实数。而对于这个函数，我们也有一定的附加条件，这里是三个：
1.d(x,y)>0且d(x,y)=0<=>x=y
2.d(x,y)=d(y,x)
3.d(x,z)
不过这也仅仅是一个特例而已，还有一个例子就是所有定义域为[0，1]的实值函数组成的集合，加上一个函数d: d(f，g)＝max｛|f（x）－g（x）|｝这也是一个度量空间。还有希尔伯特空间，是定义在无穷维向量上的度量空间，距离的定义是一般距离函数的无限版本。
综上，一个集合A，再加上满足上面三条定律的一个A*A->R的一个运算，就构成了一个度量空间。我们最早提到的那个由Rn组成的度量空间， 把n带入3的话，就是一个对于牛顿所描述的空间的最接近的表述，也就是所谓平直空间，说的更学究一点就是传说中的欧几里德空间。
所以，R3本身并不代表平直的欧几里的空间，也就是说，虽然他的元素可以和现实空间中的点对应起来，但是这并不能表述“平直”这个性质，只有在上面加上一个度量的定义，形成度量空间，我们才能正确的描述什么叫做“平直”。通过度量这一定义，我们就可以定义很多概念，包括，开集，紧致，连续，以至微分等等一系列对于分析，几何非常基本的概念。如果我们不使用平常的这个度量，而使用一些比较奇怪的度量，那么就可以得到所谓椭圆空间和抛物线空间，对应的是球面上的几何和双曲抛物面的几何，在那里，两点之间最短的就不是所谓直线，空间也不是平直的，三角形内角和或者大于180或者小于180，有些没有平行线，有些有很多平行线，等等不一而足。所有这一切都因为度量的不同。
广义相对论中所讲的时空的弯曲之类的其实就是集合上面的这个（某种更加精准和复杂的）度量的改变，并不是什么很神秘的事情。
当然度量空间并不是终点。通过将度量定义在微分层次上，也就是通过定义曲率，我们可以得到黎曼空间。通过在线性空间中定义内积的性质，我们得到内积空间。通过在集合上定义开集的性质，我们得到拓扑空间。通过对拓扑空间局部性质的限定，我们可以得到拓扑流形（也是某种空间，只不过叫了流形这个名字）。把这些东西混混在一起，就得到了我们微分几何所研究的微分流形以及黎曼流形，也就是广义相对论的基础，也是现代物理学不二的重要基础。但是不论怎么炫，根本来讲，这些什么空间啦，流形啦，都是一个集合，再加上附加在这个集合上的一些定义和条件，所组成的这么一个实体。
下面列一列一些常见而神秘的概念：
拓扑空间：一个集合A
一个定义，开集：集合A的某些子集组成一个集合S，S中的任意两个元素之间的交仍然属于S，S中任意多个元素之间的并属于S，A和空集属于S。那么，S中的每一个元素（也就是A的某些子集）就叫做开集。
由以上集合A和定义在其上的子集的集合S组成拓扑空间。
拓扑中间中的领域：拓扑空间A中某个元素a的领域为包含a的那些开集。
豪斯朵夫空间：若拓扑空间A中任意两个元素都至少各存在一个领域，这两个领域不相交，那么这个拓扑空间就叫做豪斯朵夫空间。
流形：对一个豪斯朵夫空间中每一个点都存在一个领域和欧氏空间同胚（连续可逆的双射），则称之为流形。
选择“Disable on www.wenxuecity.com”
选择“don't run on pages on this domain”
